2021年新高考數(shù)學二輪復習提升微專題

導數(shù)中的構(gòu)造問題

一、單選題

1.設/（X）（XER）是奇函數(shù)，/'（X）是/（X）的導函數(shù)，/（-2）=0.當、＞0時，

礦（力―〃x）＞0,則使得/（x）＞0成立的x的取值范圍是（）

A.（-2,O）U（O,2）B.（--2）U（2,w）

C.（-oo,-2）u（0,2）D.（-2,0）52收）

【答案】D

【分析】

構(gòu)造函數(shù)/（工）=/區(qū)，利用導數(shù)可得函數(shù)/（不）的在（0,+8）的單調(diào)性，然后利用函

X

數(shù)尸（X）的奇偶性可得產(chǎn)（x）在（-00,0）的單調(diào)性，最后簡單判斷可得結(jié)果.

【詳解】

令尸=所以尸，（x）="'（x）；/（x）

當當x＞0時，xfz（x）-/（x）＞0,所以廣（力＞0

所以可知F（x）的在（0,+力）的單調(diào)遞增，

又/⑺是奇函數(shù)且〃-2）=0,所以/⑵=一/（-2）=0,則尸（2）=0

由尸（_力=比匐=乜絲1=尸（%）,

-x-xX

所以函數(shù)為（一8,0）。（0,+8）的偶函數(shù)且尸（X）在（-8,0）單調(diào)遞減，F(xiàn)（-2）=0

當x＞0時，/（切＞0的解集為（2,+8）

當x＜0時，/（切＞0的解集為（一2,0）

綜上所述：/卜）＞0的解集為：（一2,0）。（2,+8）

故選：D

1

\3

g)=-

2.已知函數(shù)/（力=，z6對于任意王，￡且占土12,

試卷第1頁，總229頁

/(司)一/(工2)

都有>0,則實數(shù)。的取值范圍是()

g(xj-g(x2)

A.。<0B.a<QC.a<\D.a<l

【答案】D

【分析】

根據(jù)已知不等式的特征，判斷兩個函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合導數(shù)，通過構(gòu)造函數(shù)進行求解即

可.

【詳解】

/(3)一/(8)

因為>0，所以/(xJ_/(x2)，g(F)_g(x2)同號，因此

g6)-g(x2)

/(x)與g(x)的單調(diào)性相同,

因為/(工)="+二>0,所以函數(shù)/(%)單調(diào)遞增，因此g(x)乜單調(diào)遞增,

g，(x)=cosx+^x2-a,

因為g(x)是增函數(shù)，故cosx+gx?-aNO恒成立.

即aWcosx+——恒成立.

2

7?(x)=COSX+—x2,則l(x)=x-sinx,設〃?(x)=x-sinx

2

因為加(x)=l-cosxNO,故=x-sinx單調(diào)遞增，

又m(0)=0,故當1<0時,m(0)<0,即〃'(x)vO,因此人卜)單調(diào)遞減，

當x>0時，"?(0)>0,即"(x)>0,因此〃(x)單調(diào)遞增，

故Zz(x)=cosx+；x2最小值為〃(o)=i故.

故選：D

3.設/(')的定義在R上的函數(shù),其導函數(shù)為/(X),且滿足/(x)+H'(x)>0,若。=/(1),

b=2fQ),c=3/(3),則()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.c>a>b

【答案】B

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)="(x)，利用導數(shù)得出g(x)在及上是增函數(shù)，由單調(diào)性得出a,b,c的

試卷第2頁，總229頁

大小.

【詳解】

令g(x)=M(x)，PWg'(x)=/(x)+4'(x)>。，所以g(x)在及上是增函數(shù)，所以

g(l)<g(2)<g(3),即/(1)<2/(2)<3/(3)

故選：B.

4.函數(shù)/(%)的定義域為H,/(-1)=2,對任意/'(x)>2,貝iJ/(x)>2x+4

的解集為().

A.R

B.

C.(-1,1)

D.(-1,+<?)

【答案】D

【分析】

根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-(2x+4),再結(jié)合函數(shù)g(x)的單調(diào)性與零點即可得答

案.

【詳解】

解：令g(x)=f(x)-(2x+4),

所以g'(x)=/V)-2>0,故g(x)在H上單調(diào)遞增，

又g(T)=/(-D-2=0,

所以當x>-l時，g(x)>0,Bl/(x)>2x+4,

所以/(x)>2x+4的解集為：(-1,+8)

故選：D.

【點睛】

本題解題的關鍵在于構(gòu)造函數(shù)g(x)=/。)-(2x+4),進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與零點求

解，考查化歸轉(zhuǎn)化思想和運算求解能力，是中檔題.

