數(shù)學(xué)的定義完整版本

第二講數(shù)學(xué)是什么一、數(shù)學(xué)的“定義”二、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)三、數(shù)學(xué)與教育

1一、數(shù)學(xué)的“定義”

恩格斯：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學(xué)。

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，“數(shù)量關(guān)系”和“空間形式”具備了更豐富的內(nèi)涵和更廣泛的外延。（工科類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求）進(jìn)入信息時代，數(shù)學(xué)迅猛發(fā)展?！盎煦鏑haos”、”分形幾何FractalGeometry”、“數(shù)理邏輯（mathematicallogic）等新的數(shù)學(xué)分支，似乎不能包含在上述定義中。人們在尋找數(shù)學(xué)的新“定義”。但是，要給數(shù)學(xué)下個定義，并不那么容易。至今難以有關(guān)于“數(shù)學(xué)”的、大家取得共識的“定義”。21．古今數(shù)學(xué)家的說法（1）（美）R·柯朗（《什么是數(shù)學(xué)》）：“數(shù)學(xué)，作為人類智慧的一種表達(dá)形式，反映生動活潑的意念，深入細(xì)致的思考，以及完美和諧的愿望，它的基礎(chǔ)是邏輯和直覺，分析和推理，共性和個性。”34（2）（法）E·波萊爾:“數(shù)學(xué)是我們確切知道我們在說什么，并肯定我們說的是否對的唯一的一門科學(xué)?！保?）（英）羅素：“數(shù)學(xué)是所有形如p蘊(yùn)含q的命題的類”，而最前面的命題p是否對，卻無法判斷。因此“數(shù)學(xué)是我們永遠(yuǎn)不知道我們在說什么，也不知道我們說的是否對的一門學(xué)科?！贬樹h相對！5羅素[英](Russell,Bertrand,1872～1970)

E·波萊爾[法](Borewer,1872～1970)

6

數(shù)學(xué)是一種語言，是一切科學(xué)的語言數(shù)學(xué)是一把鑰匙，一把打開科學(xué)大門的鑰匙

數(shù)學(xué)是一種工具，一種思維的工具數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，一門創(chuàng)造性藝術(shù)

2.

王元明（東南大學(xué)）：《數(shù)學(xué)是什么》71）萬物皆數(shù)2）符號說3）哲學(xué)說4）科學(xué)說5）邏輯說6）集合說7）結(jié)構(gòu)說（關(guān)系說）8）模型說9）工具說10）直覺說11）精神說12）審美說13）活動說14）藝術(shù)說

3.數(shù)學(xué)的14個“定義”8

14個“定義”來自方延明的《數(shù)學(xué)文化》方延明（南京大學(xué)）9是說數(shù)的規(guī)律是世界的根本規(guī)律，一切都可以歸結(jié)為整數(shù)與整數(shù)比?！叭f物皆數(shù)”可追溯到畢達(dá)哥拉斯（公元前約580－500）。他精通數(shù)學(xué)，熱心探討數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系。他發(fā)現(xiàn)發(fā)出諧音的琴弦長度之比是整數(shù)比。他認(rèn)為球和圓是最完美的幾何形體，所以大地應(yīng)該是球形的，行星應(yīng)該作圓周運(yùn)動。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派主張：數(shù)是萬物之本源，有了數(shù)才有點(diǎn)，有了點(diǎn)才有線、面、體，有了這些幾何形體才有宇宙萬物?？傊?，萬物皆數(shù)！

萬物皆數(shù)說：10萬物皆數(shù)代有傳人古希臘的另一位先哲柏拉圖（公元前427－347）認(rèn)為：造物主是數(shù)學(xué)家，根據(jù)幾何原理建造宇宙。當(dāng)時已知五種正多面體，柏拉圖將構(gòu)成萬物的四元素火、土、氣、水分別對應(yīng)于四面體、六面體、八面體、二十面體，宇宙則對應(yīng)于最接近球形的十二面體。

天文學(xué)家開普勒（1571－1630）說：“幾何學(xué)在上帝創(chuàng)造萬物前就已存在，為上帝創(chuàng)世提供了模型?！遍_普勒提出：金木水火土加上地球這六大行星，其圓形軌道位于六個以太陽為中心的同心球面上，以上述五種正多面體之表面作為六個球面之間的支撐，構(gòu)成太陽系的幾何模型。他根據(jù)第谷（1546－1601）對行星運(yùn)動的觀測數(shù)據(jù)，試圖證實(shí)這個上帝創(chuàng)造的完美模型未果。十六年后，開普勒終于發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)動三定律，證明行星軌道不是圓而是橢圓。11幾何化即數(shù)學(xué)化

愛因斯坦創(chuàng)立廣義相對論，揭示引力本質(zhì)是空間（及時間）的彎曲，是為引力幾何化；他繼而致力于統(tǒng)一場論，試圖將電磁作用幾何化。尋求“萬物之理”者繼承了幾何化的基本思想，弦論、圈論、旋子論、扭子論、先子論等諸論者，均試圖以不同形式將四種作用力連同宇宙萬物幾何化。幾何論形，數(shù)形一體，幾何化即數(shù)學(xué)化，萬物皆數(shù)觸及宇宙萬物之本原。12“數(shù)之現(xiàn)實(shí)”最近，麻省理工學(xué)院物理學(xué)教授泰格馬克（Max

Tegmark）著文題為“數(shù)之現(xiàn)實(shí)”（見2007年9月15日《新科學(xué)家》），提出“數(shù)之宇宙假說”：物理現(xiàn)實(shí)是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，不是數(shù)學(xué)描述宇宙，而是宇宙即數(shù)學(xué)。他將物理學(xué)理論分為兩部分，一是數(shù)學(xué)方程，二是人根據(jù)自己的理解將方程與現(xiàn)實(shí)相聯(lián)系。泰格馬克認(rèn)為后者是無用的累贅，他說：宇宙中一切都是數(shù)學(xué)方程，包括你在內(nèi)！將想象力發(fā)揮到極致，也不明白血肉之軀怎么會變成數(shù)學(xué)方程。萬物皆數(shù)者辯解道：“萬物之理找到后，宇宙萬物統(tǒng)統(tǒng)都幾何化了，你就會明白：血肉之軀無非是按數(shù)學(xué)方程構(gòu)成的幾何形體之組合?！毖灾^早，容后再議。1380－1=79，汞就變?yōu)榻?/p>

