【高考解碼】2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)(新課標(biāo))-排列、組合與二項(xiàng)式定理

第16講(理)排列、組合與二項(xiàng)式定理1．(2022·湖南高考)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－2y))5的開(kāi)放式中x2y3的系數(shù)是()A．－20B．－5C．5D．20【解析】依據(jù)二項(xiàng)開(kāi)放式的通項(xiàng)公式求解．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－2y))5開(kāi)放式的通項(xiàng)公式為T(mén)r＋1＝Ceq\o\al(r,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))5－r·(－2y)r＝Ceq\o\al(r,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5－r·(－2)r·x5－r·yr.當(dāng)r＝3時(shí)，Ceq\o\al(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2·(－2)3＝－20.【答案】A2．(2022·遼寧高考)6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A．144B．120C．72D．24【解析】3人中每?jī)扇酥g恰有一個(gè)空座位，有Aeq\o\al(3,3)×2＝12種坐法，3人中某兩人之間有兩個(gè)空座位，有Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,2)＝12種坐法，所以共有12＋12＝24種坐法．【答案】D3．(2021·江西高考)(x2－eq\f(2,x3))5開(kāi)放式中的常數(shù)項(xiàng)為()A．80B．－80C．40D．－40【解析】依據(jù)二項(xiàng)開(kāi)放式的通項(xiàng)公式求解．設(shè)開(kāi)放式的第r＋1項(xiàng)為T(mén)r＋1＝Ceq\o\al(r,5)·(x2)5－r·(－eq\f(2,x3))r＝Ceq\o\al(r,5)·x10－2r·(－2)r·x－3r＝Ceq\o\al(r,5)·(－2)r·x10－5r.若第r＋1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則10－5r＝0，得r＝2，即常數(shù)項(xiàng)T3＝Ceq\o\al(2,5)(－2)2＝40.【答案】C4．(2022·全國(guó)大綱高考)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有()A．60種B．70種C．75種D．150種【解析】從6名男醫(yī)生任選2名有Ceq\o\al(2,6)種，從5名女醫(yī)生任選1名有Ceq\o\al(1,5)種，∴共有Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,5)＝75.【答案】C5．(2022·全國(guó)新課標(biāo)高考)(x＋a)10的開(kāi)放式中，x7的余數(shù)為15，則a＝________.(用數(shù)字填寫(xiě)答案)【解析】利用二項(xiàng)開(kāi)放式的通項(xiàng)公式．設(shè)通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝Ceq\o\al(r,10)x10－rar，令10－r＝7，∴r＝3，∴x7的系數(shù)為Ceq\o\al(3,10)a3＝15，∴a3＝eq\f(1,8)，∴a＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)從近三年高考來(lái)看，該部分高考命題的熱點(diǎn)考向?yàn)椋?．利用分類(lèi)加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)①分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是排列、組合的基礎(chǔ)．在解題的過(guò)程中，要正確使用這兩個(gè)原理，一般是先分類(lèi)，后分步，分類(lèi)時(shí)要明確標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏；分步要留意各步間的連續(xù)性．②從近兩年的高考試題看，兩個(gè)計(jì)數(shù)原理在高考中單獨(dú)命題較少，一般與排列組合問(wèn)題相結(jié)合，多為選擇題、填空題．重點(diǎn)考查同學(xué)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的力量及分類(lèi)爭(zhēng)辯思想的應(yīng)用，屬中檔題．2．排列、組合問(wèn)題①在高考題中可單獨(dú)考查，也可與古典概型結(jié)合起來(lái)考查．常與兩個(gè)計(jì)數(shù)原理交匯命題，是各省市高考的熱點(diǎn)．②以選擇、填空題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題或較難題目．3．二項(xiàng)式定理①主要考查二項(xiàng)開(kāi)放式的指定項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)的系數(shù)，常與組合數(shù)、冪的運(yùn)算等交匯命題．②均以小題形式消滅，屬簡(jiǎn)潔題或中檔題.