【八年級下冊數(shù)學滬科版】19.4 綜合與實踐多邊形的鑲嵌

19.4綜合與實踐多邊形的鑲嵌（限時60分鐘滿分120分）一、選擇（本題共計6小題，每題5分，共計30分）1．能夠鋪滿地面的正多邊形組合是()A．正五邊形和正方形 B．正八邊形和正方形C．正六邊形和正方形 D．正十邊形和正方形2．正方形和下列邊長相同的正多邊形地磚組合中，不能夠鋪滿地面的是（）A．正三角形 B．正六邊形C．正八邊形 D．正三角形和正六邊形3．用三塊正多邊形的木塊鋪地，拼在一起后，相交于一點的各邊完全吻合，設(shè)其邊數(shù)為4，6，m，則m的值是（）A．3 B．5 C．8 D．124．用正三角形和正六邊形鑲嵌，若每一個頂點周圍有m個正三角形、n個正六邊形，則m,n滿足的關(guān)系式是()A．2m+2n=12 B．m+n=8 C．2m+n D．m+2n=65．某市為了迎接世界大學生冬季運動會，正在進行城區(qū)人行道路翻新，準備選用同一種正多邊形地磚鋪設(shè)地面．下列正多邊形的地磚中，不能使用的是（）A． B．C． D．6．如圖是某廣場用地板鋪設(shè)的部分圖案，中央是一塊正六邊形的地板磚，周圍是正三角形和正方形的地板磚．從里向外的第1層包括6個正方形和6個正三角形，第2層包括6個正方形和18個正三角形，依此遞推，第10層中含有正三角形個數(shù)是（）A．102個 B．114個 C．126個 D．138個二、填空（本題共計5小題，每空5分，共計35分）7．用邊長相等的正三角形與正方形能夠密鋪，設(shè)在一個頂點周圍有x個正三角形的角，有y個正方形的角，則x=，y=．8．商店出售下列形狀的地磚：①長方形；②正方形；③正五邊形；④正六邊形．若只選購其中某一種地磚鑲嵌地面，可供選擇的地磚有．（只填序號）9．設(shè)在一個頂點周圍有a個正四邊形，b個正八邊形，進行平面鑲嵌，則a=，b=．10．一幅圖案在某個頂點處由三個邊長相等的正多邊形鑲嵌而成.其中的兩個正六邊形和正十二邊形，則第三個多邊形的邊數(shù)是.11．用4個全等的正八邊形拼接，使相鄰的兩個正八邊形有一條公共邊，圍成一圈后中間形成一個正方形，如圖1，用n個全等的正六邊形按這種方式拼接，如圖2，若圍成一圈后中間也形成一個正多邊形，則n的值為．三、解答（本題共計6小題，共55分）12．（5分）正八邊形地板磚，能鋪滿地面，既不留下一絲空白，又不相互重疊嗎？請說明理由．13．（10分）如圖，它是地板廠家加工地板時剩的邊角余料，問用同一種任意四邊形的木板可以進行鑲嵌嗎？請說明理由．14．（10分）試說明：用15塊大小是4×1的矩形地磚和一塊大小是2×2的正方形地磚能不能恰好鋪蓋一塊大小是8×8的正方形地面．15．（10分）一底角為60°的等腰梯形的腰長和一個正三角形的邊長相等，同時使用這兩種圖形能否鋪滿平面？若能，請設(shè)計一個圖案；若不能，請說明理由．16．（10分）①用同一種特殊的多邊形（如三個角都相等的等邊三角，四個角都相等的正方形等）能否鋪滿平面？有哪幾種情況？②用同一種一般四邊形能否鋪滿平面？說明理由．17．（10分）現(xiàn)實生活中，鑲嵌圖案在地面、墻面乃至于服裝面料設(shè)計中隨處可見．在八年級課題學習“平面圖形的鑲嵌”中，對于單種多邊形的鑲嵌，主要研究了三角形、四邊形、正六邊形的鑲嵌問題．今天我們把正多邊形的鑲嵌作為研究問題的切入點，提出其中幾個問題，共同來探究.