“數(shù)代表量，除量以外還有質(zhì)，萬物皆數(shù)豈不是否定了質(zhì)?！鼻兄幸?！萬物皆數(shù)論者并不服氣，辯解說：“關(guān)鍵在于質(zhì)是什么。煉金術(shù)家試圖將汞化為金，他們失敗了，因?yàn)閮烧咧|(zhì)不同。查元素周期表可知：金的原子核具有79個質(zhì)子，汞的具有80個質(zhì)子。用加速器在汞原子核中擊出一個質(zhì)子來，80－1=79，汞就變?yōu)榻穑@是科學(xué)的現(xiàn)代煉金術(shù)。汞和金質(zhì)的差別，其實(shí)只是80和79數(shù)的差別?？梢娙f物皆數(shù)已包含了質(zhì)。”14愛情無非是兩串互相契合的0與1數(shù)碼而已

駁者忽發(fā)奇想冒出一句：“愛情也可以數(shù)量化嗎？”辯者笑道：“當(dāng)然可以！愛情是大腦中的信息過程，兩情相悅即雙方的信息過程合拍。大腦包含約一千億個神經(jīng)元，每個神經(jīng)元有一千到一萬個突觸與其他神經(jīng)元相連接，構(gòu)成無比復(fù)雜的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，大腦中的信息過程體現(xiàn)為由0和1組成的二元數(shù)碼在網(wǎng)絡(luò)中環(huán)流。愛情無非是兩串互相契合的0與1數(shù)碼而已。15辯論并未結(jié)束

萬物究竟是否皆數(shù)？涉及科學(xué)哲學(xué)和社會人文的方方面面，許多問題值得深究。16符號說：是說數(shù)學(xué)是一種高級語言，是符號的世界。符號說（希爾伯格）：“算術(shù)符號是文化的圖形，而幾何圖形則是圖像化的公式；沒有一個數(shù)學(xué)家能缺少這些圖像化的公式?！比丝傁虢o客觀事物賦于某種意義和價(jià)值，利用符號認(rèn)識新事物，研究新問題，從而使客觀世界秩序化，這便創(chuàng)造了科學(xué)、文化、藝術(shù)、……符號就是某種事物的代號，人們總是探索用簡單的記號去表現(xiàn)復(fù)雜的事物，符號正是這樣產(chǎn)生的。文字是用聲音和形象表達(dá)事物的符號，一個語種就是一個“符號系統(tǒng)”。這些符號的組合便是語言。17符號,增加了人們的思維能力符號對于數(shù)學(xué)的發(fā)展更是極為重要的，它可使人們擺脫數(shù)學(xué)自身的抽象的約束，集中精力于主要環(huán)節(jié)，從而增加了人們的思維能力。沒有符號，數(shù)學(xué)的發(fā)展是不可想象的。數(shù)學(xué)是科學(xué)的語言，符號則是記錄、表達(dá)這些語言的文字。正如沒有文字，語言也難以發(fā)展一樣。古代數(shù)學(xué)的漫長歷程、今日數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展；十七、十八世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)的興起、我國幾千年數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程的緩慢，這些在某種程度上也都與數(shù)學(xué)符號的運(yùn)用有關(guān)。簡練、方便的數(shù)學(xué)符號對于書寫、運(yùn)算、推理來講，都是十分重要的。18古埃及的數(shù)學(xué)符號古埃及和我國一樣，是世界上四大文明古國之一。早在四千多年以前，埃及人已懂得了數(shù)學(xué)，在數(shù)的計(jì)算方面還會使用分?jǐn)?shù)，可是記數(shù)他們卻是用下面的符號(這里面多是寫真，顯然包含著美但不方便)進(jìn)行的：19

埃及最古老的文字是象形文字，后來演變成一種較簡單的書寫體，通常叫僧侶文。除了這兩卷紙草書外，還有一些寫在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木頭上的史料，藏于世界各地。兩卷紙草書的年代在公元前1850～前1650年之間，相當(dāng)于中國的夏代。萊因德紙草書用很大的篇幅來記載2/N(N從5到101)型的分?jǐn)?shù)分解成單位分?jǐn)?shù)的結(jié)果。為什么要這樣分解以及用什么方法去分解，到現(xiàn)在還是一個謎。這種繁雜的分?jǐn)?shù)算法實(shí)際上阻礙了算術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展。紙草書還給出圓面積的計(jì)算方法：將直徑減去它的1/9之后再平方。計(jì)算的結(jié)果相當(dāng)于用3.1605作為圓周率，不過他們并沒有圓周率這個概念。根據(jù)莫斯科紙草書，推測他們也許知道正四棱臺體積的計(jì)算方法?？傊糯＜叭朔e累了一定的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，但還沒有上升為系統(tǒng)的理論。2021數(shù)學(xué)符號對數(shù)學(xué)發(fā)展起重要作用！現(xiàn)代的數(shù)學(xué)符號，由于它含義確定，表達(dá)簡明，使用方便，從而極大地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展。在數(shù)學(xué)里，有人把十七世紀(jì)叫做天才的時期，把十八世紀(jì)叫做發(fā)明的時期，在這兩個世紀(jì)里，為什么數(shù)學(xué)有較大的發(fā)展并取得較大成就呢？究其原因，恐怕與創(chuàng)造了大量的數(shù)學(xué)符號密切相關(guān)。

甚至有的專家指出，中國古代數(shù)學(xué)領(lǐng)先，近代數(shù)學(xué)落后了，原因之一就是中國沒有使用先進(jìn)的數(shù)學(xué)符號，從而阻礙了數(shù)學(xué)的發(fā)展。這話雖然有偏頗的一面，但的確道出了數(shù)學(xué)符號對數(shù)學(xué)發(fā)展所能起的重要作用！22我國在辛亥革命之后系統(tǒng)采用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號中國的古代數(shù)學(xué)也有自己的一套符號，在歷史上曾起過積極的作用。但與西方相比，自顯繁復(fù)，不便于應(yīng)用。例如，在《普通新代數(shù)教科書》中，仍把未知數(shù)x,y,z寫成天，地，人，把已知數(shù)a,b,c寫成甲，乙，丙，把數(shù)字1,2,3寫成一，二，三。在這樣的符號系統(tǒng)下，本來很普通的代數(shù)式寫成了十分繁瑣生澀的形式。

這樣的符號當(dāng)然屬于淘汰之列。我國系統(tǒng)地采用現(xiàn)代數(shù)學(xué)符號，是在辛亥革命之后。1919年“五四”運(yùn)動以后才完全普及。23數(shù)學(xué)是一種科學(xué)的共同語言語言是表達(dá)思想、相互交流、認(rèn)識與描述外部世界的的工具。數(shù)學(xué)語言則是人們用數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的科學(xué)的語言，具有鮮明的特點(diǎn)與巨大作用。24例如一個工廠有四種產(chǎn)品，要向北京、天津、上海、重慶、武漢、沈陽六地發(fā)貨。如果采用自然語言，需要具體說上很長一段話，每種產(chǎn)品向每個城市各發(fā)貨多少。但如果采用數(shù)學(xué)語言，只要寫出一個4行6列的矩陣，每行表示一種產(chǎn)品，每列表示一個城市，交叉點(diǎn)填上相應(yīng)的發(fā)貨數(shù)量（比如以噸為單位）。所以說，自然語言是具體的語言，數(shù)學(xué)語言是形式化的語言。（1）數(shù)學(xué)語言是科學(xué)語言

