新高考數(shù)學(xué)題型全歸納之排列組合專題15隔板法模型含答案及解析

專題15隔板法模型例1．2020年高考強(qiáng)基計(jì)劃中，北京大學(xué)給了我校10個(gè)推薦名額，現(xiàn)準(zhǔn)備將這10個(gè)推薦名額分配給高三理科的6個(gè)班級(jí)，這6個(gè)班級(jí)每班至少要給一個(gè)名額，則關(guān)于分配方案的種數(shù)為（）A．462 B．126C．210 D．132例2．不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．例3．有30個(gè)完全相同的蘋果，分給4個(gè)不同的小朋友，每個(gè)小朋友至少分得4個(gè)蘋果，問(wèn)有多少種不同的分配方案？()A．680 B．816 C．1360 D．1456例4．從、、、4個(gè)班級(jí)中選10人組成衛(wèi)生檢查小組，每班至少選一人，每班人數(shù)的不同情況有多少種（）A．42 B．56 C．84 D．168例5．把9個(gè)完全相同的口罩分給6名同學(xué)，每人至少一個(gè)，不同的分法有（）種A．41 B．56 C．156 D．252例6．方程的正整數(shù)解共有（）組A．165 B．120 C．38 D．35例7．把16個(gè)相同的小球放到三個(gè)編號(hào)為1，2，3的盒子中，且每個(gè)盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號(hào)數(shù)，則共有多少種放法（）A．18 B．28 C．36 D．42例8．把座位號(hào)為、、、、、的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一張，且分給同一人的多張票必須連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為（）A． B． C． D．例9．（1）把6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？（2）把6個(gè)不同的小球放入4個(gè)相同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？（3）把6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？（4）把6個(gè)相同的小球放入4個(gè)相同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？例10．（1）求方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)；（2）某火車站共設(shè)有4個(gè)“安檢”入口，每個(gè)入口每次只能進(jìn)1個(gè)旅客求—個(gè)小組4人進(jìn)站的不同方案種數(shù)，要求寫出計(jì)算過(guò)程.例11．現(xiàn)有本書和位同學(xué)，將書全部分給這三位同學(xué).（1）若本書完全相同，每個(gè)同學(xué)至少有一本書，共有多少種分法？（2）若本書都不相同，共有多少種分法？（3）若本書都不相同，每個(gè)同學(xué)至少有一本書，共有多少種分法？例12．（1）六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有幾種？（2）把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有幾種？（3）四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，恰有一個(gè)空盒，共有多少種放法？（注：最后結(jié)果需用數(shù)字作答）例13．將6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子中，要求不出現(xiàn)空盒，共有_________種放法.（用數(shù)字作答）例14．方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)__________.例15．現(xiàn)有15個(gè)省三好學(xué)生名額分給1、2、3、4共四個(gè)班級(jí)，其中1班至少2個(gè)名額，2班、4班每班至少3個(gè)名額，3班最多2個(gè)名額，則共有_________種不同分配方案.例16．小紅同學(xué)去超市買糖果，現(xiàn)有四種不同口味的糖果可供選擇（可以有糖果不被選擇），單價(jià)均為一元一顆，小紅只有7元錢且要求全部花完，則不同的選購(gòu)方法共有______種.例17．10個(gè)相同的小球放在三個(gè)編號(hào)為1，2，3的盒中，每盒至少1個(gè)，有_________種方分法.例18．將3個(gè)1，11個(gè)0排成一列，使得每?jī)蓚€(gè)1之間至少隔著兩個(gè)0，則共有__________種不同的排法.例19．24個(gè)志愿者名額分給3個(gè)學(xué)校，則每個(gè)學(xué)校至少有1個(gè)名額且學(xué)校名額互不相同的分法有________種．例20．在5月6日返校體檢中，學(xué)號(hào)為（）的五位同學(xué)的體重增加量是集合中的元素，并滿足，則這五位同學(xué)的體重增加量所有可能的情況有________種

