《畫法幾何與機(jī)械制圖》課件第05章

第5章平面與立體表面相交5.1平面立體的截交線5.2回轉(zhuǎn)體的截交線如圖5-1所示，平面與立體表面相交，就會(huì)在立體表面產(chǎn)生交線，為了清楚表達(dá)立體的形狀，這些交線的投影需要正確畫出。這里，將切割立體的平面稱為截平面，截平面與立體表面的交線稱為截交線，由截交線所圍成的平面圖形稱為斷面(ABCD)。圖5-1平面與立體表面相交

5.1平面立體的截交線

5.1.1概述

1.平面立體截交線的性質(zhì)

(1)平面立體截交線是截平面與平面立體表面的共有線，截交線上的點(diǎn)是截平面與立體表面的共有點(diǎn)，即構(gòu)成截交線的點(diǎn)與線，既屬于截平面，也屬于立體表面。

(2)平面立體截交線是由直線圍成的平面多邊形，多邊形的邊數(shù)取決于平面立體自身的性質(zhì)及截平面與立體的相對(duì)位置。多邊形的邊，就是截平面與立體表面的交線；多邊形的頂點(diǎn)，就是截平面與立體上棱線的交點(diǎn)。

3)求平面立體的截交線，可歸結(jié)為求截平面與立體表面的交線，而求交線又可轉(zhuǎn)化為求截平面與立體上棱線的交點(diǎn)問題。

2.求平面立體截交線的方法和步驟

(1)空間情況和投影分析。

(2)作圖方法。5.1.2作圖舉例

【例5-1】如圖5-2(a)所示，已知被平面P切割的六棱柱的主視圖，補(bǔ)畫它的左視圖并完成俯視圖。圖5-2完成六棱柱被切割后的三視圖

【解】應(yīng)首先補(bǔ)畫出完整六棱柱的左視圖(圖5-2(b))，然后再逐步畫出截交線的投影。

(1)空間情況和投影分析。

(2)作圖方法。

①補(bǔ)畫六棱柱的左視圖。

②求截交線上的點(diǎn)。

③判斷可見性，完成截交線和棱線的投影。

【例5-2】如圖5-3(a)所示，已知四棱錐被正垂面P切割后的主視圖，完成俯視圖，并畫出左視圖。(主視圖中用雙點(diǎn)畫線畫出了四棱錐被截去棱線的投影，俯視圖中用雙點(diǎn)畫線畫出了完整棱線的投影。)

【解】(1)空間情況和投影分析。

(2)作圖方法。

①作出完整四棱錐的左視圖(可能變化的棱線用雙點(diǎn)畫線表示)，如圖5-3(b)所示。

②作截交線四邊形的投影。

③完成棱線的投影。圖5-3四棱錐被一個(gè)平面切割

【例5-3】如圖5-4(a)所示，試完成四棱錐被截平面P和Q切割后的三視圖。

【解】一個(gè)平面立體被組合的幾個(gè)截平面切割時(shí)，一般應(yīng)逐個(gè)分析每個(gè)截平面切割所產(chǎn)生的截交線，再分析幾個(gè)截平面之間所產(chǎn)生的交線，最終完成作圖。

(1)空間情況和投影分析。

(2)作圖方法。圖5-4四棱錐被兩個(gè)平面切割

【例5-4】如圖5-5(a)所示，已知一個(gè)缺口三棱錐的主視圖，試完成它的俯視圖和左視圖。

【解】(1)空間情況和投影分析，分析方法同前例。

(2)作圖方法。

①求截交線上各點(diǎn)投影。

②判斷截交線的可見性，連接截交線上各點(diǎn)。

③畫出棱線投影，完成作圖。圖5-5缺口三棱錐的三視圖

5.2回轉(zhuǎn)體的截交線

5.2.1概述

在一些零件上，平面與回轉(zhuǎn)體表面相交所產(chǎn)生的截交線是經(jīng)常見到的，如圖5-6所示。圖5-6平面與回轉(zhuǎn)體表面相交圖例

1．回轉(zhuǎn)體截交線的性質(zhì)

(1)回轉(zhuǎn)體的截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線，截交線上的點(diǎn)是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有點(diǎn)，即構(gòu)成截交線的點(diǎn)和線，既屬于截平面，也屬于回轉(zhuǎn)體表面。

(2)截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體自身的形狀和截平面與回轉(zhuǎn)體的相對(duì)位置。回轉(zhuǎn)體的截交線可為封閉的平面曲線、直線、曲線與直線、直線與直線組成的封閉平面圖形。