25伽利略（Galeleo）：享有“近代自然科學(xué)之父”尊稱的大物理學(xué)家“展現(xiàn)在我們眼前的宇宙像一本用數(shù)學(xué)語言寫成的大書，如不掌握數(shù)學(xué)符號語言，就像在黑暗的迷宮里游蕩，什么也認(rèn)識不清”26費(fèi)因曼Richard

Feynman

物理Nobel獎獲得者（1965）若是沒有數(shù)學(xué)語言,宇宙似乎是不可描述的27牛頓（

Newton）定律：他想用一理論框架---牛頓定律來表示在重力作用下物體的運(yùn)動，這包括Kepler天上的行星運(yùn)動法則和伽利略的地面的運(yùn)動法則這種渴望使他建立了萬有引力定律和微積分學(xué),這是科學(xué)史上偉大成就。

沒有數(shù)學(xué)語言微積分學(xué)是無法完成的。28愛因斯坦（

Einstein）的傳說。據(jù)說Einstein研究廣義相對論時曾花了數(shù)年時間試圖形成引力實(shí)際上只是空間的曲率這種可能性，但他不知道如何表述。一天，他求助于他的密友格洛斯曼（

Grossman）時說：“你必須幫助我，否則我會發(fā)瘋的?！?/p>

Grossman就將黎曼（Riemann）關(guān)于彎曲空間的工作（后稱為Riemann幾何）告訴他，這才使廣義相對論的研究得以繼續(xù)。其實(shí)，Riemann幾何在Einstein需要它之前60年已經(jīng)產(chǎn)生了。意大利的數(shù)學(xué)家Levi-Civita在Riemann幾何學(xué)上做出了突出的貢獻(xiàn)。所以，有人問Einstein他最喜歡意大利的什么,他的回答是意大利的細(xì)條實(shí)心面和Levi-Civita。29優(yōu)先發(fā)明權(quán)之爭。Einstein構(gòu)思廣義相對論的時候，盡管他的數(shù)學(xué)家朋友教了他很多Riemann幾何，他的數(shù)學(xué)還是不盡如人意。后來，他去過一次Gottingen,給Hilbert等很多大數(shù)學(xué)家做過幾次報(bào)告，他走不久，Hilbert就算出來了那個著名的場方程。以至于后來出現(xiàn)了優(yōu)先發(fā)明權(quán)之爭。狹義相對論，大數(shù)學(xué)家Poincare

和Einstein也存爭議。將時空連在一起并用坐標(biāo)不變性來理解似乎是Poincare所創(chuàng)。Poincare還為Einstein寫了很好的推薦信。沒有Poincare這樣有洞察力的人幫助，很難想象Einstein能在很年輕的時候作出狹義相對論。30陳省身?xiàng)钫駥幖言挕疤煲仑M無縫，匠心剪接成。渾然歸一體，廣邃妙絕倫。造化愛幾何，四力纖維能。千古存心事，歐高黎嘉陳?！标愂∩砗蜅钫駥?，一位是20世紀(jì)的數(shù)學(xué)大師，一位是物理學(xué)巨匠，分別耕耘了幾十年后，竟然發(fā)現(xiàn)彼此的工作之間有深刻的聯(lián)系：陳省身（1946）建立的整體微分幾何學(xué)，恰為楊振寧（1954）所創(chuàng)立的規(guī)范場論提供了合適而精致的數(shù)學(xué)框架。31規(guī)范場理論與纖維叢理論“我跟纖維叢本來沒有關(guān)系，可是在1954年，我跟米爾斯（MILLS）合作發(fā)表了文章《同位旋守恒和同位旋規(guī)范不變性》后，并沒有跟陳先生討論過，因?yàn)楦粜腥绺羯?，彼此并不看見彼此的文章?？墒堑搅?0、70年代，我才突然了解到，原來數(shù)學(xué)家討論過規(guī)范理論。有一個數(shù)學(xué)家告訴我有關(guān)纖維叢的研究，而這個纖維叢跟規(guī)范場有密切的關(guān)系。等到我對纖維叢比較了解以后，我才知道，原來規(guī)范場的物理是建筑在一個數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)----纖維叢上的，這正是陳先生做主導(dǎo)發(fā)展出來的數(shù)學(xué)上極為重要的一個觀念?！?2諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎：

用數(shù)學(xué)的語言闡釋經(jīng)濟(jì)理論諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎已經(jīng)頒發(fā)了35屆,53位經(jīng)濟(jì)學(xué)家獲此殊榮.其中,有52.8%的經(jīng)濟(jì)學(xué)家都有數(shù)學(xué)或者理工學(xué)位,84.7%的獲獎?wù)呔哂休^強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力,90%以上的獲獎經(jīng)濟(jì)學(xué)家都是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法闡釋經(jīng)濟(jì)理論.33溫伯特格（

Weinberg）：另一Nobel物理學(xué)獎獲得者（1979）“這是不可思議的，當(dāng)一個物理學(xué)家得到一個思想時，然后卻發(fā)現(xiàn)在他之前數(shù)學(xué)家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了?！?4（2）.數(shù)學(xué)語言的特點(diǎn)

A準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)

數(shù)學(xué)語言是準(zhǔn)確的，是從不含糊的，“大于”與“大于等于”的涵義，是明確不同的；“都屬于集合A”與“有的屬于集合A”也是明確不同的；“存在左極限”與“存在極限”也是明確不同的。“象限與卦限”、“條件收斂與絕對收斂”都是不能混淆的35數(shù)學(xué)語言是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模侵笖?shù)學(xué)語言又是有條理的、邏輯推理必須嚴(yán)格和謹(jǐn)慎。它是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一，也是數(shù)學(xué)語言的特點(diǎn)之一。

36

例如，素?cái)?shù)分解定理，或稱算術(shù)基本定理敘述為：

任一個大于1的自然數(shù)，都可以被表示為有限個素?cái)?shù)（可以重復(fù)）的乘積，并且如果不計(jì)次序的話，表法是唯一的。這里，“大于1”的條件不可少，少了就欠嚴(yán)謹(jǐn)；“有限個”三字不可少，少了就欠嚴(yán)謹(jǐn)；“（可以重復(fù)）”的注解也不可少，少了就欠嚴(yán)謹(jǐn)；“如果不計(jì)次序”的假設(shè)也不可少，少了就欠嚴(yán)謹(jǐn)。首先是定理的敘述是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?7在微積分發(fā)展初期,牛頓曾用“0”代表無窮小量,這無窮小量是什么,是“固定量零”,還是“趨于零的量的瞬間”,牛頓也說不清楚,引起整個社會的混亂與恐慌，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第二次危機(jī)?！唉拧摹闭Z言的產(chǎn)生是歷史的選擇，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上發(fā)揮了很大的作用。38其次是推理的過程是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹Ｖv話或推理要有條理，先講什么，再講什么，然后講什么，要有次序。語言上的有序性與思維上的有序性是一致的。推理的步驟，應(yīng)該表達(dá)清楚；每一步的理由是什么，也應(yīng)該表達(dá)充分，容不得半點(diǎn)含糊與想當(dāng)然。即使你結(jié)論正確，但只要推理不嚴(yán)謹(jǐn)，照樣不能承認(rèn)你的解答時正確的。

39Fermat大定理（1670-1995）Fermat大定理，也稱Fermat最后定理：

當(dāng)整數(shù)n≥3時，關(guān)于x,y,z的不定方程

x?+y?=z?

