數(shù)學(xué)建模之減肥問題的數(shù)學(xué)模型

東北大學(xué)秦皇島分校數(shù)學(xué)模型課程設(shè)計報告減肥問題的數(shù)學(xué)建模學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院專業(yè)信息與計算科學(xué)學(xué)號5133117姓名楚文玉指導(dǎo)教師張尚國劉超成績教師評語：指導(dǎo)教師簽字：2016年01月09日摘要肥胖已成為公眾日益關(guān)注的衛(wèi)生健康問題.肥胖是與目前嚴(yán)重危害人類健康疾病，如糖尿病、高血壓、冠心病、血脂異常、膽囊疾病、痛風(fēng)、骨關(guān)節(jié)病、阻塞性睡眠呼吸暫停、某些癌癥等的發(fā)病有明顯相關(guān)的危險因素之一.但是實際情況卻是人們不會理性的對待自己的身體狀況，經(jīng)常使用一些不健康的方式減肥，到最后適得其反，給自己的身體造成很大的傷害.本文特別的從數(shù)學(xué)模型的角度來考慮和認(rèn)識問題，通過該模型的建立，科學(xué)的解釋了肥胖的機(jī)理，引導(dǎo)群眾合理科學(xué)的減肥.本文建立了減肥的數(shù)學(xué)模型，從數(shù)學(xué)的角度對有關(guān)身體肥胖的規(guī)律做進(jìn)一步的探討和分析.在研究此問題時，體重的實時變化數(shù)據(jù)是我們研究的核心數(shù)據(jù)，這就會使我們聯(lián)系到變量的變化率或?qū)?shù)，這樣所得到變量之間的關(guān)系式就是微分方模型.微分方程模型反映的是變量之間的間接關(guān)系，因此，在研究體重，能量與運(yùn)動之間的關(guān)系時，得到直接關(guān)系就得求解微分方程.本文利用了微分方程模型求解減肥的實際問題，根據(jù)基本規(guī)律寫出了平衡關(guān)系式再利用一定的轉(zhuǎn)換條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化為簡單明了的式子，求解出模型關(guān)系式然后根據(jù)建立的模型表達(dá)式來解決一些實際的減肥問題，給出數(shù)學(xué)模型所能解答的一些實際建議.關(guān)鍵字：微分方程模型能量守恒能量轉(zhuǎn)換系數(shù)1問題重述1.1課題的背景隨著社會的進(jìn)步和發(fā)展，人們的生活水平在不斷提高，飲食營養(yǎng)攝入量的改善和變化、生活方式的改變，使得肥胖成了社會關(guān)注的一個問題.為此，聯(lián)合國世界衛(wèi)生組織曾頒布人體體重指數(shù)（簡記BMI）：體重（單位：kg）除以身高（單位：m）的平方，規(guī)定BMI在18.5至25為正常，大于25為超重，超過30則為肥胖.據(jù)悉我國有關(guān)機(jī)構(gòu)針對東方人的特點，擬將上述規(guī)定中的25改為24，30改為29.無論從健康的角度，是從審美的角度，人們越來越重視減肥，大量的減肥機(jī)構(gòu)和商品出現(xiàn)，不少自感肥胖的人加入了減肥的行列，盲目的減肥，使得人們感到不理想，如何對待減肥問題，不妨通過組建模型，從數(shù)學(xué)的角度，對有關(guān)的規(guī)律作一些探討和分析.根據(jù)背景知識，我們知道任何人通過飲食攝取的能量不能低于用于維持人體正常生理功能所需要的能量，因此作為人體體重極限值的減肥效果指標(biāo)一定存在一個下限，當(dāng)時表明能量的攝入過低并致使維持他本人正常的生理功能的所需不足，這種減肥所得到的結(jié)果不能認(rèn)為是有效的，它將危機(jī)人的身體健康，是危險的，稱為減肥的臨界指標(biāo).