5.已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/(X)滿足礦(x)—/'(x)vO,其中/'(X)是函數(shù)

“X)的導函數(shù)，若/(加一2021)>(相—2021)/(1),則實數(shù)〃7的取值范圍是()

試卷第3頁，總229頁

A.(0,2021)B.(0,2022)C.(2021,+oo)D.(2021,2022)

【答案】D

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=￡9D,其中x〉o,利用導數(shù)分析函數(shù)g(x)的單調(diào)性，將所求不等

式變形為g(加-2021)>g(l),可得出關于加的不等式，即可解得實數(shù)”的取值范圍.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/^h其中x>0,則/(x)=,⑶<0，

所以，函數(shù)g(x)=/?為(0、+8)上的減函數(shù)，

由/(加—2021),(加—2021)/(1)可得)(〃-2021)>/(0,即

m-2021

g(/n-2021)>g(l),

所以，0<加一2021<1,解得2021cm<2022.

因此，實數(shù)機的取值范圍是(2021,2022).

故選：D.

【點睛】

結(jié)論點睛：四種常用的導數(shù)構(gòu)造法：

⑴對于不等式/'(x)+g'(%)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)9(%)=/(x)+g(x)；

(2)對于不等式/'(x)—g'(x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)尸(x)=/(x)—g(x)；

(3)對于不等式礦(x)+^(x)>0(或<0)(其中。為常數(shù)且CHO),構(gòu)造函數(shù)

F(x)=xV(x)；

(4)對于不等式/'(x)+c/(x)>0(或c<0)(其中。為常數(shù))，構(gòu)造函數(shù)

尸O"(x).

6.設函數(shù)/‘(X)是奇函數(shù)的導函數(shù)，/(-1)=0,當x>()時，

礦(x)―/(x)<0,則使得/(x)>0成立的x的取值范圍是()

A.(O,l)U(l,-H?)B.(-oo,-l)U(h+oo)

試卷第4頁，總229頁

C.(fT)U(O,1)D.(-l,0)u(l,+oo)

【答案】c

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=￡^,分析出函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，且在(0,+8)上為減函數(shù)，由

/(》)>0可得出《\)或'，，解這兩個不等式組即可得解.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/區(qū)，該函數(shù)的定義域為{x|xw0},

由于函數(shù)/(切為奇函數(shù)，則g(r)=止立=也D=￡kl=g(X),

-x-xX

所以，函數(shù)為偶函數(shù).

X

當x>0時，g")W(x)；：(x)<0,所以，函數(shù)g(x)在(0,+8)上為減函數(shù)，

由于函數(shù)g(x)=￡^為偶函數(shù)，則函數(shù)g(x)在(-8,0)上為增函數(shù).

X

???/(—1)=0,則/(1)=0且/(0)=0,所以，g(-l)=g(l)=0.

“、八(g(x)>0=g⑴fg(x)<0=g(-l)

不等式/(力>0等價于''或H，解得工<-1或

0<x<I.

因此，不等式/。)>0的解集為(-8,7)50,1).

故選：C.

【點睛】

方法點睛：利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求解抽象函數(shù)不等式，耍設法將隱性劃歸為顯性

的不等式來求解，方法是：

(1)把不等式轉(zhuǎn)化為/[g(x)]>/[〃(x)]；

(2)判斷函數(shù)/(x)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號脫掉，

得到具體的不等式(組)，但要注意函數(shù)奇偶性的區(qū)別.

試卷第5頁，總229頁

7.已知函數(shù)/'(x)=ox2+bx-lnx(a>0,bwK),若對任意工>0,有/(x)N/⑴，

則()

A.In?<-2bB.\na>-2bC.\na=-ZbD.\na>-2b

【答案】A

【分析】

根據(jù)/(x)N/⑴，可得是/(x)的極小值點，即/'⑴=0,可得a,方的關系，

對Ina與一2b的作差，可得In〃一(一2b)=ln〃+2-4〃，構(gòu)造

g(x)=Inx-4x+2,(x>0),即可求得g(x)的極大值gd)=l—ln4<0,化簡整理,

4

即可得答案.

【詳解】

由題意得f'(x)=2ax+b一一，

x

因為⑴，所以/(x)在尸1處取得最小值，即為尸1是/(%)的極小值點，

所以/'(1)=2。+6-1=0,即6=1-2。，

所以In?-(-lb)=ln〃+2b=ln〃+2-4〃，

1l-4x

令g(x)=ln%—4x+2,(x>0),則？(x)=__4=-----,

xx

令g'(x)=0,解得x=,，

4

當xw(oj)時，gr(x)>0,所以g(x)為增函數(shù)，

當xe(；,+oo)時，g'(x)<0,所以g(x)為減函數(shù)，

所以g(x)Wg(1)=ln‘—1+2=1—ln4<0,

44

所以g(^)=Ina-4a+2=Ina-(-2b)<0,即Ina<-2b.