利用分類(lèi)加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)【例1】(1)(2022·福建高考)用a代表紅球，b代表藍(lán)球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的全部取法可由(1＋a)(1＋b)的開(kāi)放式1＋a＋b＋ab表示出來(lái)，如：“1”表示一個(gè)球都不取、“a”表示取出一個(gè)紅球、而“ab”則表示把紅球和藍(lán)球都取出來(lái)．依此類(lèi)推，下列各式中，其開(kāi)放式可用來(lái)表示從5個(gè)無(wú)區(qū)分的紅球、5個(gè)無(wú)區(qū)分的藍(lán)球、5個(gè)有區(qū)分的黑球中取出若干個(gè)球，且全部的藍(lán)球都取出或都不取出的全部取法的是()A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)(2)(2021·福建高考)滿足a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為()A．14B．13C．12D．10【解析】(1)本題可從題干最終一句入手，“1”表示全部藍(lán)球都不取出，“b5”表示全部藍(lán)球都取出，所以含有因式(1＋b5)，排解B，C，D選項(xiàng)，故選A.(2)對(duì)a進(jìn)行爭(zhēng)辯，為0與不為0，當(dāng)a不為0時(shí)還需考慮判別式與0的大小．若a＝0，則b＝－1,0,1,2，此時(shí)(a，b)的取值有4個(gè)；若a≠0，則方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)根，需Δ＝4－4ab≥0，∴ab≤1，此時(shí)(a，b)的取值為(－1,0)，(－1,1)，(－1，－1)，(－1,2)，(1,1)，(1,0)，(1，－1)，(2，－1)，(2,0)，共9個(gè)．∴(a，b)的個(gè)數(shù)為4＋9＝13.故選B.【答案】(1)A(2)B【規(guī)律方法】1.“分類(lèi)”與“分步”的區(qū)分：關(guān)鍵是看大事完成狀況，假如每種方法都能將大事完成則是分類(lèi)；假如必需要連續(xù)若干步才能將大事完成則是分步．分類(lèi)要用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理將種數(shù)相加；分步要用分步計(jì)數(shù)原理將種數(shù)相乘．2．對(duì)于較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，一般要分類(lèi)爭(zhēng)辯，此時(shí)要留意分類(lèi)爭(zhēng)辯的對(duì)象和分類(lèi)爭(zhēng)辯的標(biāo)準(zhǔn)．[創(chuàng)新猜測(cè)]1．(1)(2022·河南新鄉(xiāng)一模)方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在全部這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有()A．60條B．62條C．71條D．80條(2)(2022·吉林一條期末)如圖所示，用五種不同的顏色分別給A，B，C，D四個(gè)區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必需涂不同顏色．若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有________種．【解析】(1)利用計(jì)數(shù)原理結(jié)合分類(lèi)爭(zhēng)辯思想求解．當(dāng)a＝1時(shí)，若c＝0，則b2有4,9兩個(gè)取值，共2條拋物線；若c≠0，則c有4種取值，b2有兩種，共有2×4＝8(條)拋物線；當(dāng)a＝2時(shí)，若c＝0，b2取1,4,9三種取值，共有3條拋物線；當(dāng)c≠0，c取1時(shí)，b2有2個(gè)取值，共有2條拋物線，c?。?時(shí)，b2有2個(gè)取值，共有2條拋物線，c取3時(shí)，b2有3個(gè)取值，共有3條拋物線，c?。?時(shí)，b2有3個(gè)取值，共有3條拋物線．∴共有3＋2＋2＋3＋3＝13(條)拋物線．同理，a＝－2，－3,3時(shí)，共有拋物線3×13＝39(條)．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，共有拋物線39＋13＋8＋2＝62(條)．(2)按區(qū)域四步：第一步，A區(qū)域有5種顏色可選；其次步，B區(qū)域有4種顏色可選；第三步，C區(qū)域有3種顏色可選；第四步，D區(qū)域也有3種顏色可選．由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有5×4×3×3＝180(種)不同的涂色方法．【答案】(1)B(2)180eq\a\vs4\al(排列、組合問(wèn)題)【例2】(1)(2022·重慶高考)某次聯(lián)歡會(huì)要支配3個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目、2個(gè)小品類(lèi)節(jié)目和1個(gè)相聲類(lèi)節(jié)目的演出挨次，則同類(lèi)節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A．72B．120C．144D．168(2)在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5張無(wú)獎(jiǎng)．