另外，人們認(rèn)為減肥所采取的各種體力運(yùn)動對能量的消耗也有一個所能承受的范圍，記為，當(dāng)能量的攝取量高于體重時，這是體重不會從減少，所以可以看到單一的措施達(dá)不到減肥效果.1.2具體的問題和相關(guān)數(shù)據(jù)現(xiàn)有五個人，身高、體重和BMI指數(shù)分別如下表1.1所示，體重長期不變，試為他們按照以下方式制定減肥計劃，使其體重減至自己的理想目標(biāo)，并維持下去：表1.1身高，體重和BMI指數(shù)表人數(shù)編號12345身高1.71.681.641.721.71體重100112113114124BMI34.633.535.234.835.6理想目標(biāo)7580808590每天攝入能量28572543273426892776題目具體要求如下：（1）在基本不運(yùn)動的情況下安排計劃，每天吸收的熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo)；（2）若是加快進(jìn)程，增加運(yùn)動，重新安排計劃，經(jīng)過查找資料得到以下各項運(yùn)動每小時每kg體重的消耗的熱量如下表1.2所示：表1.2每小時每kg體重的熱量消耗運(yùn)動跑步跳舞乒乓自行車（中速）游泳（50m/min）熱量消耗7.03.04.42.57.9（3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案.2模型假設(shè)與符號說明2.1問題分析本問題要建立減肥的數(shù)學(xué)模型，減肥是一個比較長期和不定的過程，因此要用數(shù)學(xué)的方法對減肥這一問題建模，就需要選定一個測量肥胖的標(biāo)準(zhǔn)量.因為人體的脂肪是能量的主要貯存和提供的方式，而且也是減肥的主要目標(biāo).因此，我們以人體脂肪的重量作為體重的標(biāo)志.已知脂肪的能量轉(zhuǎn)換率為100﹪，每千克脂肪可以轉(zhuǎn)換為8000kcal，稱為脂肪的能量轉(zhuǎn)換系數(shù).肥胖主要是體現(xiàn)在人的身體上，減肥其實就是將人的體重降下來，所以歸根到底，研究減肥就是要研究體重的變化，因此在減肥過程中我們要對人的體重進(jìn)行持續(xù)的檢測，忽略個體間的差異（年齡、性別、健康狀況等）對減肥的影響，可以將人體的體重看成是時間的函數(shù).在減肥的過程中，無論是由于進(jìn)食攝取能量導(dǎo)致體重的增加，還是由于體力活動消耗能量致使體重的減少，異或還有其他一些不可預(yù)知的因素，這都是一個漸變的過程,所以認(rèn)定是連續(xù)光滑的.所以我們認(rèn)為能量的攝取和消耗都是隨時發(fā)生的，而不同的活動對能量的消耗是不同的.所以我們在建模的過程中需要設(shè)定一個參數(shù)用來表示某種活動消耗的人體能量.記為某一種活動每小時所消耗的能量，記為1kg體重每小時所消耗的能量.2.2模型假設(shè)假設(shè)以人體脂肪的重量作為體重的標(biāo)志.假設(shè)體重隨時間的變化是連續(xù)而且充分光滑的.假設(shè)在單位時間人體的能量消耗與其體重成正比.假設(shè)人體每天攝入的能量是一定的.記為.正常代謝引起的減少正比于體重，每人每千克體重消耗熱量一般為28.75~45.71kcal，且因人而異.假設(shè)在研究減肥的過程中，我們忽略個體間的差異對減肥的影響.人體每天攝入量是一定的，為了安全和健康，每天吸收熱量不要小于1429kcal.假設(shè)單位時間內(nèi)人體由于基礎(chǔ)代謝和食物特殊動力作用所消耗的能量正比于人的體重.2.3符號說明：脂肪的能量轉(zhuǎn)化系數(shù).：人體的體重關(guān)于時間的的函數(shù)..：每千克體重每小時運(yùn)動所消耗的能量.：每千克體重每小時所消耗的能量.：每天攝入的能量.：五個人理想的體重目標(biāo)向量.：五個人每天分別攝入的能量..：五個人減肥前的體重.：每人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗.3模型建立與求解3.1一般模型建立如果以1天為時間的計量單位，于是每天基礎(chǔ)代謝的能量消耗量應(yīng)，由于人的某種運(yùn)動一般不會是全天候的，不妨假設(shè)每天運(yùn)動小時，則每天由于運(yùn)動所消耗的能量應(yīng)為.按照假設(shè)2，體重隨時間的變化是連續(xù)而且充分光滑的，我們可以在任何一個時間段內(nèi)考慮由于能量的攝入與消耗引起人的體重的變化.按照能量的平衡原理，任何時間段內(nèi)由于體重的改變所引起的人體內(nèi)能量的變化應(yīng)該等于這段時間內(nèi)攝入的能量與消耗的能量之差.