第二類曲面積分

第二類曲面積分一、有向曲面假設(shè)某一曲面Σ是光滑的，在Σ上任取一點P，過此點作一法線，該法線存在兩個方向，選定其中一個方向，則當(dāng)該點在曲面上連續(xù)變動時，相應(yīng)的法向量也隨著連續(xù)變動，如果此點在曲面上連續(xù)變動后(不超過曲面的邊界)回到原來的位置時，相應(yīng)的法向量的方向與原方向相同，就稱Σ是一個雙側(cè)曲面；反之，則稱Σ是一個單側(cè)曲面.通常遇到的曲面有上下、左右、前后兩側(cè)之分，如果是閉合曲面，還有內(nèi)、外側(cè)之分.這主要通過曲面上某一點處法向量的指向來定出曲面的側(cè).一、有向曲面例如，對于z=z(x,y)曲面，如果取它的法向量n的指向朝上，就認(rèn)為取定曲面的上側(cè)；對于y=y(x,z)曲面，如果取它的法向量n的指向朝右，就認(rèn)為取定曲面的右側(cè)；對于x=x(y,z)曲面，如果取它的法向量n的指向朝前，就認(rèn)為取定曲面的前側(cè)；對于閉曲面，如果取定它的法向量n的指向朝外，就認(rèn)為取定曲面的外側(cè).這種通過取定曲面上的一個法向量來規(guī)定曲面的側(cè)的曲面稱為有向曲面.下面介紹有向曲面在坐標(biāo)平面上的投影.一、有向曲面設(shè)Σ是有向曲面.在Σ上取一小塊曲面ΔS,將ΔS分別投影到y(tǒng)Oz,z

Ox,xOy面上得一投影區(qū)域，記此投影區(qū)域的面積分別為(Δσ)yz,(Δσ)zx,(Δσ)xy.設(shè)ΔS上各點處的法向量與x軸、y軸、z軸的夾角分別為α,β,γ,這些角的余弦cosα,cosβ,cosγ分別在每一點處有相同的符號(即cosα,osβ,cosγ分別都是正的或都是負(fù)的)，則規(guī)定ΔS在yOz,zOx,xOy面上的投影分別為一、有向曲面二、第二類曲面積分的概念與性質(zhì)引列設(shè)流體(假定密度為1)在空間Ω內(nèi)流動，它的流速是v，這里假定速度v是定常的，即它與時間無關(guān),v(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k.設(shè)Σ是空間Ω內(nèi)的光滑有向曲面，函數(shù)P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)都在Σ上連續(xù)，求單位時間內(nèi)流體流向曲面Σ指定側(cè)的流量Φ.二、第二類曲面積分的概念與性質(zhì)分析如果Σ為一個平面閉區(qū)域，其面積為A，且流體在這閉區(qū)域上各點處的流速v是常向量，又設(shè)n為該平面的單位法向量，那么在單位時間內(nèi)流過該閉區(qū)域的流體構(gòu)成一個底面積為A，高為|v|的斜柱體，這個斜柱體的體積等于以Σ為底、以v在n上的投影為高的正柱體的體積，即

Φ=A|v|cosθ=Av·n，其中θ為v與n的夾角.如果Σ不是平面而是一片曲面，且流速v也不是常向量時，所求流量就不能按照上述公式計算.下面采用以下幾個步驟來解決這個問題.二、第二類曲面積分的概念與性質(zhì)(1)分割.在Σ上任意分成n小塊ΔSi(ΔSi同時也代表第i個小塊的面積)，取其中一小塊ΔSi來考慮.設(shè)通過ΔSi流向指定側(cè)的流量為ΔΦi，則通過整個曲面Σ的流量為

(2)近似.在Σ是光滑和v是連續(xù)的前提下，當(dāng)這小塊ΔSi的直徑很短時，其上任一點ξi,ηi,ζi處的流速vi=v(ξi,ηi,ζi)可代替ΔSi上其他各點處的流速，曲面Σ在點ξi,ηi,ζi處的單位法向量ni=cosαii+cosβij+cosγik可代替ΔSi上其他各點處的法向量，于是，通過ΔSi流向指定側(cè)的流量ΔΦi可近似表示為ΔΦi≈vi·niΔSi(i=1,2,…,n).二、第二類曲面積分的概念與性質(zhì)(3)求和.于是通過整個曲面Σ的流量為(4)取極限.如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值λ→0時，該和式的極限存在，則此極限值就是通過整個曲面Σ的流量這樣的極限在其他問題中還會遇到，因此可得出第二類曲面積分的概念.二、第二類曲面積分的概念與性質(zhì)定義4設(shè)Σ為光滑的有向曲面，函數(shù)Px,y,z，Qx,y,z，Rx,y,z在Σ上有界.把Σ任意分成n塊小曲面ΔSi(ΔSi同時又表示第i塊小曲面的面積)，ΔSi在三個坐標(biāo)面上的投影分別為ΔSiyz，ΔSizx，ΔSixy.在ΔSi上任取一點ξi,ηi,ζi，如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值λ→0時，二、第二類曲面積分的概念與性質(zhì)總存在，則稱此極限為函數(shù)Px,y,z，Qx,y,z，Rx,y,z在有向曲面Σ上的第二類曲面積分或?qū)ψ鴺?biāo)的曲面積分，記為二、第二類曲面積分的概念與性質(zhì)根據(jù)上述定義，某流體以速度v(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k在單位時間內(nèi)流過有向曲面Σ指定側(cè)的流量三、第二類曲面積分的計算定理6設(shè)光滑曲面Σ是由方程z=zx,y所給出的曲面上側(cè)，Σ在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy，函數(shù)z=zx,y在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，Rx,y,z是Σ上的連續(xù)函數(shù)，則證由第二類曲面積分的定義，有(10-11)三、第二類曲面積分的計算因為Σ取上側(cè)，所以cosγ>0，所以(ΔSi)xy=(Δσi)xy.又因為(ξi,ηi,ξi)是Σ上的一點，故ζi=z(ξi,ηi)，所以三、第二類曲面積分的計算公式(10-11)的曲面積分是取在曲面Σ上側(cè)的；如果曲面積分取在Σ的下側(cè)，則有注三、第二類曲面積分的計算類似地，當(dāng)Px,y,z在光滑曲面Σ：x=xy,z,y,z∈Dyz上連續(xù)時，有這里取積分曲面Σ的前側(cè).當(dāng)Qx,y,z在光滑曲面Σ：y=yz,x,z,x∈Dzx上連續(xù)時，有這里取積分曲面Σ的右側(cè).三、第二類曲面積分的計算【例17】三、第二類曲面積分的計算【例18】三、第二類曲面積分的計算四、兩曲面積分的聯(lián)系與曲線積分一樣，當(dāng)曲面的側(cè)確定之后，可以建立兩種曲面積分的聯(lián)系.設(shè)光滑曲面Σ由方程z=zx,y給出，Σ在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy，函數(shù)z=zx,y在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，R(x,y,z)在Σ上連續(xù).當(dāng)Σ取上側(cè)時，有四、兩曲面積分的聯(lián)系(10-12)四、兩