將這8張獎(jiǎng)券安排給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)狀況有________種(用數(shù)字作答)．【解析】(1)依題意，先僅考慮3個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目互不相鄰的排法種數(shù)為Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4)＝144，其中3個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目互不相鄰但2個(gè)小品類(lèi)節(jié)目相鄰的排法種數(shù)為Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝24，因此滿足題意的排法種數(shù)為144－24＝120，選B.(2)不同的獲獎(jiǎng)分兩類(lèi)，一是有一人獲兩張獎(jiǎng)卷，一人獲一張共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4)＝36種，二是有三人各獲一張獎(jiǎng)卷，共有Aeq\o\al(3,4)＝24.因此不同的獲獎(jiǎng)狀況有60種．【答案】(1)B(2)60【規(guī)律方法】解排列組合綜合應(yīng)用題的解題流程：[創(chuàng)新猜測(cè)]2．(1)(2022·北京高考)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種．(2)(2021·山東高考)用0,1，…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．243B．252C．261D．279【解析】(1)①若A在1號(hào)位置則B在2號(hào)位置，有Aeq\o\al(3,3)種排法；又A在5號(hào)位置與1號(hào)位置相同，有Aeq\o\al(3,3)種排法；②若A在2號(hào)位置，則B在1號(hào)或3號(hào)，C在4號(hào)或5號(hào)，有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)×Aeq\o\al(2,2)＝8(種)，又A在4號(hào)與2號(hào)位置相同有8(種)；③若A在3號(hào)位置，則B在2號(hào)或4號(hào)，C在1號(hào)或5號(hào)，有Ceq\o\al(1,2)×Ceq\o\al(1,2)×Aeq\o\al(2,2)＝8(種)，所以共有2×Aeq\o\al(3,3)＋3×8＝12＋24＝36種．(2)有限制條件的排列問(wèn)題，用間接法求解．0,1,2，…，9共能組成9×10×10＝900(個(gè))三位數(shù)，其中無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9×9×8＝648(個(gè))，∴有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900－648＝252(個(gè))．【答案】(1)36(2)Beq\a\vs4\al(二項(xiàng)式定理)【例3】(1)(2022·安徽高考)設(shè)a≠0，n是大于1的自然數(shù)，(1＋eq\f(x,a))n的開(kāi)放式為a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若點(diǎn)Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如圖所示，則a＝________.(2)(2022·浙江考試院抽測(cè))若二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,\r(3,x))))n的開(kāi)放式中的常數(shù)項(xiàng)是80，則該開(kāi)放式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于________．【解析】(1)由題圖知，a0＝1，a1＝3，a2＝4，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3＝C\o\al(1,n)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))1，,a2＝4＝C\o\al(2,n)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝n·\f(1,a)，,4＝\f(nn－1,2a2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝9，,a＝3，))∴a＝3.(2)對(duì)于Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(eq\r(x))n－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(3,x))))r＝Ceq\o\al(r,n)2rxeq\f(n－r,2)－eq\f(r,3)，當(dāng)r＝eq\f(3,5)n時(shí)開(kāi)放式為常數(shù)項(xiàng)，因此n為5的倍數(shù)，不妨設(shè)n＝5m，則有r＝3m，則23mCeq\o\al(3m,5m)＝8mCeq\o\al(3m,5m)＝80，因此m＝1，則該開(kāi)放式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于2n＝25＝32.【答案】(1)3(2)32【規(guī)律方法】解答關(guān)于二項(xiàng)式定理問(wèn)題的“五種”方法：(1)待定項(xiàng)或其系數(shù)等常規(guī)問(wèn)題通項(xiàng)分析法．