專題15隔板法模型例1．2020年高考強(qiáng)基計(jì)劃中，北京大學(xué)給了我校10個(gè)推薦名額，現(xiàn)準(zhǔn)備將這10個(gè)推薦名額分配給高三理科的6個(gè)班級(jí)，這6個(gè)班級(jí)每班至少要給一個(gè)名額，則關(guān)于分配方案的種數(shù)為（）A．462 B．126C．210 D．132【解析】將10個(gè)名額分為6份，即從9個(gè)分段中選擇5個(gè)段分開(kāi)，且不分順序，共有種方案.故選：B.例2．不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)將個(gè)相同小球放入三個(gè)盒子，允許有空盒的放法種數(shù).現(xiàn)在在每個(gè)盒子里各加一個(gè)相同的小球，問(wèn)題等價(jià)于將個(gè)相同小球放入三個(gè)盒子，沒(méi)有空盒的放法種數(shù)，則只需在個(gè)小球中形成的空位（不包含兩端）中插入兩塊板即可，因此，不定方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為.故選：C.例3．有30個(gè)完全相同的蘋果，分給4個(gè)不同的小朋友，每個(gè)小朋友至少分得4個(gè)蘋果，問(wèn)有多少種不同的分配方案？()A．680 B．816 C．1360 D．1456【解析】先給每個(gè)小朋友分三個(gè)蘋果，剩余個(gè)蘋果利用“隔板法”，個(gè)蘋果有個(gè)空，插入三個(gè)“板”，共有680種方法.故選：A.例4．從、、、4個(gè)班級(jí)中選10人組成衛(wèi)生檢查小組，每班至少選一人，每班人數(shù)的不同情況有多少種（）A．42 B．56 C．84 D．168【解析】將10個(gè)人排成一排，然后從中間形成的9個(gè)空中選3個(gè)，分別放入一個(gè)隔板，即可將10個(gè)人分為4個(gè)部分，且每部分至少1個(gè)人，由此可得每班人數(shù)的不同情況有種．故選C．例5．把9個(gè)完全相同的口罩分給6名同學(xué)，每人至少一個(gè)，不同的分法有（）種A．41 B．56 C．156 D．252【解析】問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為將9個(gè)完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一個(gè)，求其方法數(shù)．事實(shí)上，只需在上述9個(gè)完全相同的口罩所產(chǎn)生的8個(gè)“空檔”中選出5個(gè)“空檔”插入檔板，即產(chǎn)生符合要求的方法數(shù)．故有種．故選：B例6．方程的正整數(shù)解共有（）組A．165 B．120 C．38 D．35【解析】如圖，將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成的11個(gè)空隙中任選三個(gè)插入三塊隔板，把球分成四組，每一種分法所得球的數(shù)目依次是、、、，顯然滿足，故是方程的一組解，反之，方程的每一組解都對(duì)應(yīng)著一種在12個(gè)球中插入隔板的方式，故方程的正整數(shù)解的數(shù)目為：，故選：A.例7．把16個(gè)相同的小球放到三個(gè)編號(hào)為1，2，3的盒子中，且每個(gè)盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號(hào)數(shù)，則共有多少種放法（）A．18 B．28 C．36 D．42【解析】根據(jù)題意，個(gè)相同的小球放到三個(gè)編號(hào)為的盒子中，且每個(gè)盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號(hào)數(shù)，先在號(hào)盒子里放個(gè)球，在號(hào)盒子里放個(gè)球，在號(hào)盒子里放個(gè)球，則原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為將剩下的個(gè)小球，放入個(gè)盒子，每個(gè)盒子至少放個(gè)的問(wèn)題，將剩下的個(gè)球排成一排，有個(gè)空位，在個(gè)空位中任選個(gè)，插入擋板，有種不同的放法，即有個(gè)不同的符合題意的放法；故選：C．例8．把座位號(hào)為、、、、、的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一張，且分給同一人的多張票必須連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】因?yàn)槊咳酥辽僖粡?