2024-2025學年北京大興區(qū)高二（上）期末數(shù)學試卷（含答案）

第2頁/共11頁2025北京大興高二（上）期末數(shù)學2025．01本試卷共頁，150分。考試時間120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y束后，將答題卡交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知直線l經(jīng)過兩點，則直線l的傾斜角為（A）（B）（C）（D）（2）已知兩個向量，且，則（A）（B）（C）（D）（3）已知雙曲線的焦點在x軸上，則實數(shù)m的取值范圍是

（A）（B）（C）（D）（4）用這個數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（A）（B）（C）（D）（5）已知拋物線的焦點為F，點在拋物線C上，若，則到軸的距離是（A）（B） （C）（D）（6）在的展開式中，常數(shù)項為（A）（B） （C）（D）（7）如圖，在四面體OABC中，點E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點，則

（A） （B）（C）（D）（8）已知直線和曲線，則“直線與曲線有且僅有一個公共點”是“”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（9）已知橢圓的右焦點為F

，過原點的直線l與C

交于A，B

兩點，若，且，則橢圓C

的離心率為（A）（B） （C）（D）（10）在平面直角坐標系xOy中，點，動點滿足以為直徑的圓與軸相切．過作直線的垂線，垂足為，則的最小值為（A）（B）（C）（D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）若，則．（12）與雙曲線有相同焦點的一個橢圓的方程可以是．（13）已知直線，相交于點A，則點A的坐標為；圓，過點A作圓C的切線，則切線方程為．（14）正方體的棱長為1，動點在線段上，動點在平面內(nèi)，且平面．①當點與點重合時，線段的長度為；②線段長度的最小值為．（15）如圖，橢圓有這樣的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點．已知橢圓，其左、右焦點分別是，，為橢圓上任意一點，直線與橢圓相切于點，過點與垂直的直線與橢圓的長軸交于點，，點，給出下列四個結論：①△面積的最大值為；②的最大值為7；③若，則；④若，垂足為，則.其中所有正確結論的序號是．三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題14分）已知的展開式中各二項式系數(shù)的和為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求該展開式中所有項的系數(shù)和．（17）（本小題14分）已知拋物線，其準線方程為．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）直線與拋物線C交于不同的兩點，求以線段AB為直徑的圓的方程．（18）（本小題14分）某個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20千米的圓形區(qū)域內(nèi)．已知小島中心位于輪船正西40千米處，港口位于小島中心正北30千米處．（Ⅰ）如圖，小島中心在原點O處，取10千米為單位長度，在圖中標出輪船和港口的位置；（Ⅱ）如果輪船沿直線返港，用坐標法判斷該輪船是否會有觸礁危險，并說明理由．（19）（本小題14分）如圖1，菱形ABCD的邊長為4，，E是CD的中點，將△沿著BE翻折，使點C到點P處，連接PA，PD，得到如圖2所示的四棱錐（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）當時，求平面PBD與平面PBE的夾角的余弦值．（20）（本小題14分）已知O為坐標原點，橢圓的左、右焦點分別為，A為橢圓C的上頂點，△為等腰直角三角形，其面積為．（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；（Ⅱ）直線l交橢圓C于P，Q兩點，點在過原點且與l平行的直線上，記直線的斜率分別為，的面積為．再從下面三個論斷①、②、③中選擇兩個論斷作為已知條件，證明余下的論斷成立．①：；②：；③：為原點．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．（21）（本小題15分）在平面直角坐標系xOy中，用變換公式（a，b，c，m，n，p為常數(shù)），將點變換成點，稱該變換為線性變換．（Ⅰ）（Ⅱ）線性變換2：將點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到點.求線性變換2的變換公式，并求將橢圓上所有點按線性變換2變換后，所得點的坐標滿足的方程；（Ⅲ）若曲線的方程為，證明：曲線上所有點的坐標經(jīng)過線性變換后滿足橢圓的標準方程，并求出該標準方程．

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）12345678910DBDCABABCD二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）（12）（答案不唯一，焦點為即可）

（13）；

或（14）；（15）①②③

注：12、13題第一空3分，第二空2分．三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）由所有二項式系數(shù)的和為，可知，……4分可得．……3分（Ⅱ）設二項式可化為．令，……5分則．所以展開式中所有項的系數(shù)和為

．……2分（17）（共14分）解：（Ⅰ）由題意知，……1分所以．……1分所以拋物線C的方程為．……2分（Ⅱ）設，線段AB的中點為．由得．……1分其中，所以．……2分所以，．……2分直線過焦點，由拋物線的定義知，．……2分所以以線段AB為直徑的圓半徑為4．……1分所以以線段AB為直徑的圓的方程為．……2分（18）（共14分）解：（Ⅰ）……4分（Ⅱ）以小島中心為原點，東西方向為軸，建立上圖所示的直角坐標系．為了運算的簡便，取10千米為單位長度，則港口所在位置的坐標為，輪船所在位置坐標為，受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對應的圓的方程為．………2分輪船航線所在直線的方程為．……2分由得．……2分由，……2分可知方程組無解．……1分所以直線與圓相離，輪船沿直線返港不會有觸礁危險．……1分（19）（共14分）解：（Ⅰ）在題圖1中，因為四邊形ABCD為菱形，，且E是CD的中點，所以．……1分從而在題圖2中，，……2分因為，平面PDE，平面PDE，所以平面PDE．……1分又平面PDE，所以．……1分（Ⅱ）在平面內(nèi)，過E點作，由（Ⅰ）已證平面，所以．又因為（Ⅰ）已證，所以兩兩垂直．……1分故以E為坐標原點，ED，EB，EQ所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．因為，則，，，．因此，，．設平面PBD的法向量為，則即……1分令，則y1，．于是．……2分設平面PBE的法向量為，則即令，得，．于是．……2分設平面PBD與平面PBE的夾角為，則．……3分故平面PBD與平面PBE的夾角的余弦值為

．（20）（共14分）解：（Ⅰ）由題意知：，．則，……1分解得．……1分由知，．……2分所以橢圓C的標準方程為：．……1分（Ⅱ）設，．選②③為條件：當直線l的斜率不存在時，根據(jù)橢圓的對稱性不妨設點P在第一象限，此時，則由，可得，此時直線的方程為，則，所以．……1分當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為：．則，即．……1分由得，……1分由，得，所以．……1分所以．……1分所以，即．……1分．……1分因為點O到直線l的距離，……1分所以．……1分綜上，成立．選①③為條件：當直線l的斜率不存在時，根據(jù)橢圓的對稱性不妨設點P在第一象限，則由，可得，又，解得，，則，所以．……1分當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為：．由得，……1分由，得，所以．……1分．……1分因為點O到直線l的距離，……1分所以．即．……1分因為，……1分所以……1分．……1分綜上，成立．選①②為條件：設，當直線l的斜率不存在時，根據(jù)橢圓的對稱性不妨設點P在第一象限，則，，所以．又，解得，，則，所以，所以．所以為坐標原點．……1分當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為：，則，由得，……1分由，得，所以．……1分．……1分點W到直線l的距離，……1分．

即．……1分因為，．

則由，即．

得．

……1分即．

……1分因為，則．

……1分所以．

……1分即．

綜上所述，W為坐標原點．

（21）（共14分）解：（Ⅰ）由平移可得此即為坐標變換公式．……2分所以，按線性變換1變換后，所得新點的坐標為．……2分（Ⅱ）設將x軸逆時針轉(zhuǎn)到OP的角為點，點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得，由三角函