2．求回轉(zhuǎn)體截交線的方法和步驟

求回轉(zhuǎn)體的截交線，即求截平面與回轉(zhuǎn)體表面的交線。截交線即屬于截平面，又屬于回轉(zhuǎn)體表面，而屬于回轉(zhuǎn)體表面的截交線本身又是由回轉(zhuǎn)體表面的某些點(diǎn)組成的，因此求截交線歸根結(jié)底還是在回轉(zhuǎn)體表面取點(diǎn)(屬于截交線上的點(diǎn))的問題。

(1)空間情況和投影分析。

(2)作圖方法。5.2.2圓柱體的截交線

平面切割圓柱體表面產(chǎn)生的截交線，據(jù)截平面與圓柱體軸線的位置不同，有以下三種情況(見表5-1)：

(1)當(dāng)截平面平行于圓柱體軸線切割時(shí)，截平面與圓柱面及上、下底面相交，截交線為平行于圓柱體軸線的矩形(平行于圓柱體軸線的兩條素線和截平面與上、下底面相交的兩條交線所構(gòu)成的矩形)。

(2)當(dāng)截平面垂直于圓柱體軸線切割時(shí)，截平面與圓柱面相交，截交線為垂直于圓柱體軸線的圓。

(3)當(dāng)截平面傾斜于圓柱體軸線切割時(shí)，截平面與圓柱面斜交，截交線為傾斜于圓柱體軸線的橢圓。

【例5-5】如圖5-7(a)所示，已知圓柱體被切割后的主視圖和左視圖，補(bǔ)畫出俯視圖。

【解】因兩個(gè)截平面P和Q都沒有完全切割圓柱體，故可利用“截平面擴(kuò)展法”，先逐個(gè)分析截平面擴(kuò)大后與圓柱體表面相交的截交線形式，然后再考慮由于兩個(gè)截平面的相互影響，使得完整的截交線只剩下某一部分的情況，這樣有助于截交線形狀的分析和判斷。

(1)空間情況和投影分析。

(2)作圖方法。圖5-7求作圓柱體被切割后的俯視圖

【例5-6】如圖5-8(a)所示，已知被切槽圓柱體的主視圖和左視圖，求作俯視圖。

【解】本例中的截平面形式和截交線分析與例5-5相似，不同的是，本例是由上下對(duì)稱的水平面P和側(cè)垂面Q共同在圓柱體上開了一個(gè)方槽。

(1)空間情況和投影分析。

(2)作圖方法。

①求截交線和截平面P、Q交線的投影。

②整理輪廓線，判斷可見性。圖5-8求作圓柱體被切槽后的俯視圖

【例5-7】如圖5-9(a)所示，已知被切槽圓柱筒的主視圖和左視圖，求作俯視圖。

【解】(1)空間情況和投影分析。本例與例5-6的區(qū)別僅在于所切割的立體是圓柱筒，因此截交線分析方法類似，不再重復(fù)。只是在分析和求作截交線時(shí)，可先考慮截平面切割圓柱體，再考慮切割圓柱孔。