我們知道，可以單獨用正三角形、正方形或正六邊形鑲嵌平面．如圖，用正方形鑲嵌平面，可以發(fā)現(xiàn)在一個頂點O周圍圍繞著4個正方形的內(nèi)角.

試想：如果用正六邊形鑲嵌平面，在一個頂點周圍應該圍繞個正六邊形內(nèi)角．

問題提出

如果我們要同時用兩種不同的正多邊形鑲嵌平面，可能設(shè)計出幾種不同的組合方案？

問題解決

猜想1：是否可以同時用正方形、正八邊形兩種正多邊形組合進行平面鑲嵌？

分析：我們可以將此問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題來解決．從平面圖形的鑲嵌中可以發(fā)現(xiàn)，解決問題的關(guān)鍵在于分析能同時用于完整鑲嵌平面的兩種正多邊形的內(nèi)角特點．具體地說，就是在鑲嵌平面時，一個頂點周圍圍繞的各個正多邊形的內(nèi)角恰好拼成一個周角．

驗證1：在鑲嵌平面時，設(shè)圍繞某一點有x個正方形和y個正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角．根據(jù)題意，可得方程：90x+8?2×1808·y=360，整理得：2x+3y=8，

我們可以找到惟一一組適合方程的正整數(shù)解為x=1y=2．

結(jié)論1：鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著1個正方形和2個正八邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角，所以同時用正方形和正八邊形兩種正多邊形組合可以進行平面鑲嵌．

猜想2：是否可以同時用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合進行平面鑲嵌？若能，請按照上述方法進行驗證，并寫出所有可能的方案；若不能，請說明理由．

答案部分1．B2．B3．D4．D5．C6．B7．3；28．①②④9．1；210．411．612．解：不能．∵正八邊形每個內(nèi)角是(8?2)×180°8∴不能密鋪．13．解：能進行鑲嵌；理由：由鑲嵌的條件知，在一個頂點處各個內(nèi)角的和為360°時，就能鑲嵌．而任意四邊形的內(nèi)角和是360°，只要放在同一頂點的4個內(nèi)角和為360°，故能進行鑲嵌．14．解：如圖，在大小是8×8的正方形地面上畫出64個小方格，并按如圖所示的方法涂上黑，白兩種顏色，黑，白小方格各有32個，每一橫行或每一縱行都分別有4個黑方格和4個白方格，用一塊大小是4×1的矩形地磚無論鋪在橫行，還是縱行上，總是蓋住2個黑方格和2個白方格，鋪下15塊后，共能蓋住30個黑方格和30個白方格，地面上，一定剩下2個黑方格和2個白方格必須用2×2的正方形地磚，但從圖中可以發(fā)現(xiàn)，2×2的正方形地磚無論鋪在地面上的什么位置，都不能蓋住2個黑方格和2個白方格，蓋住的方格是3黑1白或1黑3白，因此不能恰好鋪蓋成功．15．解：如圖所示：一底角為60°的等腰梯形的腰長和一個正三角形的邊長相等，不能同時使用這兩種圖形能否鋪滿平面，因為只有梯形上底等于腰長，下底等于上底的2倍，才能同時使用這兩種圖形能否鋪滿平面．16．【解答】①用同一種正多邊形鑲嵌，能鋪滿平面，只有正方形，正六邊形，等邊三角形三種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖案，有三種情況；②用同一種一般四邊形能鋪滿平面；理由：由鑲嵌的條件知，在一個頂點處各個內(nèi)角的和為360°時，就能鑲嵌．而任意四邊形的內(nèi)角和是360°，只要放在同一頂點的4個內(nèi)角和為360°即可，故能鋪滿平面．17．解：3個；

驗證2：在鑲嵌平面時，設(shè)圍繞某一點有a個正三角形和b個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角．根據(jù)題意，可得方程：60a+120b=360．整理得：a+2b=6，

可以找到兩組適合方程的正整數(shù)解為a=2b=2和a=4b=1．

結(jié)論2：鑲嵌平面時，在一個頂點周圍圍繞著2個正三角形和2個正六邊形的內(nèi)角或者圍繞著4個正三角形和1個正六邊形的內(nèi)角可以拼成一個周角，所以同時用正三角形和正六邊形兩種正多邊形組合可以進行平面鑲嵌．5分

猜想3：是否可