我們選取某一段時間，在時間段內(nèi)考慮能量的改變:設(shè)體重改變的能量變化為,則有（3.1）設(shè)攝入與消耗的能量之差為，則有（3.2）根據(jù)能量平衡原理有（3.3）得：（3.4）取，可得（3.5）其中，，（模型開始考察時刻），即減肥問題的數(shù)學(xué)模型模型求解得（3.6）表示由于能量的攝入而增加的體重，而表示由于能量的消耗而失掉的百分?jǐn)?shù)（每單位體重中由于基礎(chǔ)代謝和活動而消耗掉的那部分）.3.2針對實際問題的模型建立1.由一般模型的建立已經(jīng)知道減肥問題的數(shù)學(xué)模型為微分方程模型（3.6），利用此方法可求解出每個人要達(dá)到自己的理想體重的天數(shù).首先確定此人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗，因為沒有運(yùn)動，所以有，根據(jù)式（3.6）式，得（3.7）從而得到每人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗從假設(shè)5可知，這些人普遍屬于代謝消耗相當(dāng)弱的人，加上吃得比較多，有沒有運(yùn)動，所以會長胖，進(jìn)一步，由(五人的理想體重)，（五人減肥前的體重），D=8000kcal/kg（脂肪的能量轉(zhuǎn)換系數(shù)），根據(jù)式（3.6）式有（3.8）將（五個人每天分別攝入的能量）的值代入上式時，就會得出五個人要達(dá)到自己的理想體重時的天數(shù)，如下表3.1所示表3.1達(dá)到理想體重所需天數(shù)表人12345天數(shù)194372313266298Matlab源程序：R=0;D=8000;%能量轉(zhuǎn)換系數(shù)W1=[7580808590];%理想的體重目標(biāo)A=[28572543273426892776];%每人每天攝入的能量W=[100112113114124];%每人的體重n=length(W);B=A./W%每人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗a=A./Dd=(B+R)./Dfori=1:nt(i)=-(D/B(i))*log((W1(i)*B(i)-A0)/(W(i)*B(i)-A0));%減肥所需要的時間end2.為加快進(jìn)程，增加運(yùn)動，結(jié)合查找資料得到各項運(yùn)動每小時每kg體重消耗的熱量表2，再結(jié)合假設(shè)3，取，，根據(jù)式（4.6）有（3.9）將（五個人每天分別攝入的能量）的值代入上式時，取不同的，得到一組數(shù)據(jù)，在運(yùn)動的情況下，我們選取的是一個小時，得到了每個人在不同運(yùn)動強(qiáng)度下，要達(dá)到自己的理想目標(biāo)所需的天數(shù)，如下表3.2所示：表3.2不同運(yùn)動強(qiáng)度下達(dá)到理想體重所需天數(shù)運(yùn)動跑步跳舞乒乓自行車游泳時間/天122155141160116187261229274176173232207243164148198177206140163220196230154Matlab源程序：h=1;r=[7.03.04.42.57.9];R=h.*r;n1=length(R);D=8000;%能量轉(zhuǎn)換系數(shù)W1=[7580808590];%理想的體重目標(biāo)A=[28572543273426892776];%每人每天攝入的能量W=[100112113114124];%每人的體重n=length(W);B=A./W;%每人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗forj=1:n1fori=1:nt=(i,j)=-(D./(B(i)+R(j))*log((W1(i).*(B(i)+R(j))-A0)./(W(i).*(B(i)+R(j))-A0)));%減肥所需要的時間endend3.