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可降階的高階微分方程一、形如y″=f(x)型的微分方程對(duì)于微分方程y″=f(x)，其右端僅含自變量x，如果以y′為未知數(shù)，就是一階微分方程，兩端積分得y′=∫f(x)dx+C1，再次積分得y=∫(∫f(x)dx)dx+C1x+C2．以此類推，對(duì)于n階微分方程，連續(xù)積分n次，便得含有n個(gè)任意常數(shù)的通解．

解方程y″=ex+6x．解連續(xù)二次積分，得y′=ex+3x2+C1，y=ex+x3+C1x+C2．【例1】一、形如y″=f(x)型的微分方程二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程

方程y″=f(x,y′)（6-18）的右端不顯含y．令y′=p(x)，則y″=dp，代入方程（6-18）中，得這是一階方程，設(shè)其通解為p=φ(x,C1)，因y′=p(x)，于是dydx=φ(x,C1)，兩端積分，得y=∫φ(x,C1)dx+C2．

解方程xy″=y′lny′．解設(shè)y′=p(x)，則，方程化為分離變量，得為所求方程的通解．【例2】二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程【例3】二、形如y″=f(x,y′)型的微分方程三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程方程y″=f(y,y′)（6-19）中不顯含自變量x．為了求出它的解，我們令y′=p，并利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則把y″化為對(duì)y的導(dǎo)數(shù)，即這樣，方程（6-19）就成為這是一個(gè)關(guān)于y,p變量的一階微分方程．設(shè)它的通解為y′=p=φ(y,C1)，分離變量并積分，便得方程的通解為

求微分方程yy″－y′2－y′=0的通解．解方程不顯含自變量x，設(shè)y′=p，則，代入方程得在y≠0,p≠0時(shí)，約去p并整理，得

這是關(guān)于p的一階線性微分方程，利用公式解之得p=C1y－1，即y′=C1y－1，再分離變量并兩端積分，便得方程的通解為【例4】三、形如y″=f(y,y′)型的微分方程思考

（1）為什么在方程y″=f(y,y′)中，令y′=p降階，要用，而不用簡(jiǎn)單的y″=p′呢？（2

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