的整數(shù)解都是平凡解，即

當(dāng)n是偶數(shù)時：(0,±m(xù),±m(xù))或(±m(xù),0,±m(xù));

當(dāng)n是奇數(shù)時：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0).40Fermat大定理的證明經(jīng)歷了300多年才完成

1847，法國數(shù)學(xué)家Cauchy向巴黎科學(xué)院遞交自己的證明，但發(fā)現(xiàn)其中有一步用到了一個似乎顯然，但未經(jīng)證明的結(jié)論，結(jié)果證明被否決。1901年和1907年，德國數(shù)學(xué)家林德曼（F.Lindemann）兩次分別發(fā)表了17頁和63頁的論文，結(jié)果均被推翻。德國大數(shù)學(xué)家勒貝格(H.L.Lebesgue)與1938年向法國科學(xué)院遞交的論文也被槍斃。

41

數(shù)學(xué)語言要求簡單干凈。數(shù)學(xué)語言和自然語言不同。自然語言允許同義反復(fù)，為了描述某一事物的美，往往用一大串意義相近的詞匯或并列的語句：被秋風(fēng)催促的楓，紅的壯麗，紅的引人注目，紅得那么義無反顧地去飄落、去回轉(zhuǎn)、去輪回、去盛放。但數(shù)學(xué)語言則要求用詞最少、不允許同義反復(fù)。在數(shù)學(xué)表達(dá)中，當(dāng)一個語句被另一些語句蘊(yùn)含著的時候，它就是多余的，一定要去掉這個語句。如果可以用三句話把意思表達(dá)清楚，就不要用四句話。如果可以有甲、乙兩種方式敘述同一個意思，那么就最好選擇用語較少的那種方式。

B簡潔42定義“平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓”，極其簡要地闡明了橢圓的本質(zhì)屬性，言簡意賅，惜字如金，沒有任何多余成份。數(shù)學(xué)語言的簡練還表現(xiàn)在它的符號化、公式化和形式化。

選用小寫字母a,b,c表示三角形的邊,對應(yīng)的大寫字母A、B、C表示相應(yīng)的角,使三角形諸公式整齊、簡單。微積分符號從開始引入時的繁雜、混亂到Leibniz的最后簡化，歷經(jīng)100多年。

43M.Kline，《西方文化中的數(shù)學(xué)》中的一個例子，說明數(shù)學(xué)語言的言簡意賅。當(dāng)一個12世紀(jì)的青年墮入情網(wǎng)時，他不會后退三步，看著他心愛的姑娘的眼睛，對她說她是世界上最漂亮的人兒。他說他要冷靜下來，仔細(xì)考慮這件事。如果他在外面碰上一個人，并且打破了他的腦袋——我指另外一個人的腦袋——于是那就證明了他的——前面那個小伙子——姑娘是個漂亮姑娘。如果是另外一個小伙子打破了他的腦袋——不是他自己的，你知道，而是另外那個人的——對第二個小伙子來說的另外一個。因?yàn)榱硗庖粋€小伙子只是對他來說是另外一個，而不是對前面那個小伙子——那么，如果他打破了他的頭，那么他的姑娘——不是另外一個小伙子，而是那個小伙子，他……瞧：如果A打破了B的腦袋，那么A的姑娘是一個漂亮的姑娘。但如果B打破了A的頭，那么A的姑娘就不是一個漂亮的姑娘，而B的姑娘是一個漂亮的姑娘。44C規(guī)范自然語言當(dāng)然也有約定俗成的規(guī)范性；而數(shù)學(xué)語言則更加鮮明地表現(xiàn)出“規(guī)范”的特點(diǎn)。一句話說出來，不能有任何歧義。一個詞作為一個概念被定義以后，這個定義就要隨著這個詞貫徹始終，不能再有任何改變。45一些數(shù)學(xué)語言中常用的詞語，都有其特定的涵義，長期以來形成了規(guī)范。例如“任一個”，“有一個”，“沒有”表達(dá)的是三種不同的意思；“最多”、“至少”、“全都”表達(dá)的也是三種不同的意思；“必定”，“可能”、“不可能”表達(dá)的也是三種不同的意思；“開區(qū)間”、“閉區(qū)間”、“左開右閉的區(qū)間”表達(dá)的也是三種不同的意思。再例如，“包含”是用來說明兩個集合之間的關(guān)系，“屬于”是用來說明元素與集合之間的關(guān)系，“包含”與“屬于”不能混用。

46長期以來，不少人對f與f(x)一直混淆不清,其實(shí)f表示對應(yīng)法則,即函數(shù)，而f(x)是按對應(yīng)法則在x處的函數(shù)值。47D.

數(shù)學(xué)語言的通用性:

數(shù)學(xué)語言與一般語言相比，它具有無民族性、無區(qū)域性，它世界上唯一的通用語言目前世界上的語言就多達(dá)2500—3000種，其中僅美洲語言即有1000多種，非洲語言也近1000種。100萬以上人口使用的文字則只有140種。其中，以漢語為母語的人最多，約占世界人口的20%；其次是英語，約占6%；再次是俄語、西班牙語、法語，使用這五種語言的人占世界人口的40%以上。48但數(shù)學(xué)語言沒有地區(qū)性、民族性。