(2)作圖方法。

①在畫出完整的俯視圖后，求作截平面P、Q切割圓柱體的完整截交線(見圖5-9(b)、(c))。

②求作截平面P、Q切割圓柱孔的截交線(見圖5-9(d))。

③判斷可見性，整理轉(zhuǎn)向輪廓線，完成作圖(見圖5-9(e))。圖5-9求作圓柱筒被切槽后的俯視圖

【例5-8】如圖5-10(a)所示，根據(jù)斜截圓柱體的主視圖和俯視圖，補(bǔ)畫出左視圖。

【解】(1)空間情況和投影分析。

(2)作圖方法。

①求特殊點(diǎn)(見圖5-10(c))。

②求一般點(diǎn)(見圖5-10(d))。

③判斷可見性，連接截交線上的點(diǎn)(見圖5-10(e))。

④整理外輪廓線(見圖5-10(e))。圖5-10作出斜截圓柱體的左視圖

【例5-9】如圖5-11(a)所示，根據(jù)立體的主視圖和左視圖，補(bǔ)畫出俯視圖(用細(xì)實(shí)線畫出了完整俯視圖的輪廓線)。

【解】(1)空間情況和投影分析。

(2)作圖方法。

①求圓柱被水平面P切割后產(chǎn)生矩形截交線的水平投影。

②求圓柱被正垂面Q切割產(chǎn)生部分橢圓截交線的水平投影。

③整理俯視圖上的輪廓線。圖5-11作出圓柱被切割后的俯視圖

【例5-10】如圖5-12(a)所示，根據(jù)圓柱筒被切割后的主視圖和左視圖，補(bǔ)畫出俯視圖。

【解】(1)空間情況和投影分析。

(2)作圖方法。

①在畫出完整的俯視圖后，求作截平面P、Q切割圓柱體的完整截交線(見圖5-12(b)、(c))。

②求作截平面P、Q切割圓柱孔的截交線(見圖5-12(d))。

③整理轉(zhuǎn)向輪廓線，完成作圖(見圖5-12(e))。圖5-12作出圓柱筒被切割后的俯視圖5.2.3圓錐體的截交線

平面與圓錐表面的截交線據(jù)截平面與圓錐軸線的位置不同，有五種形式：相交兩直線(三角形)、圓、橢圓、拋物線、雙曲線，見表5-2。

【例5-11】如圖5-13(a)所示，完成圓錐體被正垂面切割后的俯視圖，補(bǔ)畫左視圖。圖5-13完成圓錐體被正垂面切割后的三視圖

【解】(1)空間情況和投影分析。

(2)作圖方法。

①求特殊點(diǎn)(見圖5-13(b)、(c))。

②求一般點(diǎn)。

③連接截交線橢圓上的各點(diǎn)，整理左視圖上的外輪廓線，完成作圖。

【例5-12】如圖5-14(a)所示，圓錐體被平行于軸線的正平面P切割，完成截交線的正面投影。

【解】(1)空間情況和投影分析。

(2)作圖方法(見圖5-14(b)、(c))。

①求特殊點(diǎn)。

②求一般點(diǎn)：因?yàn)榻亟痪€的水平投影已知，故可在俯視圖上取點(diǎn)。

③用曲線依次連接各點(diǎn)的正面投影，完成作圖。圓錐對(duì)正面的轉(zhuǎn)向輪廓線未被切到，因此是完整的。圖5-14圓錐被平行于軸線的正平面切割的截交線畫法

【例5-13】如圖5-15(a)所示，完成圓錐體被平面P和Q切割后的俯視圖和左視圖。

【解】(1)空間情況和投影分析。

(2)作圖方法。

①求截交線的水平投影和側(cè)面投影。

②判斷可見性，整理輪廓線，完成作圖。圖5-15完成圓錐體被平面P、Q切割后的俯視圖和左視圖5.2.4圓球的截交線

平面與圓球相交，不論截平面處于何種位置，其截交線的實(shí)形總是圓。當(dāng)截平面平行于投影面時(shí)，截交線為投影面平行圓；當(dāng)截平面為投影面垂直面時(shí)，截交線的一個(gè)投影為直線，其余投影為橢圓。

【例5-14】如圖5-16(a)所示，求圓球被平面P、Q切割后的俯視圖和左視圖。

【解】因?yàn)榻仄矫鍼和Q分別為側(cè)平面和水平面，因此截交線分別為側(cè)平圓和水平圓，根據(jù)截交線圓的半徑即可作出截交線的投影。作圖方法和過程如圖5-16(b)所示。圖5-16投影面平行面切割圓球的截交線畫法

【例5-15】如圖5-17(a)所示，已知半球被切割方槽后的主視圖，試作出它的俯視圖和左視圖。

【解】(1)空間情況和投影分析(見圖5-17(a))。

(2)作圖方法。

①完成平面P產(chǎn)生截交線圓(水平圓)的投影(圖5-17(b))。

②完成側(cè)平面Q產(chǎn)生截交線的投影(見圖5-17(c))。

③考慮P、Q的相互影響，確定兩組截交線的范圍，并判斷可見性。作圖結(jié)果如圖5-17(d)所示。圖5-17補(bǔ)畫半球切割方槽后的俯視圖和左視圖

【例5-16】如圖5-18(a)所示，完成圓球被正垂面P切割后的俯視圖和左視圖。

【解】(1)空間情況和投影分析。

(2)作圖方法。

①求作特殊點(diǎn)(圖5-18(b)、(c))。

②求一般點(diǎn)。

③判斷可見性，完成作圖。圖5-18完成圓球被正垂面切割后的俯視圖和左視圖5.2.5組合回轉(zhuǎn)體的截交線

【例5-17】如圖5-19(a)所示，一個(gè)由同軸的圓柱、圓錐、圓環(huán)(內(nèi)環(huán)面)和球構(gòu)成的組合回轉(zhuǎn)體被截平面P切割，補(bǔ)全該組合回轉(zhuǎn)體被切割后的主視圖。

【解】(1)空間情況和投影分析。

(2)作圖方法。

①求各段截交線。

②連接截交線上的點(diǎn)。

③補(bǔ)全圖線，完成作圖。圖5-19組合回轉(zhuǎn)體截交線的畫法(一)

【例5-18】如圖5-20(a)所示，一個(gè)由同軸的圓錐、圓柱構(gòu)成的組合回轉(zhuǎn)體被四個(gè)