，且分給同一人的多張票必須連號(hào)，又分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，則在座位號(hào)、、、、、的五個(gè)空位插3個(gè)板子，有種，然后再分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，有種，所以不同的分法種數(shù)為,故選：B例9．（1）把6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？（2）把6個(gè)不同的小球放入4個(gè)相同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？（3）把6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？（4）把6個(gè)相同的小球放入4個(gè)相同的箱子中，每個(gè)箱子都不空，共有多少種放法？【解析】（1）6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的箱子，每個(gè)箱子至少一個(gè)小球，先把6個(gè)小球分組，有兩種分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4個(gè)不同的箱子，故不同的方法共有（種）（2）6個(gè)不同的小球放入4個(gè)不同的箱子，每個(gè)箱子至少一個(gè)小球，先把6個(gè)小球分組，有兩種分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4個(gè)相同的箱子，故不同的方法共有（種）（3）6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的箱子，每個(gè)箱子至少一個(gè)小球，則采用插板法，在個(gè)空中插入塊板，則不同的方法共有（種）（4）把6個(gè)相同的小球放入4個(gè)相同的箱子中，每個(gè)箱子至少一個(gè)小球，故可以首先每個(gè)箱子放入個(gè)小球，還剩下個(gè)小球，則這個(gè)小球，只有兩種結(jié)果，即兩個(gè)在一個(gè)箱子中，或兩個(gè)小球分別在一個(gè)箱子中，故只有種放法.例10．（1）求方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)；（2）某火車站共設(shè)有4個(gè)“安檢”入口，每個(gè)入口每次只能進(jìn)1個(gè)旅客求—個(gè)小組4人進(jìn)站的不同方案種數(shù)，要求寫出計(jì)算過(guò)程.【解析】（1）若定義，其中，則是從方程的非負(fù)整數(shù)解集到方程的正整數(shù)解集的映射，利用隔板法得，方程正整數(shù)解得個(gè)數(shù)是從而方程的非負(fù)整數(shù)解得個(gè)數(shù)也是56；（2）這4名旅客通過(guò)安檢口有4種情況：從1個(gè)安檢口通過(guò)，從2個(gè)安檢口通過(guò)，從3個(gè)安檢口通過(guò)，從4個(gè)安檢口通過(guò)。從1個(gè)安檢口通過(guò)共有：種方案；從2個(gè)安檢口通過(guò)，可能有1個(gè)安檢口通過(guò)1人，另一個(gè)安檢口通過(guò)3人有：種方案；從2個(gè)安檢口通過(guò)，可能每一個(gè)安檢口都通過(guò)2人有：種方案；從3個(gè)安檢口通過(guò)，可能有2個(gè)安檢口各通過(guò)1人，有1個(gè)安檢口通過(guò)2人有：種方案；從4個(gè)安檢口通過(guò)共有：種方案，所以這4個(gè)旅客進(jìn)站的不同方案有：種.例11．現(xiàn)有本書和位同學(xué)，將書全部分給這三位同學(xué).（1）若本書完全相同，每個(gè)同學(xué)至少有一本書，共有多少種分法？（2）若本書都不相同，共有多少種分法？（3）若本書都不相同，每個(gè)同學(xué)至少有一本書，共有多少種分法？【解析】（1）根據(jù)題意，若本書完全相同，將本書排成一排，中間有個(gè)空位可用，在個(gè)空位中任選個(gè)，插入擋板，有種情況，即有種不同的分法；（2）根據(jù)題意，若本書都不相同，每本書可以分給人中任意1人，都有3種分法，則5本不同的書有種；（3）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將本書分成組，若分成1、1、3的三組，有種分組方法，若分成1、2、2的三組，有種分組方法，則有種分組方法；②將分好的三組全排列，對(duì)應(yīng)名學(xué)生，有種情況，則有種分法.例12．（1）六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有幾種？（2）把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有幾種？（3）四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，恰有一個(gè)空盒，共有多少種放法？