全世界的數(shù)學(xué)語言只有一種。這種語言符號，全世界的學(xué)生都認(rèn)識，同一種書寫、同一個含義，只是讀音一般有所不同而已。49尋找“外星人”上個世紀(jì)70年代，美國曾經(jīng)發(fā)射過一艘宇宙飛船，目的是與可能存在的“外星人”取得聯(lián)系。宇宙飛船帶去了地球上山川、河流、海洋的照片，各種動物、植物、微生物的照片，以及各種人的照片；還帶去了許多聲音，如狂風(fēng)暴雨的聲音、以及不同民族的人類叫“媽媽”的聲音；同時還帶去了刻有下面圖形的黃金制作（以防銹蝕損毀）的圖板。50（3）重視數(shù)學(xué)語言的訓(xùn)練語言是思維的反映。數(shù)學(xué)語言的發(fā)展反映了人類理性思維的發(fā)展，它也是數(shù)學(xué)對人類文明的重大貢獻(xiàn)之一。作為一個大學(xué)生，不但應(yīng)該重視數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)，同時也應(yīng)該重視數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練?，F(xiàn)在的大學(xué)生，在作業(yè)中習(xí)慣性地寫出“等號成立”、“問題得證”、“對”等詞語的大有人在；其實(shí)，相應(yīng)的規(guī)范數(shù)學(xué)語言應(yīng)該是“等式成立”和“命題得證”。51哲學(xué)說---來自古希臘亞里士多德、歐幾里得等人,即從哲學(xué)上來定義數(shù)學(xué)。亞里士多德：“新的思想家把數(shù)學(xué)和哲學(xué)看作是相同的。”《幾何原本》：點(diǎn)是沒有部分的那種東西；線是沒有寬度的長度52牛頓在《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》的序言中說，他是把這本書“作為哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理的著作”，“在哲學(xué)范圍內(nèi)盡量把數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)出來”。53

哲學(xué)是研究最廣泛的事物，數(shù)學(xué)也是研究最廣泛的事物，這是它們的共同點(diǎn)。但是，數(shù)學(xué)與哲學(xué)的研究對象不同，研究方法也不同。兩者雖有相似之處，但數(shù)學(xué)不是哲學(xué)的一部分，哲學(xué)也不是數(shù)學(xué)的一部分?！罢軐W(xué)從一門學(xué)科中退出，意味著這門學(xué)科的建立；而數(shù)學(xué)進(jìn)入一門學(xué)科，就意味著這門學(xué)科的成熟。”

54哲學(xué)說55科學(xué)說：是說數(shù)學(xué)是精密的科學(xué)，“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后”。工具說：是說“數(shù)學(xué)是其它所有知識工具的源泉”。邏輯說：是說數(shù)學(xué)推理依靠邏輯，“數(shù)學(xué)為其證明所具有的邏輯性而驕傲?！?6邏輯說邏輯被看作是哲學(xué)的一個分支，起源于亞里士多德時代哲學(xué)系的“邏輯學(xué)”對應(yīng)與數(shù)學(xué)系的“數(shù)理邏輯”（離散數(shù)學(xué)）邏輯學(xué)的公式化興起是從20世紀(jì)初的維也納學(xué)派開始，主要奠基人是羅素等人研究的對象主要是語言本身，數(shù)學(xué)的研究對象則要豐富的多。大數(shù)學(xué)家希爾伯特（Hilbert）說：“數(shù)學(xué)具有獨(dú)立于任何邏輯的可靠內(nèi)容，因而它不可能建立在唯一的邏輯基礎(chǔ)之上”;另一位大數(shù)學(xué)家魏爾(H.Weyl)說得更明白：邏輯不過是數(shù)學(xué)家用以保持健康的衛(wèi)生規(guī)則。邏輯是貧乏的,而數(shù)學(xué)是多產(chǎn)的母親。57羅素Russell,Bertrand（1872-1970）羅素，英國人。1872年5月18日出生于蒙穆斯的一個貴族家庭。祖父約翰·羅素在維多利亞時代兩次出任首相。羅素先在英國劍橋大學(xué)三一學(xué)院學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和哲學(xué)，后來在英、美許多大學(xué)擔(dān)任教授。1908年被選為皇家學(xué)會會員。1921年曾來中國講學(xué)。由于反對英國參加第一次世界大戰(zhàn)，1916年被劍橋大學(xué)解職，1918年被監(jiān)禁6個月。1970年2月2日去世。58羅素“理發(fā)師悖論”與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)羅素在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面作出了重大貢獻(xiàn)。1902年他發(fā)現(xiàn)了一個悖論，1918年又把它通俗化解釋為眾所周知的“理發(fā)師悖論”。其實(shí)，在羅素發(fā)現(xiàn)這個悖論之前，康托已在1899年發(fā)現(xiàn)過類似的悖論。由于羅素是由集合的基本概念著手，論證方法又和康托的著名的對角線法類似，因此引起了著名數(shù)學(xué)家的極大震動。原來相信數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已經(jīng)奠定的人們動搖了。59創(chuàng)新說：是說數(shù)學(xué)是一種創(chuàng)新，如發(fā)現(xiàn)無理數(shù)，提出微積分，創(chuàng)立非歐幾何。直覺說：是說數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是人的直覺，數(shù)學(xué)主要是由那些直覺能力強(qiáng)的人們推進(jìn)的。集合說：是說數(shù)學(xué)各個分支的內(nèi)容都可以用集合論的語言表述。

結(jié)構(gòu)說（關(guān)系說）：是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)語言、符號的結(jié)構(gòu)方面及聯(lián)系方面，“數(shù)學(xué)是一種關(guān)系學(xué)”。60模型說：是說數(shù)學(xué)就是研究各種形式的模型，如微積分是物體運(yùn)動的模型，概率論是偶然與必然現(xiàn)象的模型，歐氏幾何是現(xiàn)實(shí)空間的模型，非歐幾何是非歐空間的模型?；顒诱f：是說“數(shù)學(xué)是人類最重要的活動之一”。精神說：是說“數(shù)學(xué)不僅是一種技巧，更是一種精神，特別是理性的精神。”61審美說：是說“數(shù)學(xué)家無論是選擇題材還是判斷能否成功的標(biāo)準(zhǔn)，主要是美學(xué)的原則?！?/p>

藝術(shù)說：是說“數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)?！?/p>

62數(shù)學(xué)是一門創(chuàng)造性藝術(shù)美國當(dāng)代數(shù)學(xué)家哈爾莫斯（P.R.Halmos，1916.3.3-2006.10.2）說：“數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性藝術(shù)，因?yàn)閿?shù)學(xué)家創(chuàng)造了美好的新概念；數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性藝術(shù)，因?yàn)閿?shù)學(xué)家像藝術(shù)家一樣地生活，一樣的思考。”波萊爾·A：“數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，因?yàn)樗饕撬季S的創(chuàng)造，靠才智取得進(jìn)展，很多進(jìn)展出自人類腦海深處，只有美學(xué)標(biāo)準(zhǔn)才是最后的鑒定者?！?/p>