故選：A

【點睛】

解題的關鍵是熟練掌握利用導函數(shù)求解函數(shù)極值，判斷單調(diào)性的方法，并靈活應用，比

較兩式大小，常用作差法或作商法，難點在于構(gòu)造g(x)并求極大值，屬中檔題.

8.已知函數(shù)/(x)=xe、，g(x)=2x\n2x,^/(x1)=g(x2)=Gt>0,則則■的

試卷第6頁，總229頁

最大值為()

【答案】C

【分析】

首先由Xzin/=*上」11工2=，，玉演二f,再結(jié)合函數(shù)函數(shù)/(x)=x，e”的圖象可知，

王=比乙，這樣轉(zhuǎn)化則■=￥，利用導數(shù)求函數(shù)人(。=叱的最大值.

【詳解】

Xl

由題意得，xie=t,x2Inx2=/,即/In%=*"Jn%=，，令函數(shù)/(x)=x，e",

則八x)=(l+x)/,

所以，XV-1時，/(x)v0,負X)在(-00,-1)上單調(diào)遞減，x>—1時，/'(T)>0,/(x)在

(-1,+00)上單調(diào)遞增，

又當X￡(-8,0)時，兒:)vo,XW(0,+8)時，加A0,作函數(shù)/(x)=)e*的圖象如圖所示.

由圖可知，當Q0時，/(x)=z有唯一解，故凡=111工2，且%>0,

In,InzIn/inf1-Inr

:.—=——=7-.設〃(。=——，，>0則/(。=^^,令，“)=()解得片e,

X〉in工個if/

，/、1In/

得火￡)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+oo)上單調(diào)遞減，；?〃⑴4%(?)=一,即----的最

ex{x2

大值為L

e

故選：C.

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，本題的關鍵是觀察與變形，

試卷第7頁，總229頁

k1

1"二’，并且由函數(shù)圖象判斷/（x）=/＞o,只有一個零點，所以王二皿吃，

[芭。=f

這樣后面的問題迎刃而解.

二、多選題

9.已知函數(shù)/（X）的導函數(shù)為/'（X）,若/（X）（礦（x）＜2/（x）-x對X￡（0,+8）恒

成立，則下列不等式中，一定成立的是（）

A./（）＞與B./⑴〈與

C./（0＜^4D..+；＜/⑴

【答案】BD

【分析】

先設g（x）="?一"，〃（%）=」魚，xe（0,+oo）,對函數(shù)求導，根據(jù)題中條件，分

XX

別判斷設g（x）和人（X）的單調(diào)性，進而可得出結(jié)果.

【詳解】

設g（x）=，/l（x）=^^-,X€（0,4-00）,

XX

則g，（x）=[7'（』）-1k2一2力（%）-%|二M'（x）-2/（x）+x,

x4x3

〃，（幻=礦（制；/3

X

因為/（x）＜礦（x）＜2/0）-工對X￡（0,+00）恒成立，

所以g'（x）＜°，〃'（X）＞O，所以g（x）在（0,+8）上單調(diào)遞減，力。）在（°，+8）上單

調(diào)遞增，

則g⑴〉g⑵,A（l）＜z?（2）,

即叫＞『，世（皿即毆+L/（I）＜?

I22212422

故選：BD.

【點睛】

本題主要考查導數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性比較大小，屬于?？碱}型.

試卷第8頁，總229頁

IO.已知函數(shù)y=/(x)在R上可導且/(0)=1,其導函數(shù)廣(X)滿足

(x+l)[/V)-/(x)]>0,對于函數(shù)g(x)=/l,下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)g(x)在(YO,-1)上為增函數(shù)B.x=-l是函數(shù)g(x)的極小值點

C.函數(shù)g(x)必有2個零點D.e2f(e)>eef(2)

【答案】BD

【分析】

對函數(shù)g(x)求導，求出單調(diào)區(qū)間和極值，可判斷選項A,B；根據(jù)極小值的大小可得函

數(shù)的零點個數(shù)，判斷選項C；利用g(x)在(-1,+8)上為增函數(shù)，比較g(2)與g(e)的

大小關系，判斷出選項D.

