不定積分概述

不定積分概述一、原函數(shù)的概念

由微分學(xué)知，若已知曲線方程y=f(x)，則可求出該曲線在任一點(diǎn)x處的切線的斜率k=f′(x).例如，曲線y=x2在點(diǎn)x處切線的斜率為k=2x.現(xiàn)在要解決其反問題：已知曲線上任意一點(diǎn)x處的切線的斜率，要求該曲線的方程.為此，引進(jìn)原函數(shù)的概念.

設(shè)f(x)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若存在函數(shù)F(x)，使得對(duì)任意x∈I均有F′(x)=f(x)或dFx=fxdx,則稱函數(shù)Fx為fx在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù).例如，因?yàn)?sinx)′=cosx,故sinx是cosx的一個(gè)原函數(shù).又如，當(dāng)x>0時(shí)，(lnx)′=1/x，所以lnx是1/x在區(qū)間0,+∞上的一個(gè)原函數(shù).對(duì)于給定的函數(shù)fx具備什么條件才有原函數(shù)？這個(gè)問題將在下一章討論，這里先介紹一個(gè)結(jié)論.定義1

一、原函數(shù)的概念定理1（原函數(shù)存在定理）若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),則函數(shù)f(x)在區(qū)間I上存在原函數(shù)F(x).由于初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都是連續(xù)的,所以初等函數(shù)在其定義區(qū)間上都存在原函數(shù).如果一個(gè)函數(shù)存在原函數(shù)，那么它的原函數(shù)是否唯一？事實(shí)上，函數(shù)fx的原函數(shù)不是唯一的.例如，x2是2x的一個(gè)原函數(shù)，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一個(gè)原函數(shù).如果一個(gè)函數(shù)存在原函數(shù)，那么這些原函數(shù)之間有什么關(guān)系呢？一、原函數(shù)的概念定理2若F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù),則F(x)+C（C為任意常數(shù)）是fx在區(qū)間I上的全體原函數(shù).定理2說明,若一個(gè)函數(shù)有原函數(shù),則它必有無窮多個(gè)原函數(shù),且它們彼此相差一個(gè)常數(shù).事實(shí)上，設(shè)F(x)和G(x)都是f(x)的原函數(shù)，則［F(x)－G(x)］′=F′(x)－G′(x)=f(x)－f(x)=0,即F(x)－G(x)=C(C為任意常數(shù))，由此知道，若F(x)為f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)為F(x)+C(C為任意常數(shù)).一、原函數(shù)的概念求函數(shù)fx的原函數(shù)，實(shí)質(zhì)上就是討論它是由什么函數(shù)求導(dǎo)得來的.而若求得fx的一個(gè)原函數(shù)F(x)，其全體原函數(shù)即為F(x)+C.注意一、原函數(shù)的概念二、不定積分的概念定義2

若函數(shù)Fx是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù),則函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)F(x)+C稱為fx在區(qū)間I上的不定積分,記為∫f(x)dx,即∫f(x)dx=F(x)+C，其中記號(hào)“∫”稱為積分號(hào),f(x)稱為被積函數(shù),f(x)dx稱為被積表達(dá)式,x稱為積分變量,C稱為積分常數(shù).一個(gè)函數(shù)的不定積分既不是一個(gè)數(shù)，也不是一個(gè)函數(shù)，而是一族函數(shù).注意

由不定積分的定義知，求函數(shù)f(x)的不定積分，就是求f(x)的全體原函數(shù)，在∫fxdx中，積分號(hào)∫表示對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行求原函數(shù)的運(yùn)算，故求不定積分的運(yùn)算實(shí)質(zhì)上就是求導(dǎo)(或求微分)運(yùn)算的逆運(yùn)算.二、不定積分的概念

求∫exdx.

解

因?yàn)?ex)′=ex,所以∫exdx=ex+C.【例1】二、不定積分的概念

求∫1/xdx.

解

當(dāng)x>0時(shí),因?yàn)?lnx)′=1/x，所以∫1xdx=lnx+C;當(dāng)x<0時(shí),因?yàn)?/p>

,所以∫1/xdx=ln(－x)+C.綜上可得，∫1/xdx=ln|x|+C.【例2】二、不定積分的概念三、不定積分的幾何意義函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)的圖形稱為f(x)的一條積分曲線.因此，不定積分∫f(x)dx=F(x)+C對(duì)應(yīng)的是一族積分曲線，稱為f(x)的積分曲線族.這就是不定積分的幾何意義.f(x)的積分曲線族有如下特點(diǎn)：（1）積分曲線族中的每一條曲線都可以由某一條確定的積分曲線沿y軸的方向上、下平行移動(dòng)得到.（2）在每一條積分曲線上作橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處的切線，這些切線的斜率相等，從而使相應(yīng)點(diǎn)的切線相互平行(見圖4-1).三、不定積分的幾何意義

已知曲線上任一點(diǎn)的切線斜率等于該點(diǎn)處橫坐標(biāo)平方的3倍，且曲線過點(diǎn)(0,1)，求此曲線.解設(shè)所求的曲線方程為y=f(x)，由導(dǎo)數(shù)的幾