63共同特征：抽象、美數(shù)學(xué)家和文學(xué)家、藝術(shù)家在思維方法上是共同的，都需要抽象，也都需要想象和幻想。具象繪畫指的是再現(xiàn)了人物、風(fēng)景和靜物等自然物象的繪畫，抽象繪畫所描繪的形象則與我們看到的世界中的形象沒有聯(lián)系，正如抽象主義者保羅·克利所說，“藝術(shù)并不仿造可見的東西，而是把不可見的東西創(chuàng)造出來”。不可見的東西正是抽象繪畫描繪的對象。64數(shù)學(xué)美：和諧性、對稱性、簡潔性“美”是藝術(shù)家所追求的一種境界。其實(shí)，“美”也是數(shù)學(xué)中公認(rèn)的一種評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)中的“美”是體現(xiàn)在和諧性、對稱性、簡潔性上。著名數(shù)學(xué)家龐加萊（H.Poincare）曾說：“科學(xué)家研究自然是因?yàn)樗麗圩匀唬詯圩匀?，是因?yàn)樽匀皇敲篮玫摹Ｈ绻匀徊幻?，就不值得理解，如果自然不值得理解，生活就毫無意義。當(dāng)然，這里所說的美，不是那種激發(fā)感觀的美，也不是質(zhì)地美和表現(xiàn)美…

…我說的是各部分之間有和諧秩序的深刻美,是人的純潔心智所能掌握的美?！?5數(shù)學(xué)能陶冶人的美感，增進(jìn)理性的審美能力一個人數(shù)學(xué)造詣越深，越是擁有一種直覺力，實(shí)際上就是理性的洞察力，也是由美感所驅(qū)動的選擇力，這種能力有助于使數(shù)學(xué)成為人們探索宇宙奧秘和揭示規(guī)律的重要力量。德國數(shù)學(xué)家皮索特（E.Pisot）和薩瑪斯基（M.Zaman-sky）在合著的《普通數(shù)學(xué)》中所說：“數(shù)學(xué)是藝術(shù)又是科學(xué)，它也是一種智力游戲，然而它又是描繪現(xiàn)實(shí)世界的一種方式和創(chuàng)造現(xiàn)實(shí)世界的一種力量。66數(shù)學(xué)與藝術(shù)的融合古希臘的畢達(dá)哥拉斯既是數(shù)學(xué)家也是藝術(shù)家。還有笛卡爾、達(dá).芬奇、埃舍爾等。數(shù)學(xué)對藝術(shù)的影響由來已久，在文藝復(fù)興時期藝術(shù)家利用透視原理創(chuàng)作出不朽的名作，在20世紀(jì)荷蘭藝術(shù)家埃舍爾對無限拼圖的探索給人以啟迪，薩爾瓦多·達(dá)利利用四維立方體的展開圖畫出了使人震撼的作品。藝術(shù)家們從斐波那契數(shù)列，最小曲面、麥比烏斯帶中得到啟發(fā)。數(shù)學(xué)家們利用雕塑來宣揚(yáng)數(shù)學(xué)的成就。67[思]：

請你在學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)文化”課的過程中，始終帶著下面的問題——在學(xué)完“數(shù)學(xué)文化”課后，給出一個你自己對“數(shù)學(xué)”的定義。68

1.抽象性

2.精確性

3.應(yīng)用的廣泛性

二、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)691．抽象性

數(shù)學(xué)以抽象的數(shù)和形為研究對象，這些數(shù)和形只保留量的關(guān)系和空間形式而舍棄了其他方程的正解是1，它可能是一頭?；蛞活^驢或一輛轎車等等導(dǎo)數(shù)既可以表示運(yùn)動速度，也可以表示人口增長速度等數(shù)學(xué)上的球面既可以是足球的面也可以是乒乓球的面等等。70抽象：從許多事物中，舍棄個別的、非本質(zhì)的屬性，抽出共同的、本質(zhì)的屬性，叫抽象，是形成概念的必要手段。《現(xiàn)代漢語詞典》數(shù)學(xué)的抽象性是逐步提高的，其抽象程度大大超過了其它學(xué)科中的抽象；例如，初等代數(shù)、線性代數(shù)、抽象代數(shù)等微積分、拓?fù)鋵W(xué)、實(shí)變函數(shù)、泛函分析解決實(shí)際問題需要建模，這是一個典型的數(shù)學(xué)抽象的過程71現(xiàn)代生命科學(xué)進(jìn)入抽象世界而走向數(shù)學(xué)現(xiàn)代生命科學(xué)在20世紀(jì)的下半葉，“在一個基因克隆占主要地位的時代，當(dāng)今許多優(yōu)秀的科學(xué)家在不具備任何定量研究的能力下仍然取得了巨大的成績”(美國科學(xué)院院長分子生物學(xué)家阿爾伯特(B.Albert))但是，隨著后基因組時代的到來，生物學(xué)研究者定量研究能力和知識已不再是可有可無的了。英國生物學(xué)家保羅.納斯(PaulNurse)因細(xì)胞周期方面的卓越研究成為了2001年度諾貝爾生理學(xué)或醫(yī)學(xué)獎的得主。他曾在一篇回顧20世紀(jì)細(xì)胞周期研究的綜述文章中以這樣的文字結(jié)束：“我們需要進(jìn)入一個更為抽象的陌生世界，一個不同于我們?nèi)粘Ｋ胂蟮募?xì)胞活動的、能根據(jù)數(shù)學(xué)有效地進(jìn)行分析的世界。”72有的同學(xué)因數(shù)學(xué)的抽象性而感覺數(shù)學(xué)枯燥、難學(xué)；其實(shí)，“抽象”是數(shù)學(xué)的武器，是數(shù)學(xué)的優(yōu)勢。我們應(yīng)該喜愛“抽象”，學(xué)會“抽象”的手段。73哥尼斯堡七橋問題74連通的“點(diǎn)線圖”能夠一筆畫的充要條件：

“奇結(jié)點(diǎn)”不多于兩個。

反觀“七橋問題”75數(shù)學(xué)的精確性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)推理的邏輯嚴(yán)格性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定無疑性。漢克爾說：“在大多數(shù)科學(xué)里，一代人要推倒另一代人所修筑的東西，只有數(shù)學(xué)，每一代人都能在舊建筑上增添一層新樓?！弊鳛閷φ盏娜齻€例子：

①電子管電路→半導(dǎo)體電路→集成電路②托勒密地心說→哥白尼日心說→開普勒三定律③高溫超導(dǎo)的上界（朱經(jīng)武）30oK→90oK→120oK→240oK2．精確性76關(guān)于“晶體的結(jié)構(gòu)有多少種”的討論

曾經(jīng)，許多物理學(xué)家、化學(xué)家、晶體學(xué)家給出了各不相同的結(jié)論。數(shù)學(xué)家介入以后，運(yùn)用“群”的理論，得到了明確的答案：晶體的結(jié)構(gòu)只能有230種。

