【創(chuàng)新設(shè)計】2021年高考數(shù)學(xué)(四川專用-理)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破：第8篇-第3講-圓的方程

第3講圓的方程[最新考綱]1．把握確定圓的幾何要素，把握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程．2．初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題.知識梳理1．圓的定義和圓的方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要條件：D2＋E2－4F圓心坐標(biāo)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)確定方法：比較點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系．(2)三種關(guān)系：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0)．①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點(diǎn)在圓上；②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?點(diǎn)在圓外；③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?點(diǎn)在圓內(nèi)．辨析感悟1．對圓的方程的理解(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(√)(2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓．(×)(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓．(×(4)(2021·江西卷改編)若圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)(4,0)且與直線y＝1相切，則圓C的方程是(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))2＝eq\f(25,4). (√)2．對點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的生疏(5)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(√)(6)已知圓的方程為x2＋y2－2y＝0，過點(diǎn)A(1,2)作該圓的切線只有一條．(×)[感悟·提升]1．一共性質(zhì)圓心在任一弦的中垂線上，如(4)中可設(shè)圓心為(2，b)．2．三個防范一是含字母的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中留意字母的正負(fù)號，如(2)中半徑應(yīng)為|a|；二是留意一個二元二次方程表示圓時的充要條件，如(3)；三是過肯定點(diǎn)，求圓的切線時，首先推斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．若點(diǎn)在圓外，有兩個結(jié)果，若只求出一個，應(yīng)當(dāng)考慮切線斜率不存在的狀況，如(6).考點(diǎn)一求圓的方程【例1】依據(jù)下列條件，求圓的方程．(1)求過P(4，－2)，Q(－1,3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長為4eq\r(3)的圓的方程．(2)已知圓的半徑為eq\r(10)，圓心在直線y＝2x上，圓被直線x－y＝0截得的弦長為4eq\r(2).解(1)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．將P，Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入①得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4D－2E＋F＝－20，②,D－3E－F＝10，③))令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0.④由已知|y1－y2|＝4eq\r(3)，其中y1，y2是方程④的兩根，所以(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.解②、③、⑤組成的方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝0，,F＝－12))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－10，,E＝－8，,F＝4.))故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.(2)法一設(shè)圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝10.由圓心在直線y＝2x上，得b＝2a.由圓在直線x－y＝0上截得的弦長為4eq\r(2)，將y＝x代入(x－a)2＋(y－b)2＝10，整理得2x2－2(a＋b)x＋a2＋b2－10＝0.由弦長公式得eq\r(2)eq\r(a＋b2－2a2＋b2－10)＝4eq\r(2)，化簡得a－b＝±2.②解①、②得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.故所求圓的方程為(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.法二依據(jù)圖形的幾何性質(zhì)：半徑、弦長的一半、弦心距構(gòu)成直角三角形．如圖，由勾股定理，可得弦心距d＝eq\r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(2),2)))2)＝eq\r(10－8)＝eq\r(2).又弦心距等于圓心(a，b)到直線x－y＝0的距離，所以d＝eq\f(|a－b|,\r(2))，即eq\f(|a－b|,\r(2))＝eq\r(2).③又已知b＝2a.解③、④得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.故所求圓的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.規(guī)律方法求圓的方程，主要有兩種方法：(1)幾何法：具體過程中要用到學(xué)校有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線．(2)待定系數(shù)法：依據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)當(dāng)有三個獨(dú)立等式．【訓(xùn)練1】(1)(2022·濟(jì)南模擬)若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()．A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x－3)2＋(y－1)2＝1(2)已知圓C經(jīng)過A(5,1)，B(1,3)兩點(diǎn)，圓心在x軸上，則C的方程為________．解析(1)由于圓心在第一象限且與x軸相切，故設(shè)圓心為(a,1)，又由圓與直線4x－3y＝0相切，得eq\f(|4a－3|,5)＝1，解得a＝2或－eq\f(1,2)(舍去)．故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.故選A.