【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(北師大版)選修2-3教案：第1章-拓展資料：排列組合易錯題分析

高中數(shù)學排列組合易錯題分析排列組合問題類型繁多、方法豐富、富于變化，稍不留意，極易出錯.本文選擇一些在教學中同學常見的錯誤進行正誤會析，以饗讀者.1沒有理解兩個基本原理出錯排列組合問題基于兩個基本計數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提.例1（1995年上海高考題）從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺,其中至少有原裝與組裝計算機各兩臺,則不同的取法有種.誤會：由于可以取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機，所以只有2種取法.錯因分析：誤會的緣由在于沒有意識到“選取2臺原裝與3臺組裝計算機或是3臺原裝與2臺組裝計算機”是完成任務的兩“類”方法，每類方法中都還有不同的取法.正解：由分析，完成第一類方法還可以分成兩步：第一步在原裝計算機中任意選取2臺，有種方法；其次步是在組裝計算機任意選取3臺，有種方法，據(jù)乘法原理共有種方法.同理，完成其次類方法中有種方法.據(jù)加法原理完成全部的選取過程共有種方法.例2在一次運動會上有四項競賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠狀況共有（）種.（A）

（B）

（C）

（D）誤會：把四個冠軍，排在甲、乙、丙三個位置上，選A.錯因分析：誤會是沒有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.正解：四項競賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有種.說明：本題還有同學這樣誤會，甲乙丙奪冠均有四種狀況，由乘法原理得.這是由于沒有考慮到某項冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有4種奪冠可能.2推斷不出是排列還是組合出錯在推斷一個問題是排列還是組合問題時，主要看元素的組成有沒有挨次性，有挨次的是排列，無挨次的是組合.例3有大小外形相同的3個紅色小球和5個白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？誤會：由于是8個小球的全排列，所以共有種方法.錯因分析：誤會中沒有考慮3個紅色小球是完全相同的，5個白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法.正解：8個小球排好后對應著8個位置，題中的排法相當于在8個位置中選出3個位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3個紅球完全相同，所以沒有挨次，是組合問題.這樣共有：排法.3重復計算出錯在排列組合中常會遇到元素支配問題、平均分組問題等，這些問題要留意避開重復計數(shù)，產(chǎn)生錯誤。例4（2002年北京文科高考題）5本不同的書全部分給4個同學，每個同學至少一本，不同的分法種數(shù)為（）（A）480

種

（B）240種

（C）120種

（D）96種誤會：先從5本書中取4本分給4個人，有種方法，剩下的1本書可以給任意一個人有4種分法，共有種不同的分法，選A.錯因分析：設5本書為a、b、c、d、e，四個人為甲、乙、丙、丁.依據(jù)上述分法可能如下的表1和表2：乙丙丁甲表1乙丙丁甲表2表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最終一本書e給甲的狀況；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、丁分得d，最終一本書a給甲的狀況.這兩種狀況是完全相同的，而在誤會中計算成了不同的狀況。正好重復了一次.正解：首先把5本書轉化成4本書，然后分給4個人.第一步：從5本書中任意取出2本捆綁成一本書，有種方法；其次步：再把4本書分給4個同學，有種方法.由乘法原理，共有種方法，故選B.例5某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天支配一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）種.（A）5040

（B）1260

（C）210

（D）630誤會：第一個人先選擇2天，其次個人再選擇2天，剩下的3天給第三個人，這三個人再進行全排列.共有：，選B.錯因分析：這里是均勻分組問題.比如：第一人選擇的是周一、周二，其次人選擇的是周三、周四；也可能是第一個人選擇的是周三、周四，其次人選擇的是周一、周二，所以在全排列的過程中就重復計算了.正解：種.4遺漏計算出錯在排列組合問題中還可能由于考慮問題不夠全面，由于遺漏某些狀況，而出錯。例6用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復數(shù)字的比1000大的奇數(shù)共有（）（A）36個

（B）48個

（C）66個

（D）72個01，3誤會：如右圖，最終一位只能是1或3有兩種取法，又由于第1位不能是0，在最終一位取定后只有3種取法，剩下3個數(shù)排中間兩個位置有種排法，共有個.錯因分析：誤會只考慮了四位數(shù)的狀況，而比1000大的奇數(shù)還可能是五位數(shù).正解：任一個五位的奇數(shù)都符合要求，共有個，再由前面分析四位數(shù)個數(shù)和五位數(shù)個數(shù)之和共有72個，選D.5忽視題設條件出錯在解決排列組合問題時確定要留意題目中的每一句話甚至每一個字和符號，不然就可能多解或者漏解.13254例13254地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種.（以數(shù)字作答）誤會：先著色第一區(qū)域，有4種方法，剩下3種顏色涂四個區(qū)域，即有一種顏色涂相對的兩塊區(qū)域，有種，由乘法原理共有：種.錯因分析：據(jù)報道，在高考中有很多考生填了48種.這主要是沒有看清題設“有4種顏色可供選擇”，不愿定需要4種顏色全部使用，用3種也可以完成任務.正解：當使用四種顏色時，由前面的誤會知有48種著色方法；當僅使用三種顏色時：從4種顏色中選取3種有種方法，先著色第一區(qū)域，有3種方法，剩下2種顏色涂四個區(qū)域，只能是一種顏色涂第2、4區(qū)域，另一種顏色涂第3、5區(qū)域，有2種著色方法，由乘法原理有種.綜上共有：種.例8已知是關于x的一元二次方程，其中a、，求解集不同的一元二次方程的個數(shù).誤會：從集合中任意取兩個元素作為a、b，方程有個，當a、b取同一個數(shù)時方程有1個，共有個.錯因分析：誤會中沒有留意到題設中：“求解集不同的……”所以在上述解法中要去掉同解狀況，由于同解、同解，故要減去2個。正解：由分析，共有個解集不同的一元二次方程.6未考慮特殊狀況出錯在排列組合中要特殊留意一些特殊狀況，一有疏漏就會出錯.例9現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（）(A)1024種 (B)1023種 (C)1536種 (D)1535種誤會：由于共有人民幣10張，每張人民幣都有取和不取2種狀況，減去全不取的1種狀況，共有種.錯因分析：這里100元面值比較特殊有兩張，在誤會中被計算成4種狀況，實際上只有不取、取一張和取二張3種狀況.正解：除100元人民幣以外每張均有取和不取2種狀況，100元人民幣的取法有3種狀況，再減去全不取的1種狀況，所以共有種.7題意的理解偏差出錯例10現(xiàn)有8個人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（）種.（A）

（B）

（C）

（D）誤會：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有種排法，5人排好后產(chǎn)生6個空檔，插入甲、乙、丙三人有種方法，這樣共有種排法，選A.錯因分析：誤會中沒有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得到的結果是“甲、乙、丙三人互不相鄰”的狀況.“甲、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三人不能同時相鄰，但允許其中有兩人相鄰.正解：在8個人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù)，即，故選B.8解題策略的選擇不當出錯有些排列組合問題用直接法或分類爭辯比較困難，要實行適當?shù)慕鉀Q策略，如間接法、插入法、捆綁法、概率法等，有助于問題的解決.例10高三班級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必需有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的支配方案有（）.（A）16種（B）18種（C）37種（D）48種誤會：甲工廠先派一個班去，有3種選派方法，剩下的2個班均有4種選擇，這樣共有種方案.錯因分析：明顯這里有重復計算.如：a班先派去了甲工廠，b班選擇時也去了甲工廠，這