而且，數(shù)學(xué)家的推理是如此精確，讓人信服，使得之后就不再有人去研究這一問題了，因?yàn)榻Y(jié)論已經(jīng)確定無疑。

77華羅庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學(xué)無處不在。例子：①哈雷彗星的發(fā)現(xiàn)；②海王星的發(fā)現(xiàn)；③電磁波的發(fā)現(xiàn)。3．應(yīng)用的廣泛性78

哈雷彗星的發(fā)現(xiàn)古時人們認(rèn)為彗星的出現(xiàn)是不祥之兆，直到17世紀(jì)，英國天文學(xué)家哈雷開始計(jì)算彗星軌道時，發(fā)現(xiàn)1682年、1607年和1531年出現(xiàn)的彗星有相似的軌道，他判斷這三顆彗星其實(shí)是同一顆彗星，并預(yù)言它將在1758年底或1759年初再次出現(xiàn)。1759年，這顆彗星果然出現(xiàn)了。雖然哈雷已在此前的1742年逝世，但為了紀(jì)念他，這顆彗星稱為“哈雷彗星”。

哈雷彗星的回歸周期為76年，最近一次的回歸是在1986年；下一次回歸是在2062年。79海王星的發(fā)現(xiàn)

這個太陽系最遠(yuǎn)的行星（之一）,是1846年在數(shù)學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)的。天文學(xué)家分析了天王星運(yùn)動的不規(guī)律性，推斷出這是由其他行星的引力而產(chǎn)生的。勒未累計(jì)算出它應(yīng)處的位置，觀察員在指定位置發(fā)現(xiàn)了該行星。

80航海家2號拍攝,1989.8.

81

電磁波的發(fā)現(xiàn)與麥克斯韋（J.C.Maxwell，1831－1879）

英國物理學(xué)家麥克斯韋系統(tǒng)總結(jié)了法拉第等人由實(shí)驗(yàn)建立起來的電磁現(xiàn)象規(guī)律，把這些規(guī)律表述為“方程的形式”，用純粹數(shù)學(xué)的方法推導(dǎo)出可能存在著電磁波并且這些電磁波應(yīng)該以光速傳播著。據(jù)此，他提出了光的電磁理論。他的結(jié)論推動了人們?nèi)ふ壹冸娖鹪吹碾姶挪ā?/p>

24年后，德國物理學(xué)家赫茲在振蕩放電實(shí)驗(yàn)中證實(shí)了電磁波的存在，不久，意大利的馬可尼和俄國人波波夫又在此基礎(chǔ)上獨(dú)立地發(fā)明了無線電報(bào)。從此，電磁波走進(jìn)了千家萬戶。人類也一步一步邁進(jìn)信息化時代。82電磁場理論體系的核心變化的磁場可以激發(fā)渦旋電場，變化的電場可以激發(fā)渦旋磁場；電場和磁場不是彼此孤立的，它們相互聯(lián)系、相互激發(fā)組成一個統(tǒng)一的電磁場。這樣激發(fā)的電磁波應(yīng)該按波動的形式以光速傳播著。麥克斯韋進(jìn)一步將電場和磁場的所有規(guī)律綜合起來，建立了完整的電磁場理論體系。這個電磁場理論體系的核心就是用麥克斯韋方程組刻畫。83麥克斯韋方程積分形式

這是1873年前后,麥克斯韋提出的表述電磁場普遍規(guī)律的四個方程其中：（1）描述了電場的性質(zhì)。在一般情況下，電場可以是庫侖電場也可以是變化磁場激發(fā)的感應(yīng)電場，而感應(yīng)電場是渦旋場，它的電位移線是閉合的，對封閉曲面的通量無貢獻(xiàn)。（2）描述了磁場的性質(zhì)。磁場可以由傳導(dǎo)電流激發(fā)，也可以由變化電場的位移電流所激發(fā)，它們的磁場都是渦旋場，磁感應(yīng)線都是閉合線，對封閉曲面的通量無貢獻(xiàn)。（3）描述了變化的磁場激發(fā)電場的規(guī)律。（4）描述了變化的電場激發(fā)磁場的規(guī)律。84微分形式麥克斯韋方程組微分形式：在電磁場的實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常要知道空間逐點(diǎn)的電磁場量和電荷、電流之間的關(guān)系。從數(shù)學(xué)形式上，就是將麥克斯韋方程組的積分形式化為微分形式。利用矢量分析方法可得：85麥克斯韋理論的啟示麥克斯韋的功績是他能夠跳出經(jīng)典力學(xué)框架的束縛：在物理上以"場"而不是以"力"作為基本的研究對象，在數(shù)學(xué)上引入了有別于經(jīng)典數(shù)學(xué)的矢量偏微分運(yùn)算符。這兩條是發(fā)現(xiàn)電磁波方程的基礎(chǔ)。這就是說，實(shí)際上麥克斯韋的工作已經(jīng)沖破經(jīng)典物理學(xué)和經(jīng)典數(shù)學(xué)的框架.物理對象與對它的表達(dá)方式雖然是不同的東西，但如果不依靠合適的表達(dá)方法就無法認(rèn)識到這個對象的“存在”。由此，我們正在建立的理論將決定到我們在何種層次的意義上使我們的對象成為物理事實(shí),，這正是現(xiàn)代最前沿的物理學(xué)所給我們帶來的困惑。麥克斯韋方程組揭示了電場與磁場相互轉(zhuǎn)化中產(chǎn)生的對稱性優(yōu)美，這種優(yōu)美以現(xiàn)代數(shù)學(xué)形式得到充分的表達(dá)。但是，我們應(yīng)當(dāng)承認(rèn)，恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)形式才能充分展示經(jīng)驗(yàn)方法中看不到的整體性(電磁對稱性)。86麥克斯韋方程的歷史地位麥克斯韋方程組在電磁學(xué)中的地位，如同牛頓運(yùn)動定律在力學(xué)中的地位一樣。以麥克斯韋方程組為核心的電磁理論，是經(jīng)典物理學(xué)最引以自豪的成就之一。它所揭示出的電磁相互作用的完美統(tǒng)一，為物理學(xué)家樹立了這樣一種信念：物質(zhì)的各種相互作用在更高層次上應(yīng)該是統(tǒng)一的。另外，這個理論的應(yīng)用極其廣泛?？梢哉f，沒有它就沒有信息化時代。87插曲：比赫茲實(shí)驗(yàn)早七年，一位叫戴維的人也接收到了電磁波信號，他隨即向英國皇家協(xié)會會長G·斯托克斯匯報(bào)，但斯托克斯認(rèn)為這只是普通的電磁感應(yīng)現(xiàn)象，戴維過于迷信權(quán)威，對于這一天賜良機(jī)未與重視，使發(fā)現(xiàn)被埋沒了。88三、數(shù)學(xué)與教育數(shù)學(xué),作為基礎(chǔ)教育的主要課程，對人的素質(zhì)的提高起著舉足輕重的作用.對于受教育者而言，數(shù)學(xué)不僅僅是學(xué)會一門課程、一門知識、更重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思想、方法、精神；把數(shù)學(xué)作為成才的基本素質(zhì)要求,即數(shù)學(xué)教育在傳授知識、培養(yǎng)能力的同時，還能提高受教育者的人文素養(yǎng)，促使其身心協(xié)調(diào)發(fā)展和素質(zhì)全面提高。89培養(yǎng)規(guī)則意識和求實(shí)精神數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確的特點(diǎn)，要求每一個問題的解決都必須遵守?cái)?shù)學(xué)規(guī)則，每一個定理的推證、每一個計(jì)算結(jié)果的獲取、每個結(jié)論的判斷，都做到有理可依、有據(jù)可循。因此，數(shù)學(xué)習(xí)題的演練、數(shù)學(xué)問題的解決可以訓(xùn)練學(xué)生注重推理和說理，這種能力遷移至工作與生活中，內(nèi)化成受教育者的素質(zhì)，將表現(xiàn)出信守諾言、遵守規(guī)范等行為。這些規(guī)范包括社會公認(rèn)的規(guī)則、公共道德的標(biāo)準(zhǔn)。換句話說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所要求的對規(guī)則的敬重能夠遷移，使人們形成一種對社會公德、秩序、法律等的內(nèi)在自我的約束力。90培養(yǎng)勤奮品質(zhì)，磨練拼搏意志學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是意志的一種鍛煉，數(shù)學(xué)不容易學(xué)，需花傾注大量心血，潛心鉆研、排除干擾、勇于拼搏。磨練勝不驕、敗不綏的優(yōu)良品格。91培養(yǎng)理智機(jī)敏的思維波利亞說：“在數(shù)學(xué)家證明一個定理之前，必須猜想到這個定理；在他完成證明的細(xì)節(jié)之前，必須先猜想出證明的主導(dǎo)思想?！睌?shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究數(shù)使人變得聰明理智。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需對各種現(xiàn)象進(jìn)行歸納、抽象，需將紛繁復(fù)雜的各種問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，這本身就是了不起的創(chuàng)新過程。數(shù)學(xué)能培養(yǎng)人的思維的周密性：在自然科學(xué)研究中．通過數(shù)學(xué)推理能發(fā)現(xiàn)一些暫時沒被人們認(rèn)識的規(guī)律。

