【優(yōu)化方案】2021高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(湖北理科)課后達(dá)標(biāo)檢測(cè)：第6章-第3課時(shí)

[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．(2022·北京海淀高三期中測(cè)試)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y－4≤0，,kx－y≤0))表示面積為1的直角三角形區(qū)域，則k的值為()A．0 B．1C．2 D．3解析：選B.畫出平面區(qū)域如圖所示：直線y＝kx確定垂直x＋y－4＝0，即k＝1，只有這樣才可使圍成的區(qū)域?yàn)橹苯侨切危颐娣e為1.2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|≤|y|,|x|<1))的點(diǎn)(x，y)的集合用陰影表示為下列圖中的()解析：選C.|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y軸的兩個(gè)區(qū)域；|x|<1表示x＝±1所夾含y軸的帶狀區(qū)域．3．(2022·廣東省惠州市調(diào)研測(cè)試)已知x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋5≥0,x－y≤0，,y≤0))則z＝2x＋4y的最小值為()A．－14 B．－15C．－16 D．－17解析：選B.由圖可知當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋4y經(jīng)過(guò)y＝x與x＋y＋5＝0的交點(diǎn)時(shí)取得最小值，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x,x＋y＋5＝0))，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2.5，－2.5)，故zmin＝－15.4．(2022·安徽合肥市質(zhì)量檢測(cè))點(diǎn)(x，y)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0,x－y＋1≥0，,x≤a))若目標(biāo)函數(shù)z＝x－2y的最大值為1，則實(shí)數(shù)a的值是()A．1 B．－1C．－3 D．3解析：選A.由題意可知，目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a,1－a)時(shí)達(dá)到最大值1，即a－2(1－a)＝1，解得a＝1.5．某所學(xué)校方案聘請(qǐng)男老師x名，女老師y名，x和y需滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥5,x－y≤2,x≤6,x∈N，y∈N))，則該校聘請(qǐng)的老師最多為()A．10名 B．11名C．12名 D．13名解析：選D.設(shè)z＝x＋y，作出可行域如圖陰影中的整點(diǎn)部分，可知當(dāng)直線z＝x＋y過(guò)A點(diǎn)時(shí)z最大，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6,2x－y＝5))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6,y＝7))，故z最大值為7＋6＝13.二、填空題6．在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0,x－y＋2≥0，,x≤2))表示的平面區(qū)域的面積為_(kāi)_______．解析：作出可行域?yàn)椤鰽BC(如圖)，則S△ABC＝4.答案：47．(2022·云南昆明市調(diào)研測(cè)試)已知變量x，y滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≤0,x－y≤0，,x≥0))則2x－y的最大值為_(kāi)_______．解析：在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域及直線2x－y＝0，平移該直線，當(dāng)平移到經(jīng)過(guò)該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))時(shí)，相應(yīng)直線在x軸上的截距達(dá)到最大，此時(shí)2x－y取得最大值，最大值是2x－y＝2×eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)8．(2022·黃岡市質(zhì)檢)設(shè)P是不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y≥0,x－y≥－1，,x＋y≤3))表示的平面區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，向量m＝(1,1)，n＝(2,1)，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝λm＋μn(λ，μ為實(shí)數(shù))，則2λ＋μ的最大值為_(kāi)_______．解析：由eq\o(OP,\s\up6(→))＝(λ＋2μ，λ＋μ)＝(x，y)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝λ＋2μ，,y＝λ＋μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－x＋2y，,μ＝x－y.))所以2λ＋μ＝－2x＋4y＋x－y＝－x＋3y，即求z＝－x＋3y的最大值．作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y≥0,x－y≥－1，,x＋y≤3))表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是直線y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(1,3)z在y軸上截距的3倍，結(jié)合圖形在點(diǎn)A(1,2)處取得最大值，最大值為5.答案：5三、解答題9.已知D是以點(diǎn)A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3，2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包括邊界與內(nèi)部)．如圖所示．(1)寫出表示區(qū)域D的不等式組；(2)設(shè)點(diǎn)B(－1，－6)，C(－3,2)在直線4x－3y－a＝0的異側(cè)，求a的取值范圍．解：(1)直線AB、AC、BC的方程分別為7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原點(diǎn)(0,0)在區(qū)域D內(nèi)，故表示區(qū)域D的不等式組為：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x－5y－23≤0，,x＋7y－11≤0，,4x＋y＋10≥0.))(2)依據(jù)題意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0，即(14－a)(－18－a)<0，得a的取值范圍是－18<a<14.故a的取值范圍是(－18,14)．10．