(2)依題意設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋y2＝r2，將A，B點(diǎn)坐標(biāo)分別代入方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－a2＋1＝r2，,1－a2＋9＝r2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,r2＝10.))所以所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝10.答案(1)A(2)(x－2)2＋y2＝10考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值問題【例2】已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值； (2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值．解原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓．(1)eq\f(y,x)的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.當(dāng)直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3)(如圖1)．所以eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3).(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6)(如圖2)．所以y－x的最大值為－2＋eq\r(6)，最小值為－2－eq\r(6).(3)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何學(xué)問知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個交點(diǎn)處取得最大值和最小值(如圖3)．又圓心到原點(diǎn)的距離為eq\r(2－02＋0－02)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).規(guī)律方法與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型：(1)形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；(2)形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題．【訓(xùn)練2】(2022·金華十校聯(lián)考)已知P是直線l：3x－4y＋11＝0上的動點(diǎn)，PA，PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值是()． A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C.eq\r(3)D．2eq\r(3)解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為C(1,1)，半徑為r＝1，依據(jù)對稱性可知，四邊形PACB的面積為2S△APC＝2×eq\f(1,2)|PA|r＝|PA|＝eq\r(|PC|2－r2)，要使四邊形PACB的面積最小，則只需|PC|最小，最小時為圓心到直線l：3x－4y＋11＝0的距離d＝eq\f(|3－4＋11|,\r(32＋－42))＝eq\f(10,5)＝2.所以四邊形PACB面積的最小值為eq\r(|PC|\o\al(2,min)－r2)＝eq\r(4－1)＝eq\r(3).答案C考點(diǎn)三與圓有關(guān)的軌跡問題【例3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長為2eq\r(2)，在y軸上截得線段長為2eq\r(3).(1)求圓心P的軌跡方程；(2)若P點(diǎn)到直線y＝x的距離為eq\f(\r(2),2)，求圓P的方程．審題路線(1)設(shè)圓心P為(x，y)，半徑為r?由圓的幾何性質(zhì)得方程組?消去r可得點(diǎn)P的軌跡方程．(2)設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)?由點(diǎn)到直線的距離公式可得一方程?點(diǎn)P在第(1)問所求曲線上可得一方程?以上兩方程聯(lián)立可解得P點(diǎn)坐標(biāo)與圓P的半徑?得到圓P的方程．解(1)設(shè)P(x，y)，圓P的半徑為r.由題設(shè)y2＋2＝r2，x2＋3＝r2.從而y2＋2＝x2＋3.故P點(diǎn)的軌跡方程為y2－x2＝1.(2)設(shè)P(x0，y0)，由已知得eq\f(|x0－y0|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).又P在雙曲線y2－x2＝1上，從而得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x0－y0|＝1，,y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0)＝1.))由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝1，,y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0)＝1))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝－1.))此時，圓P半徑r＝eq\r(3).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0－y0＝－1，,y\o\al(2,0)－x\o\al(2,0)＝1))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝1.))此時，圓P的半徑r＝eq\r(3).故圓P的方程為x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.規(guī)律方法求與圓有關(guān)的軌跡方程時，常用以下方法：(1)直接法：依據(jù)題設(shè)條件直接列出方程；(2)定義法：依據(jù)圓的定義寫出方程；(3)幾何法：利用圓的性質(zhì)列方程；(4)代入法：找出要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式．【訓(xùn)練3】已知直角三角形ABC的斜邊為AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直角邊BC中點(diǎn)M的軌跡方程．解(1)法一設(shè)頂點(diǎn)C(x，y)，由于AC⊥BC，且A，B，C三點(diǎn)不共線，所以x≠3且x≠－1.又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，且kAC·kBC＝－1，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化簡得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．法二設(shè)AB中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知，|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2，由圓的定義知，動點(diǎn)C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑長的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn))．所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．