要使體重穩(wěn)定在一個定值，則有（3.10）根據(jù)自己的不同理想目標(biāo)和（每人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗），在不同小時下的能量消耗表：（1）在的情況下運(yùn)動所消耗的能量，如下表3.3表3.3的情況下運(yùn)動所消耗的能量運(yùn)動跑步跳舞乒乓自行車游泳消耗能量(kcal)2667.002367.8002472.8002330.2002735.3002376.4002056.4002168.4002016.4002448.4002495.6002175.6002287.6002135.6002567.6002600.0002260.0002379.0002217.5002676.5002644.8002284.8002410.8002239.8002725.800（2）在的情況下運(yùn)動所消耗的能量，如下表3.4表3.4的情況下運(yùn)動所消耗的能量運(yùn)動跑步跳舞乒乓自行車游泳消耗能量(kcal)3198.002592.8002802.8002517.7003327.8002936.4002296.4002520.4002216.4003080.4003055.6002415.6002639.6002335.6003199.6003195.0002515.0002753.0002430.0003348.0003274.8002554.8002806.8002464.8003436.800Matlab源程序：h=[12];r=[7.03.04.42.57.9];R=h*r;D=8000;%能量轉(zhuǎn)換系數(shù)W1=[7580808590];%理想的體重目標(biāo)A=[28572543273426892776];%每人每天攝入的能量W=[100112113114124];%每人的體重n1=length(W);B=A./W;%每人每天每千克體重基礎(chǔ)代謝的能量消耗forj=1:nforI=1:n1A1(i,j)=W1(i).*(B(i)+R(1,j));%在h=1的時間下運(yùn)動所消耗的能量A2(i,j)=W1(i).*(B(i)+R(2,j));%在h=2的時間下運(yùn)動所消耗的能量endend4模型的分析與討論4.1針對一般減肥模型在式（3.6）中假設(shè)，即假設(shè)停止進(jìn)食，無任何能量攝入，于是有（4.1）這表明在時刻保存的體重占初始體重的百分率由給出，特別當(dāng)時，給出了單位時間內(nèi)體重的消耗率，它表明在時間內(nèi)體重的消耗率，它表明在內(nèi)體重減少的百分率，可見這種情況下體重的變化完全是體內(nèi)脂肪的消耗而產(chǎn)生的，如此繼續(xù)下去，由，即體重（脂肪）將消耗殆盡，可知不進(jìn)食的節(jié)食減肥方法是危險的.是模型中的一個重要的參數(shù)，由于表示由于能量的攝入而增加的體重，而表示由于能量的消耗而失掉的體重,于是就表示攝取能量而獲得的補(bǔ)充量,綜合以上的分析可知,時刻的體重由兩部分構(gòu)成,一部分是初始體重中由于能量消耗而被保存下來的部分.另一部分是攝取能量而獲得的補(bǔ)充部分,這一解釋從直觀上理解也是合理的.由式（3.5）即,體重從遞減,這是減肥產(chǎn)生效果,另外由式（3.6）可以看到時,也就是說式（3.5）的解漸進(jìn)穩(wěn)定于,它給出了減肥過程的最終結(jié)果,因此不妨稱為減肥效果指標(biāo),由，因為是基礎(chǔ)代謝的能量消耗，它不能作為減肥的措施隨著每個人的意愿進(jìn)行改變，對于每個人可以認(rèn)為它是一個常數(shù)，于是就有如下結(jié)論：減肥的效果主要是由兩個因素控制的，包括由于進(jìn)食而攝入的能量以及由于運(yùn)動消耗的能量，從而減肥的兩個重要措施就是控制飲食和增加運(yùn)動量，這恰是人們對減肥的認(rèn)識.人體體重的變化時有規(guī)律可循的，減肥也應(yīng)科學(xué)化，定量化，這個模型雖然只是揭示了飲食和鍛煉這兩個主要因素與減肥的關(guān)系，但它們對人們走出盲區(qū)減肥的誤區(qū)，從事減肥活動有一定的參考價值.4.2針對具體問題從上幾個表可知，普遍觀察得出結(jié)論，游泳是減肥的最佳方法，無論是在長時間還是短時間內(nèi)，從結(jié)果來看，游泳消耗的能量是最多的，也是達(dá)到快速減肥的最佳方法，也可從下圖可知，圖4.1表示每個人的能量消耗圖，都是離散的，并且都是遞增的，表明了游泳時能量消耗最快的，選此方法減肥是最合理有效的.Matlab源程序：x=[7.03.04.42.5