【詳解】

函數(shù)g(x)=駕，則g，(x)=/'(x)—"x),

當時，r(x)-/(x)>0,故g(x)在(一1,48)上為增函數(shù)，A錯誤；

當時，故g(x)在單調(diào)遞減，故x=T是函數(shù)g(x)

的極小值點，B正確；

若g(T)<°，則歹=g(x)有兩個零點，

若g(—1)=0,則>=8(工)有一個零點，

若g(-l)>0,則丁=8(外沒有零點，故C錯誤；

g(x)在(一1,+8)上為增函數(shù)，則g(2)<g(e),即〈竺1,化簡得

e~ee

e2f(e)>eef(2),D正確；

故選：BD

【點睛】

本題考查導數(shù)在單調(diào)性中的應用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的零點問題，考查利用單

調(diào)性比較大小，屬于中檔題.

11.若定義域為(0,+8)的函數(shù)/(X)的導函數(shù)八X)滿足礦(x)+l>0,且/(1)=1,

則下列結(jié)論中成立的是()

試卷第9頁，總229頁

A./(e)>0B./^j<2

C.Vxe(l,e),/(x)>0D.玉￡(l,e),+

【答案】ABC

【分析】

根據(jù)題意，設g(x)=/(x)+加:，求出其導數(shù)可得g'(x)=/'(》)+1>0,結(jié)合函數(shù)的導數(shù)

X

與函數(shù)單調(diào)性的關系分析可得g(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，據(jù)此依次分析選項，綜

合即可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，若定義在(0,+8)的函數(shù)/(X)的導數(shù)/‘(X)滿足MTt)+l>0,

則有/'(X)+'>0,則有[/(尤)+Inx]1>0,

x

設g(x)=/W+Inx,貝ijgf(x)=r(x)+,>0,貝|Jg(x)在(0,+oo)上為增函數(shù),

x

依次分析選項：

對于A,e>l,則g(e)>g。)，即+則有/(e)>0,符合題意；

對于8,i<i,即/d)+/J=/d)—1<1，

eyeJeee

即有/d)<2,符合題意;

e

對于C,g(x)在(l,e)上為增函數(shù)，且g(l)=l,則有/(x)+/力>1,

貝i]/(x)>i一歷x,又由則/(x)>0,符合題意；

對于O,當xw(l,e),WA：>->->0,此時有/(x)>/d),

xex

即f[x}+bix>f(-)+M(l),變形可得f(x)-f(-)+2lnx>0,

XXX

又由則0<加<1,則/(刈一/(1)+2>0恒成立，不符合題意；

x

故選：ABC.

【點睛】

本題考查利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，注意構(gòu)造新函數(shù)，并利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性.

12.定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：/(x)+r(x)>l,/(0)=4,則關于不等式

產(chǎn)/(力>/+3的表述正確的為()

試卷第10頁，總229頁

A.解集為(0,+8)B.解集為(YO,0)U(3,+00)

C.在[-2,2]上有解D.在[-2,2]上恒成立

【答案】AC

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=e[/(x)—l],求導后可推出g(x)在R上單調(diào)遞增，由/(0)=4,

可得g(O)=3,原不等式等價于g(x)>g(O),從而可得不等式的解集，結(jié)合選項即

可得結(jié)論.

【詳解】

令g(x)=e[/(x)-l]，xeR.則g'(x)=，|y(x)-l+,

?.?/(x)+r(x)>i,

???g'(x)>0恒成立，即g(x)在&上單調(diào)遞增.

V/(0)=4,

.-.g(O)=eo[/(O)-l]=3,

不等式e"(x)〉/+3可化為er[/(x)-l]>3,等價于g(x)>g(O),

??.0,即不等式式e*/(x)>/+3的解集為(0,+8),

則在卜2,2]上有解，故選項4c正確.

故選：AC.

【點晴】

關鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、解不等式，構(gòu)造新函數(shù)是解題的關

鍵，考查學生的轉(zhuǎn)化思想、邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

三、填空題

13.設/'(X)是函數(shù)/(x)在H的導函數(shù)，對VxwR,f(-x)+f(x)=x2,且“e[0,

□)，f\x)>x.若/(2-。)一/(。)..2-2*則實數(shù)。的取值范圍為

【答案】(—8,1]

【分析】

可構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-g/,由g(r)+g(x)=。，可得函數(shù)g(x)為奇函數(shù).利用

試卷第II頁，總229頁

導數(shù)可得函數(shù)g(x)在R上是增函數(shù)，f(2-a)-f{a}..2-la,即g(2—a)..g(o),

可得2-a..a,由此解得。的范圍.

【詳解】

f(-x)+f(x)=x2,

令g(x)=/(x)—g/，

1,1,

??,g(-x)+g(x)=/(-x)--x2+/(x)--x2=O,

?二函數(shù)g(x)為奇函數(shù).

