巧用“等時(shí)圓”解物理問(wèn)題(龔)

龍文教育讓您的孩子學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)PAGE5上海龍文教學(xué)管理部龍文教育學(xué)科導(dǎo)學(xué)案教師:肖武培學(xué)生:年級(jí):日期:2014.星期:時(shí)段:::00—:00學(xué)情分析課題巧用“等時(shí)圓”解物理問(wèn)題學(xué)習(xí)目標(biāo)與考點(diǎn)分析學(xué)習(xí)目標(biāo)：考點(diǎn)分析：學(xué)習(xí)重點(diǎn)學(xué)習(xí)方法講練說(shuō)相結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容與過(guò)程[知識(shí)提要]“等時(shí)圓”模型的基本規(guī)律及應(yīng)用圖2圖1如圖1所示，ad、bd、cd是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，a、b、c、d位于同一圓周上，a點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，d點(diǎn)為最低點(diǎn)。每根桿上都套有一個(gè)小滑環(huán)（圖中未畫(huà)出），三個(gè)滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0），用t1、t2、t3圖2圖1A.t1<t2<t3B.t1>t2>t3C.t3>t1>t2D.t1=t2=t3解析：選任一桿上的環(huán)為研究對(duì)象，受力分析并建立坐標(biāo)如圖所示，設(shè)圓半徑為R，由牛頓第二定律得，①再由幾何關(guān)系，細(xì)桿長(zhǎng)度②設(shè)下滑時(shí)間為，則③由以上三式得，可見(jiàn)下4滑時(shí)間與細(xì)桿傾角無(wú)關(guān)，所以D正確。由此題我們可以得出一個(gè)結(jié)論。結(jié)論：物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點(diǎn)的時(shí)間相等。推論：若將圖1倒置成圖2的形式，同樣可以證明物體從最高點(diǎn)由靜止開(kāi)始沿不同的光滑細(xì)桿到圓周上各點(diǎn)所用的時(shí)間相等。(1)物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周最低點(diǎn)時(shí)間均相等，且為t＝2eq\r(\f(R,g))(如圖甲所示)．(2)物體沿著位于同一豎直圓上的所有過(guò)頂點(diǎn)的光滑弦由靜止下滑，到達(dá)圓周低端時(shí)間相等為t＝2eq\r(\f(R,g))(如圖乙所示)．象這樣的豎直圓我們簡(jiǎn)稱(chēng)為“等時(shí)圓”。關(guān)于它在解題中的應(yīng)用，我們看下面的例子：圖a圖b等時(shí)圓模型（如圖所示）圖a圖b二、等時(shí)圓規(guī)律：1、小球從圓的頂端沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到弦軌道與圓的交點(diǎn)的時(shí)間相等。（如圖a）2、小球從圓上的各個(gè)位置沿光滑弦軌道靜止滑下，滑到圓的底端的時(shí)間相等。（如圖b）3、沿不同的弦軌道運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，都等于小球沿豎直直徑（）自由落體的時(shí)間，即（式中R為圓的半徑。）三、等時(shí)性的證明設(shè)某一條弦與水平方向的夾角為，圓的直徑為（如右圖）。根據(jù)物體沿光滑弦作初速度為零的勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，加速度為，位移為，所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間為即沿各條弦運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，運(yùn)動(dòng)時(shí)間與弦的傾角、長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。規(guī)律：AB、AC、AD是豎直面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，A、B、C、D位于同一圓周上，A點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，D點(diǎn)為最低點(diǎn).每根桿上都套著一個(gè)光滑的小滑環(huán)（圖中未畫(huà)出），三個(gè)滑環(huán)分別從A處由靜止開(kāi)始釋放，到達(dá)圓周上所用的時(shí)間是相等的，與桿的長(zhǎng)度和傾角大小都無(wú)關(guān).推導(dǎo)：設(shè)圓環(huán)沿細(xì)桿AB滑下，過(guò)B點(diǎn)作水平線(xiàn)構(gòu)造斜面，并設(shè)斜面的傾角為θ，如圖2所示，連接BD.