第二類曲線積分

第二類曲線積分一、第二類曲線積分的概念與性質(zhì)在xOy面內(nèi)，質(zhì)點M在變力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j［P(x,y),Q(x,y)在L上連續(xù)］的作用下從點A沿光滑曲線弧L移動到點B，試計算變力F(x,y)所做的功W(見圖10-4).引列圖10-4一、第二類曲線積分的概念與性質(zhì)分析如果力F是常力，且質(zhì)點從A沿直線移動到B，那么常力F所做的功W可用式W=F·AB

來計算.現(xiàn)在F(x,y)是變力，且質(zhì)點沿曲線L移動，功W不能直接按以上公式計算.可采用以下幾個步驟來解決這個問題.(1)分割.在L上沿L的方向插入一點列M1x1,y1,M2x2,y2,…,Mn-1xn-1,yn-1，與A=M0(x0，y0)，B=Mn(xn，yn)把L分成n個有向小弧段Mi-1Mii=1,2,…,n.設(shè)有向小弧段Mi-1Mi的弧長為Δsi，力F(x,y)沿有向小弧段Mi－1Mi所做的功為ΔWi.一、第二類曲線積分的概念與性質(zhì)(2)近似.在Mi－1Mi

上任意取定的一點(ξi,ηi)處的力F(ξi,ηi)=P(ξi,ηi)i+Q(ξi,ηi)j，若Δsi充分小，可用有向線段Mi-1Mi來代替小弧段Mi-1Mi，而Mi-1Mi在x軸與y軸上的投影分別為Δxi=xi－xi－1與Δyi=yi－yi－1，故

Mi－1Mi

=(Δxi)i+(Δyi)j.

因此，力F(x,y)在小弧段Mi－1Mi上所做的功近似地等于常力F(ξi,ηi)沿Mi－1Mi所做的功ΔWi≈F(ξi,ηi)·Mi－1Mi=P(ξi,ηi)Δxi+Q(ξi,ηi)Δyi.一、第二類曲線積分的概念與性質(zhì)(3)求和.變力F對物體沿曲線所做的總功(4)取極限.用λ表示n個小弧段的最大長度，令λ→0取上述和式的極限，得到變力F沿有向曲線弧所做的功，即這種和式的極限在研究其他問題時也會遇到，將其抽象出來得到下面的定義.一、第二類曲線積分的概念與性質(zhì)定義2設(shè)L為xOy面內(nèi)從點A到點B的一條有向光滑曲線弧，函數(shù)Px,y,Qx,y在L上有界.在L上沿其方向任意插入一點列M1x1,y1,M2x2,y2,…,Mn-1xn-1,yn-1，把L分成n個有向小弧段

Mi-1Mii=1,2,…,n，其中M0=A,Mn=B.記各小弧段Mi－1Mi的弧長為Δsi，λ=

maxΔs1,Δs2,…,Δsn.設(shè)Δxi=xi－xi－1，Δyi=yi－yi－1，點ξi,ηi為Mi-1Mi上任意取定的點.若極限一、第二類曲線積分的概念與性質(zhì)存在，則稱此極限為函數(shù)Px,y，Qx,y在有向曲線弧L上的第二類曲線積分或?qū)ψ鴺说那€積分，記為∫LPx,ydx+Qx,ydy或∫LPx,ydx+∫LQx,ydy，(10-3)

其中Px,y,Qx,y稱為被積函數(shù)，L稱為積分弧段.函數(shù)fx,y在閉曲線L上的第二類曲線積分記為∮LPx,ydx+Qx,ydy.注一、第二類曲線積分的概念與性質(zhì)一、第二類曲線積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)α,β為常數(shù)，則∫LαP1x,y+βP2x,ydx+αQ1

x,y+βQ2x,ydy=α∫LP1x,ydx+Q1x,ydy+β∫LP2x,ydx+Q2x,ydy.一、第二類曲線積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)2若有向弧段L可分成兩段光滑的有向弧段L1,L2，則∫LPx,ydx+Qx,ydy=∫L1Px,ydx+Qx,ydy+∫L

2Px,ydx+Qx,ydy.一、第二類曲線積分的概念與性質(zhì)性質(zhì)3設(shè)L是有向光滑的曲線弧，L-是L的反向曲線弧，則∫L-Px,ydx+Qx,ydy=-∫LPx,ydx+Qx,ydy.一、第二類曲線積分的概念與性質(zhì)第二類曲線積分與曲線的方向有關(guān).注二、第二類曲線積分的計算定理2設(shè)有向曲線弧L的參數(shù)方程為

當參數(shù)t單調(diào)地由α變到β時，點Mx,y從L的起點沿L運動到終點,φt與ψt在［α,β］(或［β,α］)上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且φ′2t+ψ′2t≠0.又設(shè)Px,y與Qx,y為L上的連續(xù)函數(shù)，則曲線積分∫LPx,ydx+Qx,ydy=∫βαPφt,ψtφ′t+Qφt,ψtψ′tdt.二、第二類曲線積分的計算(10-4)二、第二類曲線積分的計算二、第二類曲線積分的計算(10-5)定積分的下限α對應(yīng)于L的起點,上限β對應(yīng)于L的終點，下限α不一定小于上限β.注二、第二類曲線積分的計算二、第二類曲線積分的計算求∫L(x－y)dx+(y+x)dy,其中L分別為如圖10-5所示的路徑:(1)從O(0,0)到C(1,1)的直線.(2)從O(0,0)到B(1,0)再從B(1,0)到C(1,1)的折線.(3)從O(0,0)沿拋物線y=x2到C(1,1).【例4】圖10-5二、第二類曲線積分的計算二、第二類曲線積分的計算求I=∫L(3x2y+x)dx+(x3+1)dy,其中L分別為(見圖10-6)：(1)拋物線y=x2上從O(0,0)到B(1,1)的一段弧.(2)拋物線x=y2上從O(0,0)到B(1,1)的一段弧.(3)有向折線OAB，從點O(0,0)沿x軸到點A(1,0)，再從點A(1,0)沿直線x=1到點B(1,1).【例5】圖10-6二、第二類曲線積分的計算二、第二類曲線積分的計算【例6】二、第二類曲線積分的計算【例7】二、第二類曲線積分的計算【例8】二、第二類曲線積分的計算三、兩類曲線積分的聯(lián)系指向與有向曲線弧的方向一致的切向量稱為這條有向曲線弧的切向量.若有向光滑曲線L由參數(shù)方程x=φ(t)y=ψ(t)給出，其起點A、終點B分別對應(yīng)參數(shù)α，β.L上一點(對應(yīng)參數(shù)t)處的切向量為τ=φ′(t)i+ψ′(t)j，它的指向與參數(shù)t增大時該點移動的走向一致，當α<β時，τ是有向曲線弧L的切向量.τ的方向余弦為三、兩類曲線積分的聯(lián)系三、兩類曲線積分的聯(lián)系其中α，β，γ為有向曲線弧Γ在點(x,y,z)處的切向量的方向角.兩類曲線積分之間的聯(lián)系也可用向量的形式表達