XG(0,+00)時，f\x)>X.

XG(0,4-00)時，g(x)=r(x)-x>0,

故函數(shù)g(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，

故函數(shù)g(x)在(TO,0)上也是增函數(shù)，

由/(0)=0,可得g(x)在R上是增函數(shù).

/(2-a)-/(a)..2-2a,等價于/仁—〃卜仁二也一/⑷一!，

24

即g(2-4)..g(4),

2-a...a,解得4,1.

故答案為：(-8，I

【點睛】

構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等式、方程及最值之

類問題，設法建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調(diào)性、最值

等問題，?？墒箚栴}變得明了，準確構(gòu)造出符合題意的函數(shù)是解題的關鍵：解這類不等

式的關鍵點也是難點就是構(gòu)造合適的函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)時往往從兩方面著手：①根據(jù)導函

數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項的共性歸納構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù).

14.已知不等式alnx-'+dx"對任意工￡(0,1)恒成立，則實數(shù)。的最小值為

X

【答案】一。

【分析】

試卷第12頁，總229頁

1111

先將不等式夕-；之/-alnx變形為/Zx"—Inx"，

再構(gòu)造函數(shù)/(x)=x-lnx(x>0),利用函數(shù)單調(diào)性可得，1之尸再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化

為

t7^-^^(0<x<l),然后求出函數(shù)〃(x)=xlnx(xw(O/))的最小值：即解出.

【詳解】

由題意，不等式可變形為胸-』之一-alnx,

x

得，-Ine—Ax"-Inx"對任意"￡(°』)恒成立.

設/(x)=x-lnx.

，］、11

則//之/(/)對任意xe(O,l)恒成立，f(x)=l--=—,

當0Vx<1時，f\x)<0,所以函數(shù)/(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，

當x>l時，/(%)>0,所以函數(shù)/(x)在(1,+oo)上單調(diào)遞增.

當x?0,l)時，因為求實數(shù)。的最小值，

所以考慮。<0的情況，此時/>1，

因為函數(shù)/(X)在(1,-Ko)上單調(diào)遞增，

所以要使/6>f(xa),只需1NX。，

\Z

兩邊取對數(shù)，得上Lzalnx,

X

由于X￡(0,l),所以°之

令人(x)=xlnx(xe(O,l)),則〃(x)=lnx+l,

令/f(x)=0,得x=L

e

易得〃(x)在k上單調(diào)遞減，在(：/)上單調(diào)遞增，

所以Mx)min=dm=T,所以［意)=?所以0之一《，

所以實數(shù)。的最小值為-e.

故答案為：一《

試卷第13頁，總229頁

【點睛】

關鍵點睛：求解不等式問題的關鍵：(1)適當變形，靈活轉(zhuǎn)化，結(jié)合題設條件，有時需

要對不等式進行“除法”變形，從而分離參數(shù)，有時需要進行移項變形，可使不等式兩邊

具有相同的結(jié)構(gòu)特點；(2)構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求解，若分離參數(shù)，則直接構(gòu)造函數(shù)，

并借助導數(shù)加以求解，若轉(zhuǎn)化為不等式兩邊具有相同的結(jié)構(gòu)特點，則可根據(jù)該結(jié)構(gòu)特點

構(gòu)造函數(shù)，并借助導數(shù)加以求解.

15.若工w[o,一時，關于x不等式or%""+21nx?0恒成立，則實數(shù)。的最大值是

ke)

【答案】2e

【分析】

對。分類討論，當。40時，不等式顯然恒成立.當。N0時，對不等式進行變形為

eavlnear<<2Inx'2,然后構(gòu)造函數(shù)/(x)=xlnx,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性化簡不等式，最

后分離參數(shù)。，即可求出。的范圍，進而求出。的最大值.

【詳解】

當時，X不等式"3?奴+21nx《0顯然恒成立.

kej

當a20時，=ax3eax+2Inx<0ax3em<-2Inx.

由于xw0,-1axe^<x~2Inx~2，即「.e"Ineax<x2Inx~2.

ke)

所以原不等式ax3eax+21nr<0恒成立，等價于Ina"<r-2Inr-2恒成立.

構(gòu)造函數(shù)/(x)=xlnx,/*(x)=l+lnx.

易知fix｝在(0,3上單調(diào)遞減，在(-,-KX))上單調(diào)遞增.

ee

則原不等式等價于要證f(eax)<f(x-2).

