【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(北師大版)基礎(chǔ)鞏固：第8章-第1節(jié)-簡(jiǎn)單幾何體及其三視圖和直觀圖

第八章第一節(jié)一、選擇題1．(2022·江西高考)一幾何體的直觀圖如下圖，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是()[答案]B[解析]本題考查三視圖．由俯視圖的概念可知選B．2.右圖是長(zhǎng)和寬分別相等的兩個(gè)矩形．給定下列三個(gè)命題：①存在三棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖；②存在四棱柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖；③存在圓柱，其正(主)視圖、俯視圖如右圖．其中真命題的個(gè)數(shù)是()A．3 B．2C．1 D．0[答案]A[解析]本題主要考查三視圖及空間想象力氣．對(duì)于①，存在這樣的三棱柱，如圖三棱柱，對(duì)于②，存在這樣的四棱柱，如長(zhǎng)方體，對(duì)于③，存在這樣的圓柱，如把圓柱橫向放置即可，故選A．3．一個(gè)幾何體的三視圖外形都相同、大小均相等，那么這個(gè)幾何體不行以是()A．球 B．三棱錐C．正方體 D．圓柱[答案]D[解析]本題考查了幾何體的三視圖，在這四個(gè)幾何體中，圓柱的三視圖必定是不同的，三視圖的定義是三個(gè)方向上的正投影．4．下列命題中，成立的是()A．各個(gè)面都是三角形的多面體確定是棱錐B．四周體確定是三棱錐C．棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，該棱錐確定是正棱錐D．底面多邊形既有外接圓又有內(nèi)切圓，且側(cè)棱相等的棱錐確定是正棱錐[分析]結(jié)合棱錐、正棱錐的概念逐一進(jìn)行考查．[答案]B[解析]A是錯(cuò)誤的，只要將底面全等的兩個(gè)棱錐的底面重合在一起，所得多面體的每個(gè)面都是三角形，但這個(gè)多面體不是棱錐；B是正確的，三個(gè)面共頂點(diǎn)，另有三邊圍成三角形是四周體也必定是個(gè)三棱錐；對(duì)于C，如圖所示，棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，但該棱錐不是正棱錐；D也是錯(cuò)誤的，底面多邊形既有內(nèi)切圓又有外接圓，假如不同心，則不是正多邊形，因此不是正棱錐．[點(diǎn)評(píng)]本題考查棱錐、正棱錐的概念以及四周體與三棱錐的等價(jià)性，當(dāng)三棱錐的棱長(zhǎng)都相等時(shí)，這樣的三棱錐叫正四周體．推斷一個(gè)命題為真命題要考慮全面，應(yīng)特殊留意一些特殊狀況．5．(2022·新課標(biāo)Ⅰ)如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是()A．三棱錐 B．三棱柱C．四棱錐 D．四棱柱[答案]B[解析]本題考查三視圖由三視圖學(xué)問(wèn)幾何體是三棱柱，留意是平放的三棱柱．6.右圖為水平放置的正方形ABCO，它在直角坐標(biāo)系xOy中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,2)，則在用斜二測(cè)畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點(diǎn)B′到x′軸的距離為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．1 D．eq\r(2)[答案]B[解析]如圖，在平面直觀圖中，B′C′＝1，∠B′C′D′＝45°，∴B′D′＝eq\f(\r(2),2).二、填空題7．利用斜二測(cè)畫法得到的：①三角形的直觀圖確定是三角形；②正方形的直觀圖確定是菱形；③等腰梯形的直觀圖可以是平行四邊形；④菱形的直觀圖確定是菱形．以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是________．[答案]1[解析]由斜二測(cè)畫法的規(guī)章可知①正確；②錯(cuò)誤，是一般的平行四邊形；③錯(cuò)誤，等腰梯形的直觀圖不行能是平行四邊形；而菱形的直觀圖也不愿定是菱形，④也錯(cuò)誤．8．如圖所示，E、F分別是正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的正投影可能是________．(要求：把可能的圖的序號(hào)都填上[答案]②③[解析]由正投影的定義，四邊形BFD1E在面AA1D1D與面BB1C1C上的正投影是圖③；其在面ABB1A1與面DCC1D1上的正投影是圖②；其在面ABCD與面A1B1C1D1上的正投影也是9．