（注：最后結(jié)果需用數(shù)字作答）【解析】（1）按照最左端排誰(shuí)分兩類：①排甲：其余5個(gè)人作全排列，有種，②排乙：最右端不排甲有種，其余四人作全排列有種，故共有種，由分類計(jì)數(shù)原理共有種；（2）分步完成：①將A，B捆在一起當(dāng)作一個(gè)元素與除C的3個(gè)元素一起作全排列，有種，②將C插入到已經(jīng)排好的排列中，讓A，C不相鄰，有種，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有種；（3）四個(gè)不同的小球編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，恰有一個(gè)空盒，說(shuō)明恰有一個(gè)盒子中有2個(gè)小球，從4個(gè)小球中選兩個(gè)作為一個(gè)元素，同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置全排列，有種不同的放法.例13．將6個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子中，要求不出現(xiàn)空盒，共有_________種放法.（用數(shù)字作答）【解析】根據(jù)題意，將6個(gè)小球排成一排，排好后有5個(gè)可用的空位，在5個(gè)空位中任選3個(gè)，插入擋板，共有種情況，可以將6個(gè)小球分成4組，依次放入4個(gè)不同的盒子中即可，所以共有10中不同的放法．例14．方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)__________.【解析】問(wèn)題中的看作是三個(gè)盒子，問(wèn)題則轉(zhuǎn)化為把個(gè)球放在三個(gè)不同的盒子里，有多少種方法．將個(gè)球排一排后，中間插入兩塊隔板將它們分成三堆球，使每一堆至少一個(gè)球．隔板不能相鄰，也不能放在兩端，只能放在中間的個(gè)空內(nèi)．共有種．

故答案為：例15．現(xiàn)有15個(gè)省三好學(xué)生名額分給1、2、3、4共四個(gè)班級(jí)，其中1班至少2個(gè)名額，2班、4班每班至少3個(gè)名額，3班最多2個(gè)名額，則共有_________種不同分配方案.【解析】由3班最多2個(gè)名額，3班有2、或1個(gè)，或0個(gè)名額三種情況.（1）、當(dāng)3班有2個(gè)名額時(shí)，先給1班1個(gè)名額，2班、4班各2個(gè)名額，然后將剩下的8個(gè)名額分給1班、2班和4班，每個(gè)班至少一個(gè)名額.相當(dāng)于將8個(gè)元素排成一排，在中間加入2個(gè)隔板將他們分成3組，1班、2班和4班分別得到一組，有種分法.（2）、當(dāng)3班有1個(gè)名額時(shí)，先給1班1個(gè)名額，2班、4班各2個(gè)名額，然后將剩下的9個(gè)名額分給1班、2班和4班，每個(gè)班至少一個(gè)名額.相當(dāng)于將9個(gè)元素排成一排，在中間加入2個(gè)隔板將他們分成3組，1班、2班和4班分別得到一組，有種分法.（3）、當(dāng)3班沒(méi)有分得名額時(shí)，先給1班1個(gè)名額，2班、4班各2個(gè)名額，然后將剩下的10個(gè)名額分給1班、2班和4班，每個(gè)班至少一個(gè)名額.相當(dāng)于將10個(gè)元素排成一排，在中間加入2個(gè)隔板將他們分成3組，1班、2班和4班分別得到一組，有種分法.所以一共有種不同的分配方案.故答案為：85.例16．小紅同學(xué)去超市買糖果，現(xiàn)有四種不同口味的糖果可供選擇（可以有糖果不被選擇），單價(jià)均為一元一顆，小紅只有7元錢且要求全部花完，則不同的選購(gòu)方法共有______種.【解析】把7元看作7個(gè)相同的小球，四種糖果看作是四個(gè)盒子，問(wèn)題變?yōu)榘?個(gè)小球放到4個(gè)盒子中，允許有空盒，因此補(bǔ)充4個(gè)小球，共11個(gè)小球，分到四個(gè)盒子中，用插隔板方法，共有方法數(shù)為．故答案為：120．例17．10個(gè)相同的小球放在三個(gè)編號(hào)為1，2，3的盒中，每盒至少1個(gè)，有_________種方分法.【解析】依據(jù)題意，10個(gè)相同的小球放在3個(gè)盒中，每盒至少1個(gè)，可轉(zhuǎn)化為將10個(gè)相同小球分成三組，每組至少1個(gè)；可將10個(gè)小球排成一列，進(jìn)而在排除兩端的9個(gè)空位中，選取2個(gè)，插入隔板即可，由組合公式可得共有種分法.故答案為：.例18．將3個(gè)1，11個(gè)0排成一列，使得每?jī)蓚€(gè)1之間至少隔著兩個(gè)0，則共有__________種不同的排法.【解析】解：符合條件的排列中，3個(gè)1將11個(gè)0分成四段，設(shè)每一段分別有個(gè)0，則，，，且，令，，則．因此原問(wèn)題等價(jià)于求方程的自然數(shù)解的組數(shù)，將7個(gè)1與3塊隔板進(jìn)行排列，其排列數(shù)即對(duì)應(yīng)方程自然數(shù)解的組數(shù)，所