因為要使實數(shù)。的最大，則應產(chǎn)丫工廠2

加，一2Inx/、—2Inx.1、.，/、—2(1—Inx)

即aV-----.記函數(shù)g(x)=------(0<x<-),則夕(x)=----------.

xxex

□A?八1，/、-2(1—Inx)

易知0<x<一，g(x)=----------<0.

ex

故函數(shù)女。)在(0,-)上單調(diào)遞減，所以或x)<g(-)=2e.

ee

因此只需

試卷第14頁，總229頁

綜上所述，實數(shù)。的最大值是2e.

故答案為：2e

【點睛】

(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關鍵在于準確判定導數(shù)的符號.關鍵是分離參數(shù)，把所

求問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題.

(2)若可導函數(shù)/㈤在指定的區(qū)間。上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為/8巨0(或

/(》)4))恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到.

(3)根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性化簡所求的不等式是本題關鍵之步.

16.若關于X的不等式/-41!1124恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍為.

【答案】［0,可

【分析】

首先不等式變形為e'NQinex，經(jīng)討論不成立，當。20時，不等式變形為

ex>tzInexoexex>aexInex，通過設函數(shù)g(x)=xe”,轉(zhuǎn)化為不等式

eg(x)Nag(lnex)恒成立，通過函數(shù)g(x)的單調(diào)性，和正負區(qū)間，討論求。的取值范

圍.

【詳解】

解：ex-a\nx>aoex>a\nx+aoex>a\nex

若a<0,x—>0時，Inex——oo,ex—>1?**??In—>+oo,

x

此時eNQInex不恒成立，??.。N0,

ex>aInex<=>exex>aexInex，

令g(x)=xe",gf(x)=(x+l)er=0,x=-1，

時，gf(x)<0,xe(-l,+<?),gf(x)>0,

g(x)在單調(diào)遞減，(-1,+0。)單調(diào)遞增，???8(。.=8(-1)=-1，

e

eg(x)>ag(lnex),ln(ex)<0,g(x)>0,g(lnex)<0,原K等式恒成立；

試卷第15頁，總229頁

g)>0時，

g(lnex)e

1r—1

令/(x)=x-lnex，/(x)=1——=------=0,x=l,

xx

X￡(0,l)時，//(X)<O,X€(l,+8)時，/f(x)>o,

???/(X)在(0,1)單調(diào)遞減，在。,+0。)單調(diào)遞增,

，/(X)min=/⑴=?***X>Inex?

Ag(x)>g(lnex),即21,/.-<1,：.0<a<e.

g(lnex)e

故答案為：［0,。］.

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍，第一個關健是說明。<0不恒

成立，第二個關鍵是a20時，不等式的變形e'Nalnex<=>exe*\aexlnex，構(gòu)造函

數(shù)g(x)=xe',第三關鍵是證明等

g(lnex)

四、解答題

17.設函數(shù)/(x)=x,e1g(x)=E誓，

廠

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設對于任意和^6支可，且再<修，都有葭再)-g(“)〈旦恒成立,求實

xx-x2x,x2

數(shù)機的取值范圍.

【答案】(D/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,-1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(一1,+8)；(11)［-1,+8).

【分析】

(I)對函數(shù)/W求導，然后計算/'(x)>0與/'(x)<0,即可得當調(diào)區(qū)間；(II)將

試卷第16頁，總229頁

g(*)_g(x2)〈與轉(zhuǎn)化為g(xj+%,g(x2)+處,然后根據(jù)題意，設

玉一起王々玉X2

(p(x)=g(x)+—,可知函數(shù)次x)在口,句上單調(diào)遞減,即得d(x)<0成立，然后參變

X

分離求解.

【詳解】

(I)易知的定義域為R,

/(x)=(x+l)e\當x>—1時，/'(》)>0,「./(外在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

當X<-1時，/(X)<0,f(X)在(-8,-1)上單調(diào)遞減.

???/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8「1)，單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,+CO).

(II)當XI/2c［l，e］，再<小時，.(石)―「卜2)〈與恒成立,即

x{-x2x1x2

g(xj+%>g(&)+上恒成立，設8(x)=g(x)+3=lz￡l+竺二藝土1二2_,由題

XlX2XXXX

意可知，0(x)在［l,e］上單調(diào)遞減，

即“(X)=一爐?x［(加+1)e［=(1(m+1)?0在［l,e］上恒成立；

X2X2

(1-x)ex-(/?+1)<0,..m+1>(1-x)ex?

設義x)=(\-x)ex,則h'(x)=-xex<0,「.以幻在［l,e］上單調(diào)遞減，

??〃(X)max=MD=0,.,.W+l>0,即〃22-1

【點睛】

(1)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關鍵在于準確判定導數(shù)的符號，關鍵是分離參數(shù)左，

把所求問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題.