(2)系數(shù)和差型賦值法．(3)近似問(wèn)題截項(xiàng)法．(4)整除(或余數(shù))問(wèn)題開(kāi)放法．(4)最值問(wèn)題不等式法．[創(chuàng)新猜測(cè)]3．(1)(2022·遼寧五校聯(lián)考)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(2,x2)))n開(kāi)放式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則開(kāi)放式的常數(shù)項(xiàng)是()A．360B．180C．90D．45(2)(2022·鄭州第一次質(zhì)量猜測(cè))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax＋\f(\r(3),6)))6的開(kāi)放式的其次項(xiàng)的系數(shù)為－eq\r(3)，則eq\i\in(－2,－a,)x2dx的值為()A．3B.eq\f(7,3)C．3或eq\f(7,3)D．3或－eq\f(10,3)【解析】(1)開(kāi)放式中只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則開(kāi)放式總共11項(xiàng)，所以n＝10，通項(xiàng)公式為T(mén)r＋1＝Ceq\o\al(r,10)·(eq\r(x))10－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2)))r＝Ceq\o\al(r,10)2rx5－eq\f(5,2)r，所以r＝2時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為180.(2)將二項(xiàng)開(kāi)放式的其次項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(1,6)eq\f(\r(3),6)a5，由Ceq\o\al(1,6)eq\f(\r(3),6)·a5＝－eq\r(3)，解得a＝－1，因此eq\i\in(,0,)－2x2dx＝eq\i\in(－2,－1,)x2dx＝eq\f(x3,3)eq\o\al(－1,－2)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(8,3)＝eq\f(7,3).【答案】(1)B(2)B[總結(jié)提升]失分盲點(diǎn)1．(1)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)不明確，有重復(fù)或遺漏．(2)混淆排列問(wèn)題與組合問(wèn)題的差異．(3)對(duì)于較簡(jiǎn)單的排列組合問(wèn)題，不能分成若干個(gè)簡(jiǎn)潔的基本問(wèn)題后用兩種計(jì)數(shù)原理來(lái)解決．2．(1)混淆了開(kāi)放式中某項(xiàng)的系數(shù)與某項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)分．(2)在求開(kāi)放式的各項(xiàng)系數(shù)之和時(shí)，忽視了賦值法的應(yīng)用．(3)在解決整除性問(wèn)題和余數(shù)問(wèn)題時(shí)不能合理地構(gòu)造二項(xiàng)式．答題指導(dǎo)1．(1)看到排列組合問(wèn)題，想到排列數(shù)和組合數(shù)公式及性質(zhì)，想到解決排列組合問(wèn)題的主要方法．(2)看到較簡(jiǎn)單的排列組合問(wèn)題，想到分成若干個(gè)簡(jiǎn)潔問(wèn)題后用兩種計(jì)數(shù)原理來(lái)解決．2．(1)看到開(kāi)放式中求二項(xiàng)式系數(shù)或項(xiàng)的系數(shù)，想到二項(xiàng)開(kāi)放式的通項(xiàng)，運(yùn)用方程思想進(jìn)行求值．(2)看到求開(kāi)放式的各項(xiàng)系數(shù)之和，想到用賦值法來(lái)解決．方法規(guī)律1．解決排列類(lèi)問(wèn)題的主要方法：(1)直接法．(2)特殊元素有限支配法．(3)捆綁法．(4)插空法．(5)分排問(wèn)題直排處理法．(6)“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中先集體后局部的處理方法．(7)定序問(wèn)題除序處理法．2．求二項(xiàng)開(kāi)放式中的項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)的方法：(1)開(kāi)放式中常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)的特征是通項(xiàng)中未知數(shù)的指數(shù)分別為零和整數(shù)．解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，先要合并通項(xiàng)式中同一字母的指數(shù)，再依據(jù)上述特征進(jìn)行分析．(2)求二項(xiàng)開(kāi)放式中的項(xiàng)、系數(shù)、參數(shù)值或取值范圍等，一般要利用通項(xiàng)公式，運(yùn)用方程思想進(jìn)行求值，通過(guò)解不等式(組)求取值范圍.實(shí)際問(wèn)題中數(shù)學(xué)模型的建立1．抽象概括力量是數(shù)學(xué)的思維力量，它是數(shù)學(xué)力量的核心力量之一，其主要特征是擅長(zhǎng)在特殊中發(fā)覺(jué)一般規(guī)律、在一般中發(fā)覺(jué)差異，能夠在不同的問(wèn)題之間建立聯(lián)系，找出問(wèn)題的核心和本質(zhì)，擺脫次