(2)設(shè)點(diǎn)M(x，y)，點(diǎn)C(x0，y0)，由于B(3,0)，M是線段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x＝eq\f(x0＋3,2)(x≠3且x≠1)，y＝eq\f(y0＋0,2)，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點(diǎn)C在圓(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上運(yùn)動，將x0，y0代入該方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此動點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．1．確定一個圓的方程，需要三個獨(dú)立條件．“選形式，定參數(shù)”是求圓的方程的基本方法，即依據(jù)題設(shè)條件恰當(dāng)選擇圓的方程的形式，進(jìn)而確定其中的三個參數(shù)，同時留意利用幾何法求圓的方程時，要充分利用圓的性質(zhì)．2．解答圓的問題，應(yīng)留意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)，簡化運(yùn)算．3．求圓的方程時，一般考慮待定系數(shù)法，但假如能借助圓的一些幾何性質(zhì)進(jìn)行解題，不僅能使解題思路簡化，而且還能削減計算量．如弦長問題，可借助垂徑定理構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解題．方法優(yōu)化7——利用幾何性質(zhì)巧設(shè)方程求半徑【典例】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y＝x2－6x＋1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上，求圓C的方程．[一般解法](代數(shù)法)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，與x軸交點(diǎn)是(3＋2eq\r(2)，0)，(3－2eq\r(2)，0)，設(shè)圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋E＋F＝0，,3＋2\r(2)2＋D3＋2\r(2)＋F＝0，,3－2\r(2)2＋D3－2\r(2)＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－6，,E＝－2，,F＝1，))故圓的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0.[美麗?解法](幾何法)曲線y＝x2－6x＋1與y軸的交點(diǎn)為(0,1)，與x軸的交點(diǎn)為(3＋2eq\r(2)，0)，(3－2eq\r(2)，0)．故可設(shè)C的圓心為(3，t)，則有32＋(t－1)2＝(2eq\r(2))2＋t2，解得t＝1.則圓C的半徑為eq\r(32＋t－12)＝3，所以圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9.[反思感悟]一般解法(代數(shù)法)：可以求出曲線y＝x2－6x＋1與坐標(biāo)軸的三個交點(diǎn)，設(shè)圓的方程為一般式，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求解析式．美麗?解法(幾何法)：利用圓的性質(zhì)，知道圓心肯定在圓上兩點(diǎn)連線的垂直平分線上，從而設(shè)圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式，簡化計算．明顯幾何法比代數(shù)法的計算量小，因此平常訓(xùn)練多接受幾何法解題．【自主體驗(yàn)】1．圓C的半徑為1，圓心在第一象限，與y軸相切，與x軸相交于 點(diǎn)A，B，若|AB|＝eq\r(3)，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________．解析依據(jù)|AB|＝eq\r(3)，可得圓心到x軸的距離為eq\f(1,2)，故圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝1. 答案(x－1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝12．已知圓C的圓心與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)關(guān)于直線y＝x對稱，直線4x－3y－2＝0與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝6，則圓C的方程為________．解析設(shè)所求圓的半徑是r，依題意得，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(1,0)，則圓C的圓心坐標(biāo)是(0,1)，圓心到直線4x－3y－2＝0的距離d＝eq\f(|4×0－3×1－2|,\r(42＋－32))＝1，則r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＝10，因此圓C的方程是x2＋(y－1)2＝10.答案x2＋(y－1)2＝10基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(2022·長春模擬)已知點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是()．A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝eq\r(2)C．x2＋y2＝1D．x2＋y2＝4解析AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，|AB|＝eq\r([1－－1]2＋－1－12)＝2eq\r(2)，∴圓的方程為x2＋y2＝2.答案A2．若圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心位于第三象限，那么直線x＋ay＋b＝0肯定不經(jīng)過()．A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，－\f(3,2)b))，則a＜0，b＞0.直線y＝－eq\f(1,a)x－eq\f(b,a)，k＝－eq\f(1,a)＞0，－eq\f(b,a)＞0，直線不經(jīng)過第四象限．答案D3．(2022·銀川模擬)圓心在y軸上且過點(diǎn)(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是()．A．x2＋y2＋10y＝0B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0D．x2＋y2－10x＝0解析設(shè)圓心為(0，b)，半徑為r，則r＝|b|，∴圓的方程為x2＋(y－b)2＝b2，∵點(diǎn)(3,1)在圓上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5，∴圓的方程為x2＋y2－10y＝0.答案B4．兩條直線y＝x＋2a，y＝2x＋a的交點(diǎn)P在圓(x－1)2＋(y－1)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)aA.