(2)若可導函數(shù)/(x)在指定的區(qū)間。上單調(diào)遞增(減)，求參數(shù)范圍問題，可轉(zhuǎn)化為

r(x)>0(或/'(x)W0)恒成立問題，從而構(gòu)建不等式，要注意“=”是否可以取到.

18.已知函數(shù)/(x)=orTn工有兩個零點玉，x2.

(1)求。的取值范圍；

2

(2)求證：xtx2>e.

試卷第17頁，總229頁

(n

【答案】(1)0,-；(2)證明見解析.

kej

【分析】

(l)/(x)有兩個零點=。=嶺有兩個相異實根，令G(x)=嶺，利用導數(shù)研究其單

XX

調(diào)性，根據(jù)G(x)的最值和圖象確定。的取值范圍；

ax.=Inx.

(2)不妨設再＜/,將要證不等式轉(zhuǎn)化為1叫+1叱＞2,由題意得＜.，兩式相

ax2=lnx2

加減后再消去。得至Ihrq+ku:2關于Z=￡的函數(shù)表達式，進一步轉(zhuǎn)化為證明

箱＞2(/扁—1)，令.、品2(/—1")z)、利用導數(shù)研究其單調(diào)性進而可證明?

【詳解】

(1)/(、)有兩個零點="二也有兩個相異實根.

x

令G(x)=^,則G'(x)二1-lnx

XX

由G'(x)>0得：0<x<e，由G'x)<0得：x>et

.?.G(x)在(0,e)單調(diào)遞增，在(e,+8)單調(diào)遞減，

GX=G<?=

??()max()^

又???G(1)=O,.,.當0cx<1時,G(x)<0,當x>l時,G(x)>0

當XT+OO時，G(x)—＞0,

「./(X)有兩個零點時，實數(shù)。的取值范圍為(0,￡

ax.=Inx.

(2)不妨設xaw,由題意得〈,,

ax2=lnx2

,、lnx—In%)

2=

a(x1+x2)=1nxi+lnr2a[x2-xj=Inx,-InX],「?a=—-----

X2~Xl

2

要證:x,-x2＞e,只需證1nxi+欣2〉2.

試卷第18頁，總229頁

強+1

x+x=

]叫+lnx2=Q(X[+%)=—(i2)-...In—,

X2-Xli-lX\

令％=&?,r>l,只需證

xiV-U

?.”>1...包?>(),...只需證：2(—)

t-\/+

令尸⑺=血一^^(/>1),..?尸(/)=；一$=^^>0,

U+i)tu+i)z(r+i)

.-./”)在(1,用)遞增，.?.F(r)>F(l)=0,

2(一)

「.Inf>成立.

(f+1)

綜上所述，玉?%2>/成立.

【點睛】

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查不等式的證明，考查邏輯推理

能力及運算求解能力，屬于常規(guī)題目.關鍵難點是（2）中的消元換元轉(zhuǎn)化為

I2（-1）

lnz>）并構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)進行證明.

￡+1

試卷第19頁，總229頁

導數(shù)中的構(gòu)造問題

一、單選題

1.設/(X)(XER)是奇函數(shù)，/'(X)是/(x)的導函數(shù),/(-2)=0.當—>0時,

/(“一/(》)>0,則使得〃x)>0成立的x的取值范圍是()

A.(―2,0)U(0,2)B.(f\-2)U(2,+oo)

C.y,—2)u(0,2)D.(—2,0)52收)

2.已知函數(shù)/(x)=e*,g(x)=sinx+-x3-ax.對于任意玉，/且玉工吃，

6

/(X)-/㈤

都有>0,則實數(shù)4的取值范圍是()

g(xj-g(x2)

A.a<0B.cr<0C.a<1D.a<\

3.設/(4)的定義在R上的函數(shù)，其導函數(shù)為/‘。)，且滿足了(勸+礦工)>0,若。=>\1),

力=2〃2),c=3〃3),則()

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>c>aD.c>a>b

4.函數(shù)/(》)的定義域為R,〃-1)=2,對任意xwR,/'(x)>2,則/(x)>2x+4

的解集為().