92作為數(shù)學(xué)教授的大學(xué)校長：丁石孫——北京大學(xué)蘇步青——復(fù)旦大學(xué)谷超豪——中國科大潘承洞——山東大學(xué)齊民友——武漢大學(xué)伍卓群——吉林大學(xué)侯自新——南開大學(xué)李岳生——中山大學(xué)曹策問——鄭州大學(xué)楊思明——湘潭大學(xué)展?jié)綎|大學(xué)黃達(dá)人——中山大學(xué)吳傳喜——湖北大學(xué)周明儒——徐州師大王梓坤——北師大陸善鎮(zhèn)——北師大王建磐——華東師大史寧中——東北師大路鋼——華中師大邱玉輝——西南師大王國俊——陜西師大庾建設(shè)——廣州大學(xué)房靈敏——西藏大學(xué)93大學(xué)校長是綜合素質(zhì)比較好的學(xué)者；眾多大學(xué)校長都是數(shù)學(xué)教授，這也說明數(shù)學(xué)教育對人的綜合素質(zhì)的提高，影響很大。有些人把它叫做有趣的中國現(xiàn)象94

丁石孫：北京大學(xué)校長

丁石孫：北京大學(xué)校長（1984-1989年）全國人大常委會副委員長，民盟中央名譽(yù)主席。漢族，1927年9月生，江蘇鎮(zhèn)江人，民盟成員、中共黨員，1950年參加工作，清華大學(xué)數(shù)學(xué)系畢業(yè)，大學(xué)學(xué)歷，教授。專長:代數(shù)、數(shù)論。95

蘇步青，復(fù)旦大學(xué)校長

蘇步青：復(fù)旦大學(xué)校長（1978-1983年）

1902年生于浙江，2003年卒于上海。中國科學(xué)院院士。他是國際公認(rèn)的幾何學(xué)權(quán)威，我國微分幾何學(xué)派的創(chuàng)始人。早在20年代，他的仿射不變的四次（三階）的代數(shù)錐面，被命名為蘇錐面。他的仿射微分幾何的高水平工作，至今在國際數(shù)學(xué)界仍享有很高的評價(jià)。96

谷超豪，中國科技大學(xué)校長谷超豪：中國科技大學(xué)校長簡歷：

1926年生于浙江溫州。1948年畢業(yè)于浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系，1953年起在復(fù)旦大學(xué)任教，1957年赴前蘇聯(lián)莫斯科大學(xué)進(jìn)修，獲科學(xué)博士學(xué)位。歷任復(fù)旦大學(xué)副校長和中國科技大學(xué)校長。1980年當(dāng)選為中國科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部委員。專長偏微分方程、微分幾何和數(shù)學(xué)物理。97

潘承洞，山東大學(xué)校長潘承洞：山東大學(xué)校長（1986年-？）

1934出生，江蘇省蘇州市人。1997年12月27日在濟(jì)南病逝。中國科學(xué)院院士。1981年與其胞弟潘承彪合作編著的《哥德巴赫猜想》一書，為世界上第一本全面系統(tǒng)地論述哥德巴赫猜想研究工作的專著；1982年與王元、陳景潤共同以哥德巴赫猜想的研究成果獲國家自然科學(xué)一等獎。98

齊民友，武漢大學(xué)校長

齊民友：武漢大學(xué)校長（1988-1992年）

1930年出生，1952年畢業(yè)于武漢大學(xué)數(shù)學(xué)系，并從事偏微分方程理論的研究。武漢大學(xué)博士導(dǎo)師。

曾任國務(wù)院學(xué)位委員會數(shù)學(xué)組成員。中國數(shù)學(xué)會副理事長，湖北省數(shù)學(xué)會理事長。1984年起任武漢大學(xué)副校長，1988年任武漢大學(xué)校長。99

李岳生，中山大學(xué)校長

李岳生：中山大學(xué)校長（1984-1991年）

1930年1月生，中山大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師。曾任中山大學(xué)校長、計(jì)算機(jī)科學(xué)系主任、數(shù)學(xué)研究所所長；國務(wù)院學(xué)位委員會第二、三屆學(xué)科評議組成員，從事常微分方程、計(jì)算數(shù)學(xué)、微分方程數(shù)值解法、樣條函數(shù)與變分方法等方面的研究。100

曹策問，鄭州大學(xué)校長

曹策問：鄭州大學(xué)校長簡歷：

1940年2月出生，湖南長沙人。1957年9月進(jìn)入北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)；1963年9月在北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)