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，1))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,5)))∪(1，＋∞)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,5)，1))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,5)))∪[1，＋∞)解析聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2a，,y＝2x＋a，))解得P(a,3a)，∴(a－1)2＋(3a－1)2＜4，∴－eq\f(1,5)＜a＜1，故應(yīng)選A.答案A5．(2022·東營模擬)點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()．A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1解析設(shè)圓上任一點(diǎn)為Q(x0，y0)，PQ的中點(diǎn)為M(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4＋x0,2)，,y＝\f(－2＋y0,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2.))由于點(diǎn)Q在圓x2＋y2＝4上，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化簡得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案A二、填空題6．已知點(diǎn)M(1,0)是圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內(nèi)的一點(diǎn)，那么過點(diǎn)M的最短弦所在直線的方程是________．解析過點(diǎn)M的最短弦與CM垂直，圓C：x2＋y2－4x－2y＝0的圓心為C(2,1)，∵kCM＝eq\f(1－0,2－1)＝1，∴最短弦所在直線的方程為y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.答案x＋y－1＝07．(2022·南京調(diào)研)已知直線l：x－y＋4＝0與圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，則圓C上各點(diǎn)到l的距離的最小值為______．解析由題意得C上各點(diǎn)到直線l的距離的最小值等于圓心(1,1)到直線l的距離減去半徑，即eq\f(|1－1＋4|,\r(2))－eq\r(2)＝eq\r(2).答案eq\r(2)8．若圓x2＋(y－1)2＝1上任意一點(diǎn)(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析據(jù)題意圓x2＋(y－1)2＝1上全部的點(diǎn)都在直線x＋y＋m＝0的右上方，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋m≥0，,\f(|1＋m|,\r(2))≥1.))解得m≥－1＋eq\r(2).故m的取值范圍是[－1＋eq\r(2)，＋∞)．答案[－1＋eq\r(2)，＋∞)三、解答題9．求適合下列條件的圓的方程：(1)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)；(2)過三點(diǎn)A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．解(1)法一設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－4a，,3－a2＋－2－b2＝r2，,\f(|a＋b－1|,\r(2))＝r，))解得a＝1，b＝－4，r＝2eq\r(2).∴圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.法二過切點(diǎn)且與x＋y－1＝0垂直的直線為y＋2＝x－3，與y＝－4x聯(lián)立可求得圓心為(1，－4)．∴半徑r＝eq\r(1－32＋－4＋22)＝2eq\r(2)，∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(2)法一設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋144＋D＋12E＋F＝0，,49＋100＋7D＋10E＋F＝0，,81＋4－9D＋2E＋F＝0.))解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－95.∴所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－95＝0.法二由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,11)，kAB＝－eq\f(1,3)，則AB的垂直平分線方程為3x－y－1＝0.同理得AC的垂直平分線方程為x＋y－3＝0.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－1＝0，,x＋y－3＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))即圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑r＝eq\r(1－12＋2－122)＝10.∴所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝100.10．設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動，以O(shè)M，ON為鄰邊作平行四邊形MONP，求點(diǎn)P的軌跡．解如圖所示，設(shè)P(x，y)，N(x0，y0)，則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).由于平行四邊形的對角線相互平分，故eq\f(x,2)＝eq\f(x0－3,2)，eq\f(y,2)＝eq\f(y0＋4,2).從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3，,y0＝y(tǒng)－4.))N(x＋3，y－4)在圓上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求軌跡為圓：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但應(yīng)除去兩點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5)))(點(diǎn)P在直線OM上時的狀況)．力量提升題組(建議用時：25分鐘)一、選擇題1．(2022·東莞調(diào)研)已知圓C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線x－y＋3＝0對稱，則實(shí)數(shù)m的值為()．A．8B．－4C．6D．無法確定解析圓上存在關(guān)于直線x－y＋3＝0對稱的兩點(diǎn)，則x－y＋3＝0過圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，0))，即－eq\f(m,2)＋3＝0，∴m＝6.答案C2．(2022·煙臺二模)已知拋物線y2＝2px(p＞0)上一點(diǎn)M(1，m)(m＞0)到其焦點(diǎn)F的距離為5，則以M為圓心且與y軸相切的圓的方程為()．A．(x－1)2＋(y－4)2＝1B．(x－1)2＋(y＋4)2＝1C．(x－1)2＋(y－4)2＝16D．(x－1)2＋(y＋4)2＝16解析拋物線的焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，所以|MF|＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)))＝5，解得p＝8，即拋物線方程為y2＝16x，又m2＝16，m＞0，所以m＝4，即M(1,4)，所以半徑為1，所以圓的方程為(x－1)2＋(