A.R

B.(-oo,-l)

C.(—1,1)

D.(-l,+oo)

5.已知定義在(0,+u)上的函數(shù)滿足礦(％)一/(x)vO,其中/'(x)是函數(shù)

/(x)的導函數(shù)，若/(加一2021)>(加一2021)/(1),則實數(shù)加的取值范圍是()

A.(0,2021)B.(0,2022)C.(2021,+8)D.(2021,2022)

6.設函數(shù)/'(X)是奇函數(shù)的導函數(shù),/(-1)=0,當x>0時，

礦(x)—〃x)<0,則使得/(x)>0成立的工的取值范圍是()

試卷第20頁，總229頁

A.(OJ)U(l,-H?)B.(f-l)U(l,+oc)

C.(-oo,-l)u(0,l)D.(-l,0)U(l,+oo)

7.已知函數(shù)/(x)=ar2+bx-Inx伍>0,6wR),若對任意x>0,有⑴，

則()

A.Ina<-2bB.Ina>-2bC.In=-2bD.In>-2b

“\、In/

8.已知函數(shù)/(x)=xe',g(x)=2xln2x,若/&)=g(%)=/,f>0,則--的

最大值為()

1412

A.——B.—-C.—D.一

eeee

二、多選題

9.己知函數(shù)/(X)的導函數(shù)為尸(X),若/(X)W獷'(X)<2/(X)-X對X￡(0,+8)恒

成立，則下列不等式中，一定成立的是()

A./⑴〉午B./⑴〈牛

c./(D<^4.《4”⑴

10.已知函數(shù)y=/(x)在R上可導且/(0)=1,其導函數(shù)/'(X)滿足

(x+i)[ra)—/(x)]>o,對于函數(shù)g(%)=詈，下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)g(x)在上為增函數(shù)B.x=-l是函數(shù)g(x)的極小值點

C.函數(shù)g(x)必有2個零點D.e2f(e)>eef(2)

U.若定義域為(0,+。)的函數(shù)/a)的導函數(shù)_ra)滿足力口)+1>0,且/⑴=i,

則下列結(jié)論中成立的是()

A./(e)>0<2

e)

D.★/?-/^+2<0

C.Vxe(l,e),/(x)>0

12.定義在R上的函數(shù)/(x)滿足:〃x)+r(x)>l,/(0)=4,則關于不等式

e*/(x)>，+3的表述正確的為()

試卷第21頁，總229頁

A.解集為(O,+8)B.解集為(~oo,0)U(3,+oo)

C.在［-2,2］上有解D.在［-2,2］上恒成立

三、填空題

13.設/'(X)是函數(shù)/(x)在R的導函數(shù)，對DxwR,/(-X)+/(A)=X2,且Vxe［O,

”)，f(x)>x.若/'(2-4)一/(。)..2-2。，則實數(shù)。的取值范圍為

14.已知不等式alnx-工+1之/對任意工￡(0,1)恒成立，則實數(shù)。的最小值為

x

15.若時，關于％不等式級3*+2inx?0恒成立，則實數(shù)。的最大值是

16.若關于x的不等式e'-olnxNa恒成立，則實數(shù)〃的取值范圍為.

四、解答題

17.設函數(shù)/a)=x.e\g(x)二三答，

(I)求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

(II)設對于任意占戶2e［l，e］，且王<》2,都有g*-g")<』-恒成立,求實

x,-x2x1x2

數(shù)〃7的取值范圍.

18.已知函數(shù)/(x)=〃x-lnx有兩個零點為，x2.

(1)求。的取值范圍；

2

(2)求證：xxx2>e.

試卷第22頁，總229頁

等差數(shù)列與等比數(shù)列

I.在等比數(shù)列｛為｝中，若03=2,47=8,則4等于()

A.4B.-4C.±4D.5

答案A

解析???數(shù)列｛m｝為等比數(shù)列，且。3=2,幻=8,

.??ag=a3F7=2X8=16,則。$=±4,

???等比數(shù)列奇數(shù)項的符號相同，.??。5=4.

2.設Si為等差數(shù)列｛斯｝的前〃項和.若Ss=25,“3+44=8,則｛為｝的公差為()

A.-2B.-1C.1D.2

答案A

解析依題意，可得S5=酗±也=絲絲=25,

22

解得S=5,

又。3+。4=8,所以內(nèi)=3,

所以公差d=a4—內(nèi)=3—5=—2.

3.記S”為等比數(shù)列｛%｝的前〃項和.若牛一。3=12,46—。4=24,則&等于()

an

A.2W-1B.2—2廠“

C.2-2,rlD.2「"一1

答案B

解析方法一設等比數(shù)列｛五｝的公比為小

則1=口=曰=2.

as-a312

由as~ay=aiq4—a]q2=\2a\=12得m=1.

試卷第23頁，總229頁

所以S"=2"-1=2_2廣”.

nl

an2~

方法二設等比數(shù)列｛斯｝的公比為夕，

門「。302一的=12,①

則，■八

(i4q一內(nèi)=24,②

將夕=2代入①，解得仍=4.

所以0="：=1,下同方法一.

r

4.已知等差數(shù)列｛?。偷缺葦?shù)列｛瓦｝的各項都是正數(shù)，且0=力，。"=加|.那么一定有

()

A.B.a62b6