根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有環(huán)的加速度a=gsinθ，由幾何關(guān)系有AB=x=2Rsinθ，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有x=12at2，解得：環(huán)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=2Rg，與傾角、桿長(zhǎng)無(wú)關(guān)，所以環(huán)沿不同細(xì)桿下滑的時(shí)間是相等的.說(shuō)明1如果細(xì)桿是粗糙的，環(huán)與細(xì)桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)都為μ，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有2Rsinθ=12（gsinθ—μgcosθ）t2，圖7例3：如圖7，一質(zhì)點(diǎn)自?xún)A角為的斜面上方的定點(diǎn)O沿光滑斜槽OP從靜止開(kāi)始下滑，為使質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)滑到斜面的時(shí)間最短，則斜槽與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？圖7例4：如圖7，AB是一傾角為θ的輸送帶，P處為原料輸入口，為避免粉塵飛揚(yáng)，在P與AB輸送帶間建立一管道（假使光滑），使原料從P處以最短的時(shí)間到達(dá)輸送帶上，則管道與豎直方向的夾角應(yīng)為多大？M?Pθα圖7【例4】如圖7所示，在同一豎直平面內(nèi)，從定點(diǎn)P到固定斜面(傾角為θ)搭建一條光滑軌道PMM?Pθα圖7圖1“形似質(zhì)異”問(wèn)題的區(qū)分圖1【例1】還是如圖1的圓周，如果各條軌道不光滑，它們的摩擦因數(shù)均為μ，小滑環(huán)分別從a、b、c處釋放（初速為0）到達(dá)圓環(huán)底部的時(shí)間還等不等？AθB圖7PcbadOefg圖4aObcd圖3【例2】如圖3所示，Oa、Ob、Oc是豎直平面內(nèi)三根固定的光滑細(xì)桿，O、a、b、c四點(diǎn)位于同一圓周上，d點(diǎn)為圓周的最高點(diǎn)，cAθB圖7PcbadOefg圖4aObcd圖3A．B．C．D.C圖5D例3：如圖5所示，在豎直面內(nèi)有一圓，圓內(nèi)OD為水平線(xiàn)，圓周上有三根互成的光滑桿、、，每根桿上套著一個(gè)小球（圖中未畫(huà)出）?，F(xiàn)讓一個(gè)小球分別沿三根桿頂端無(wú)初速下滑到O,所用的時(shí)間分別為、、，則（）C圖5DABCD無(wú)法確定四、比較應(yīng)用等時(shí)圓模型解典型例題圖9例題1：如圖9，底邊為定長(zhǎng)b的直角斜面中，球從光滑直角斜面頂端由靜止滑到底端，至少需要多少時(shí)間？圖92.有三個(gè)光滑斜軌道1、2、3，它們的傾角依次是600，450和300，這些軌道交于O點(diǎn)．現(xiàn)有位于同一豎直線(xiàn)上的3個(gè)小物體甲、乙、丙，分別沿這3個(gè)軌道同時(shí)從靜止自由下滑，如圖，物體滑到O點(diǎn)的先后順序是（）A.甲最先，乙稍后，丙最后B.乙最先，然后甲和丙同時(shí)到達(dá)C.甲、乙、丙同時(shí)到達(dá)D.乙最先，甲稍后，丙最后θaObc3、如圖9，圓柱體的倉(cāng)庫(kù)內(nèi)有三塊長(zhǎng)度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圓心O，而上端則擱在倉(cāng)庫(kù)側(cè)壁，三塊滑塊與水平面的夾角依次為300、450、600。若有三個(gè)小孩同時(shí)從a、b、c處開(kāi)始下滑（忽略阻力），則θaObcA、a處小孩最先到O點(diǎn)B、b處小孩最先到O點(diǎn)C、c處小孩最先到O點(diǎn)D、a、c處小孩同時(shí)到O點(diǎn)圖3例3：如圖3，在設(shè)計(jì)三角形的屋頂時(shí)，為了使雨水能盡快地從屋頂流下，并認(rèn)為雨水是從靜止開(kāi)始由屋頂無(wú)摩擦地流動(dòng)。試分析和解：在屋頂寬度（2l）一定的條件下，屋頂?shù)膬A角應(yīng)該多大？雨水流下的最短時(shí)間是多少？圖3OOPMdαθ圖13【例6】在豎直平面內(nèi)，固定一個(gè)半徑為R的大圓環(huán)，其圓心為O，在圓內(nèi)與圓心O同一水平面上的P點(diǎn)搭一光滑斜軌道PM到大環(huán)上，如圖13所示，=d＜R。欲使物體從P點(diǎn)釋放后，沿軌道滑到大環(huán)的時(shí)間最短，求M點(diǎn)位置（用OM與水平面的夾角α的三角函數(shù)表達(dá)）。?！纠?】如圖10所示，在同一豎直平面內(nèi)，地面上高H的定點(diǎn)P，到半徑為R的定圓的水平距離為L(zhǎng)，從P搭建一條光滑軌道到定圓的圓周上?，F(xiàn)使物體從P點(diǎn)釋放后，沿軌道下滑到定圓的時(shí)間最短，該軌道與豎直方向夾角應(yīng)多大？H和L滿(mǎn)足題設(shè)要求。??PHL圖10本次課后作業(yè)學(xué)生對(duì)于本次課的評(píng)價(jià)：○特別滿(mǎn)意○滿(mǎn)意○一般○差學(xué)生簽字：教師評(píng)定：1.學(xué)生上次作業(yè)評(píng)價(jià)：○