空間曲線方程

空間曲線方程一、空間曲線及其方程空間曲線的一般式方程1.空間直線可以看作是兩個(gè)平面的交線，而它的方程可以用這兩相交平面方程的聯(lián)立方程組來表示，同樣空間曲線可以看作兩個(gè)曲面的交線．設(shè)有兩個(gè)相交的曲面，它們的方程分別是F1(x,y,z)=0，F(xiàn)2(x,y,z)=0．那么聯(lián)立方程組

（7-15）就是它們交線的方程，稱式(715）為空間曲線的一般式方程．一、空間曲線及其方程（1）曲線方程(7-15）以這種形式表示一條曲線．若把兩個(gè)方程消去一個(gè)未知量，化為一個(gè)方程，則該方程表示的就不是空間曲線，而是一個(gè)這條曲線所在的柱面．（2）空間曲線的一般式方程表達(dá)形式不唯一．因?yàn)橐粭l空間曲線可以是兩曲面F1和F2的交線，也可以是曲面G1和G2的交線，而通過該曲線的曲面有無窮多個(gè)，為此，它可以看作其中任何兩個(gè)曲面的交線．但是，當(dāng)兩個(gè)曲面確定后，其交線是唯一確定的．注意一、空間曲線及其方程求以（1,-2,3）為球心，3為半徑的球面與平面z=5交線的方程，這是一條什么曲線？

解由已知可得，給定球面的方程為(x－1)2+(y+2)2+(z－3)2=9，所以所求交線的方程為【例1】一、空間曲線及其方程即由此可知，交線為在平面z=5上，以（1,-2）為中心，為半徑的圓周．一、空間曲線及其方程空間曲線的參數(shù)式方程2.空間曲線的參數(shù)式方程是我們?cè)趯W(xué)習(xí)多元函數(shù)積分學(xué)時(shí)要用到的，但其方程的建立比較麻煩，我們這里只簡(jiǎn)單介紹只有一個(gè)參變量的參數(shù)方程．如果曲線C上的點(diǎn)M(x,y,z)的坐標(biāo)可以表示為某個(gè)變量t的函數(shù)，即

（7-16）當(dāng)t在［α,β］上每取一個(gè)值時(shí)，就得到曲線C上的一個(gè)點(diǎn)M(x,y,z)，而t由α變到β時(shí)就得到曲線C上的所有點(diǎn)．則式(7-16）稱為曲線C的參數(shù)式方程，其中t稱為參數(shù)．一、空間曲線及其方程設(shè)空間一點(diǎn)M在圓柱面x2+y2=a2上以勻角速度ω繞z軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以勻線速度v沿平行于z軸的正方向上升（其中ω，v都是常數(shù)），那么，此點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡習(xí)慣稱為螺旋線．試建立螺旋線的參數(shù)方程．

解取時(shí)間t為參數(shù)．設(shè)當(dāng)t=0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)位于軸上一點(diǎn)A(a,0,0)處．經(jīng)過時(shí)間t，動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到B(x,y,z)（見圖7-43）．由已知條件可得參數(shù)方程為【例2】圖7-43一、空間曲線及其方程如果取θ=ωt為參數(shù)，并設(shè)，澤有由此可知，曲線的參數(shù)方程不唯一，它與參數(shù)的選取有關(guān)，這里不作詳細(xì)介紹．二、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影

設(shè)在空間直角坐標(biāo)系中有一條曲線C′，過C′作母線平行于z軸的柱面，與xOy平面的交線為C，則稱C為曲線C′在xOy面上的投影曲線（見圖7-44）．圖7-44二、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影下面來建立空間曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程．設(shè)空間曲線C′的方程為

（7-17）為求C′在坐標(biāo)面xOy面上的投影曲線方程，現(xiàn)從式(7-17）中消去z后，得方程H(x,y)=0，（7-18）二、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影這正是母線平行于z軸的柱面方程．由于它是從式(7-17）中得出，為此，在曲線C′上的點(diǎn)，其坐標(biāo)必滿足式(7-17），從而也一定滿足H（x,y）=0，所以，這個(gè)柱面是以曲線C′為準(zhǔn)線的柱面，我們稱其為投影柱面．它與xOy坐標(biāo)面的交線C的方程為

（7-19）即為空間曲線C′在xOy坐標(biāo)面上的投影曲線方程．二、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影同理，從式(7-17）中消去x或y，分別得投影柱面方程G(y,z)=0或R(x,z)=0，再分別與x=0或y=0聯(lián)立，即可得曲線C′在坐標(biāo)面yOz面或zOx面上的投影曲線方程分別為求兩球面x2+y2+z2=1和(x－1)2+y2+(z－1)2=1的交線在xOy面上的投影方程．

【例3】二、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影分析要求曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線方程，只要找到投影柱面方程，然后與坐標(biāo)面方程聯(lián)立即可．而投影柱面方程只需要將曲線方程消去一個(gè)相應(yīng)的未知量即可．

解將曲線方程二、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影中未知量z消去．方程組中兩方程相減得x+z=1，即z=1－x，將其代入x2+y2+z2=1得投影柱面方程為2x2+y2－2x=0．于是，兩球面的交線在xOy面上的投影曲線方程為最后，我們通過例題來說明，空間解析幾何中由方程來描繪空間區(qū)域的方法．它在今后多元函數(shù)積分學(xué)中經(jīng)常用到，要仔細(xì)體會(huì)．二、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影描繪由x≥0，y≥0，z≥0，x+y≤1，y2+z2≤1所圍成的立體圖形．

解在空間解析幾何中，不等式關(guān)系描述了曲線上（下）方或內(nèi)（外）的區(qū)域，為此，我們?cè)诳臻g直角坐標(biāo)系中只要描繪出相應(yīng)方程的圖形，就可得到所描繪的空間區(qū)域．方程x+y=1表示過點(diǎn)（1，0，0）和點(diǎn)（0，1，0）且平行于z軸的平面．【例4】二、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影x+y≤1表示以x+y=1為界，且包含原點(diǎn)的那個(gè)半空間．方程y2+z2=1表示以坐標(biāo)面yOz面上的圓y2+z2=1為準(zhǔn)線，母線平行于x軸的圓柱面．于是y2+z2≤1表示這個(gè)圓柱面所圍成的內(nèi)部及其表面．直圓柱面y2+z2=1在平面x=0,y=0，x+y=1上的截線分別是圓、直線和橢圓；平面x+y=1