二次型的標準型_第1頁
二次型的標準型_第2頁
二次型的標準型_第3頁
二次型的標準型_第4頁
二次型的標準型_第5頁
已閱讀5頁，還剩6頁未讀， 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權說明：本文檔由用戶提供并上傳，收益歸屬內(nèi)容提供方，若內(nèi)容存在侵權，請進行舉報或認領

文檔簡介

二次型的標準型二次型的標準型本章只討論變量取實值，系數(shù)也為實數(shù)的實二次型.二次型可以用矩陣的乘積形式表示，令則二次型就可以寫成下面的形式：f(x1,x2,…,xn)=xTAx（7-10）其中，AT=A（即A為實對稱矩陣）.根據(jù)式（7-10），n個變量的實二次型f(x)與n階實對稱矩陣A有一一對應的關系，稱矩陣A為二次型f(x1,x2,…,xn)的矩陣，A的秩r(A)定義為二次型f(x1,x2,…,xn)的秩.反過來，對于任意一個給定的n階實對稱矩陣A，可以得到唯一的一個以A為矩陣的二次型xTAx，其中x=(x1,x2,…,xn)T.試寫出二次型f(x1,x2,x3)=x21+4x1x2+7x22+6x1x3+2x2x3－x23

的矩陣.解因為二次型寫成了合并同類項的形式，故其矩陣的對角線元aii為x2i的系數(shù)，而非對角線元，即i≠j時aij=aji是乘積項xixj的系數(shù)的一半，故有【例7-1】【例7-2】在二次型的研究中，中心問題之一是要對給定的二次型式（7-9），確定一個可逆矩陣P，使通過可逆線性變換x=Py（7-11）將f(x1,x2,…,xn)=xTAx化簡為新變量y1,y2,…,yn的標準型f=d1y21+d2y22+…+dny2n=yTDy（7-12）其中D=diag(d1,d2,…,dn)把式（7-11）代入式（7-10），得f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y故若能找到可逆矩陣P，使PTAP=D（7-13）其中,D為對角陣，則得到二次型的標準型.這就是說，化實二次型為標準型的問題可歸結(jié)成上述由式（7-13）表出的矩陣問題，即下面定義的，實對稱矩陣相合于實對角陣的問題.定義7-4c對n階矩陣A與B，若存在n階可逆矩陣P，使B=PTAP（7-14）則稱A與B合同或A與B是合同矩陣或相合矩陣.若Q為正交矩陣，則有Q－1AQ=QTAQ=B所以對實對稱矩陣，若正交矩陣P使得A與B相似，則自然有A與B合同；又因?qū)崒ΨQ矩陣A一定能對角化，故必有A=QΛQ－1

成立.Q-1AQ=Λ這可改寫成QTAQ=Λ故可得到化二次型為標準型的現(xiàn)成方法——正交變換法（這個方法將在第二節(jié)中著重介紹）.需要指出，式（7-13）中的可逆矩陣P不僅一定可以找到（如可取一正交矩陣），而且滿足條件的可逆矩陣P

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明，都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等，如果需要附件，請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙，網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預覽，若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間，僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理，對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯，并不能對任何下載內(nèi)容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權或不適當內(nèi)容，請與我們聯(lián)系，我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

最新文檔

評論

0/150

提交評論