二重積分的概念與性質(zhì)

二重積分的概念與性質(zhì)一、二重積分的概念引例1設(shè)f(x,y)為定義在閉區(qū)域D上的非負(fù)連續(xù)函數(shù).以曲面z=f(x,y)為頂，D為底的柱體稱為曲頂柱體（見圖9-1）.下面討論如何計(jì)算曲頂柱體的體積.圖9-1一、二重積分的概念分析分析若函數(shù)z=f(x,y)=常數(shù)，則上述曲頂柱體變?yōu)槠巾斨w，它的體積可用公式體積=底面積×高來計(jì)算.現(xiàn)在曲頂柱體的高是變化的，故不能用上述公式來求體積.回憶一下，求曲邊梯形面積的方法，這里可采用類似的方法來求曲頂柱體的體積，分為下列幾個(gè)步驟：一、二重積分的概念(1)分割將D分成n個(gè)小閉區(qū)域Δσ1,Δσ2,…,Δσn（小區(qū)域的面積也用這些符號表示），相應(yīng)地把曲頂柱體分割成n個(gè)以Δσi為底的小曲頂柱體，每個(gè)小曲頂柱體的體積記為ΔVi(i=1,2,…,n)，則曲頂柱體的體積一、二重積分的概念(2)近似設(shè)λi為小閉區(qū)域Δσi的直徑（一個(gè)閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域上任意兩點(diǎn)距離的最大值），當(dāng)λi很小時(shí)，由于f(x,y)連續(xù)，f(x,y)在同一小閉區(qū)域內(nèi)變化很小，因此可將小曲頂柱體近似看作小平頂柱體，于是可用平頂柱體的體積公式來計(jì)算.在每個(gè)Δσi中任取一點(diǎn)(ξi,ηi)，以f(ξi,ηi)為高而底為Δσi的小曲頂柱體（見圖9-2）的體積為圖9-2一、二重積分的概念

(3)求和這個(gè)曲頂柱體體積(4)取極限設(shè)λ=maxλ1,λ2,…,λn，當(dāng)λ→0時(shí)取上述和的極限，所得的極限便為曲頂柱體的體積V，即一、二重積分的概念引例2設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D,它的面密度為D上的連續(xù)函數(shù)ρ(x,y),這里ρ(x,y)>0.計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.分析若函數(shù)ρ(x,y)=常數(shù)，則薄片的質(zhì)量可用公式質(zhì)量=面密度×面積來計(jì)算.現(xiàn)在面密度ρ(x,y)是變化的，故不能用上述公式來求.這時(shí)仍可采用處理曲頂柱體體積的方法來求薄片的質(zhì)量.分為下列幾個(gè)步驟：一、二重積分的概念(1)分割將D分成n個(gè)小閉區(qū)域Δσ1,Δσ2,…,Δσn（小區(qū)域的面積也用這些符號表示），第i個(gè)小塊的質(zhì)量記為ΔMi(i=1,2,…,n)，則平面薄片的質(zhì)量一、二重積分的概念(2)近似設(shè)λi為小閉區(qū)域Δσi的直徑，當(dāng)λi很小時(shí)，由于ρ(x,y)連續(xù)，ρ(x,y)在同一小閉區(qū)域內(nèi)變化很小，因此這些小塊就可以近似地看作均勻分布的.在每個(gè)Δσi中任取一點(diǎn)(ξi,ηi)（見圖9-3）,則圖9-3一、二重積分的概念(3)求和平面薄片的質(zhì)量(4)取極限設(shè)λ=maxλ1,λ2,…,λn，當(dāng)λ→0時(shí)取上述和的極限，所得的極限便為平面薄片的質(zhì)量M，即上面兩個(gè)實(shí)例的實(shí)際意義雖然不同，但解決問題的方法具有共性，最后都?xì)w結(jié)為同一形式的和的極限，把這種和式的極限抽象為二元函數(shù)在平面閉區(qū)域D上二重積分的定義.一、二重積分的概念定義設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù).將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域

Δσ1,Δσ2,…,Δσn,其中Δσi表示第i個(gè)小閉區(qū)域,也表示它的面積.在每個(gè)Δσi上任取一點(diǎn)(ξi,ηi),作和一、二重積分的概念如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值λ趨于零時(shí),這和的極限總存在,則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分,記為即其中f(x,y)稱為被積函數(shù)，f(x,y)dσ稱為被積表達(dá)式,dσ稱為面積元素,x與y稱為積分變量,D稱為積分區(qū)域，稱為積分和.一、二重積分的概念函數(shù)f(x,y)在D上的二重積分存在時(shí)，稱f(x,y)在D上可積.由二重積分定義知，若f(x，y)在有界閉區(qū)域D上可積，則對于任何分割，只要當(dāng)λ趨于零，的極限存在.因此為了計(jì)算方便，常選一些特殊的分割方法，如在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分D,那么除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外,其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域.設(shè)矩形閉區(qū)域Δσi的邊長為Δxk和Δyj,則Δσi=ΔxkΔyj,因此在直角坐標(biāo)系中,有時(shí)也把面積元素dσ記為dxdy,稱dxdy為直角坐標(biāo)系中的面積元素,故在直角坐標(biāo)系中，一、二重積分的概念

由二重積分的定義知，曲頂柱體的體積V是f(x,y)在底區(qū)域D上的二重積分平面薄片的質(zhì)量M是面密度ρx,y在區(qū)域D上的二重積分一、二重積分的概念一般地，當(dāng)f(x,y)≥0時(shí)，表示以D為底，z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積；當(dāng)f(x,y)≤0時(shí)，表示以D為底，z=f(x,y)為頂?shù)那斨w體積的負(fù)值；如果f(x,y)在D的某些部分上是正的，而在另外的部分上是負(fù)的，那么f(x,y)在D上的二重積分就等于這些部分區(qū)域上的曲頂柱體體積的代數(shù)和．這就是二重積分的幾何意義.一、二重積分的概念當(dāng)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí)，f(x,y)在D上的二重積分必定存在，本章所討論的被積函數(shù)都假定在積分區(qū)域D上連續(xù).注意二、二重積分的性質(zhì)

二重積分與定積分有類似的性質(zhì).假設(shè)下面所出現(xiàn)的積分是存在的.二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)c1,c2為常數(shù),則性質(zhì)2若閉區(qū)域D分為兩個(gè)閉區(qū)域D1與D2，則二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)3

(σ為D的面積）.性質(zhì)4若在D上，f(x,y)≤g(x,y),則有不等式特別地,有二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)5設(shè)M,m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值,σ為D的面積,則有性質(zhì)6

(二重積分的中值定理）設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),σ為D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)(ξ,η)使得二、二重積分的性質(zhì)證明因?yàn)閒(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(x,y)在閉區(qū)域D上一定存在最大值M和最小值m，由性質(zhì)5，得即,根據(jù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的介值定理，在D上至少存在一點(diǎn)ξ,η使得函數(shù)在該點(diǎn)的值與這個(gè)確定的數(shù)值相等，即從而二、二重積分的性質(zhì)估計(jì)的值，其中解因?yàn)樗杂枝?π×22=4π，故【例1】二、二重積分的性質(zhì)比較積分