變量x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1，))(1)設(shè)z＝4x－3y，求z的最大值．(2)設(shè)z＝eq\f(y,x)，求z的最小值；解：(1)由約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3≤0，,3x＋5y－25≤0，,x≥1，))作出(x，y)的可行域如圖所示．由z＝4x－3y，得y＝eq\f(4,3)x－eq\f(z,3).求z＝4x－3y的最大值，相當(dāng)于求直線y＝eq\f(4,3)x－eq\f(z,3)在y軸上的截距－eq\f(z,3)的最小值．平移直線y＝eq\f(4,3)x知，當(dāng)直線y＝eq\f(4,3)x－eq\f(z,3)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，－eq\f(z,3)最小，z最大．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4y＋3＝0，,3x＋5y－25＝0，))解得B(5,2)．故zmax＝4×5－3×2＝14.(2)∵z＝eq\f(y,x)＝eq\f(y－0,x－0).∴z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率，觀看圖形可知zmin＝kOB＝eq\f(2,5).[力氣提升]一、選擇題1．(2022·遼寧六校聯(lián)考)設(shè)變量x、y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤a,x＋y≥8，,x≥6))且不等式x＋2y≤14恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[8,10] B．[8,9]C．[6,9] D．[6,10]解析：選A.不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，明顯a≥8，否則可行域無(wú)意義．由圖可知x＋2y在點(diǎn)(6，a－6)處取得最大值2a－6，由2a－6≤14得，a≤10.2．(2022·東北三校聯(lián)考)已知二元一次不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4≥0,x－y－2≤0,x－3y＋4≥0))所表示的平面區(qū)域?yàn)镸.若M與圓(x－4)2＋(y－1)2＝a(a>0)至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5)) B．(1,5)C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5)) D．(1,5]解析：選C.如圖，若使以(4,1)為圓心的圓與陰影部分區(qū)域至少有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖形，當(dāng)圓與直線x－y－2＝0相切時(shí)，恰有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))2＝eq\f(1,2)，當(dāng)圓的半徑增大到恰好過(guò)點(diǎn)A(2,2)時(shí)，圓與陰影部分至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)a＝5，故a的取值范圍是eq\f(1,2)<a≤5.二、填空題3．(2022·高考上海卷)滿足約束條件|x|＋2|y|≤2的目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)－x的最小值是__________．解析：作出可行域如圖所示：由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝y(tǒng)－x取得最小值，zmin＝0－2＝－2.答案：－24．已知x，y滿足不等式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0,y≥0,x＋2y≤t,2x＋y≤4))，且目標(biāo)函數(shù)z＝9x＋6y最大值的變化范圍是[20,22]，則t的取值范圍是________．解析：由約束條件確定的可行域如圖，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)A時(shí)取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝t,2x＋y＝4))，解得A(eq\f(8－t,3)，eq\f(2t－4,3))，所以20≤9×eq\f(8－t,3)＋6×eq\f(2t－4,3)≤22，解得4≤t≤6.答案：[4,6]三、解答題5．某玩具生產(chǎn)公司每天方案生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個(gè)，生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵需5分鐘，生產(chǎn)一個(gè)騎兵需7分鐘，生產(chǎn)一個(gè)傘兵需4分鐘，已知總生產(chǎn)時(shí)間不超過(guò)10小時(shí)．若生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵可獲利潤(rùn)5元，生產(chǎn)一個(gè)騎兵可獲利潤(rùn)6元，生產(chǎn)一個(gè)傘兵可獲利潤(rùn)3元．(1)試用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個(gè)數(shù)x與騎兵個(gè)數(shù)y表示每天的利潤(rùn)w(元)；(2)怎樣支配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？解：(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個(gè)數(shù)為100－x－y，所以利潤(rùn)w＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.(2)約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋7y＋4100－x－y≤600，,100－x－y≥0，,x≥0，y≥0，x，y∈N.))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y≤200，,x＋y≤100，,x≥0，y≥0，x，y∈N.))目標(biāo)函數(shù)為w＝2x＋3y＋300.作出可行域，如圖所示：初始直線l0：2x＋3y＝0，平移初始直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，w有最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝200，,x＋y＝100，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝50.))最優(yōu)解為A(50,50)，所以wmax＝550(元)．所以每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個(gè)，騎兵50個(gè)，傘兵0個(gè)時(shí)利潤(rùn)最大為550元．6．(選做題)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2，))(1)求目標(biāo)函數(shù)z＝e