如圖，點(diǎn)O為正方體ABCD－A′B′C′D′的中心，點(diǎn)E為面B′BCC′的中心，點(diǎn)F為B′C′的中點(diǎn)，則空間四邊形D′OEF在該正方體的各個(gè)面上的投影可能是________(填出全部可能的序號(hào))．[答案]①②③[解析]空間四邊形D′OEF在正方體的面DCC′D′上的投影是①；在面BCC′B′上的投影是②；在面ABCD上的投影是③，故填①②③.三、解答題10．右圖為一簡(jiǎn)潔組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.(1)畫出該幾何體的三視圖；(2)求四棱錐B－CEPD的體積．[解析](1)如圖所示：(2)∵PD⊥平面ABCD，PD平面PDCE，∴平面PDCE⊥平面ABCD．∵BC⊥CD，∴BC⊥平面PDCE.∵S梯形PDCE＝eq\f(1,2)(PD＋EC)·DC＝eq\f(1,2)×3×2＝3，∴四棱錐B－CEPD的體積VB－CEPD＝eq\f(1,3)S梯形PDCE·BC＝eq\f(1,3)×3×2＝2.一、選擇題1．將正方體(如圖1所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到圖2所示的幾何體，則該幾何體的左視圖為()[答案]B[解析]本題考查了依據(jù)幾何體的直觀圖來(lái)推斷其三視圖．左視圖為實(shí)線為AD1，虛線為B1C．在畫幾何體的三視圖時(shí)，尤其要留意區(qū)分實(shí)線與虛線．2．已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為()A．eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2C．eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2[分析]先依據(jù)題意畫出直觀圖，然后依據(jù)直觀圖△A′B′C′的邊長(zhǎng)及夾角求解．[答案]D[解析]如圖①、②所示的實(shí)際圖形和直觀圖．由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)A．∴S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.二、填空題3.一個(gè)正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)相等，體積為2eq\r(3)，它的三視圖中的俯視圖如右圖所示，左視圖是一個(gè)矩形，則這個(gè)矩形的面積是________．[答案]2eq\r(3)[解析]本小題考查內(nèi)容為幾何體的三視圖．設(shè)邊長(zhǎng)為a，∴S底面＝eq\f(\r(3),4)a2，∴V＝eq\f(\r(3),4)a3＝2eq\r(3)，∴a＝2，∴俯視圖的高為eq\r(3)，∴S矩形＝2eq\r(3).4．如圖，網(wǎng)格紙的小正方形的邊長(zhǎng)是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個(gè)多面體最長(zhǎng)的一條棱的長(zhǎng)為_(kāi)_______．[答案]2eq\r(3)[解析]由主視圖和俯視圖可知幾何體是正方體切割后的一部分(四棱錐C1－ABCD)，還原在正方體中，如圖所示．多面體最長(zhǎng)的一條棱即為正方體的體對(duì)角線，如圖即AC1.由正方體棱長(zhǎng)AB＝2知最長(zhǎng)棱AC1的長(zhǎng)為2eq\r(3).三、解答題5．已知四棱錐P－ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝2AB＝4.(1)依據(jù)已經(jīng)給出的此四棱錐的主視圖，畫出其俯視圖和左視圖．(2)證明：平面PAD⊥平面PCD．[解析](1)(2)∵PA⊥平面ABCD，PA平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD．又CD平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD．6．(文)已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖(或稱主視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖(或稱左視圖)是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S.[分析]由三視圖的外形大小，還原成幾何體；再利用體積公式和表面積公式求解．[解析](1)由該幾何體的俯視圖、主視圖、左視圖可知，該幾何體是四棱錐．且四棱錐的底面ABCD是邊長(zhǎng)為6和8的矩形，高VO＝4，O點(diǎn)是AC與BD的交點(diǎn)．∴該幾何體的體積V＝eq\f(1,3)×8×6×4＝64.(2)如圖所示，OE⊥AB，OF⊥BC，側(cè)面VAB中，VE＝eq\r(VO2＋OE2)＝eq\r(42＋32)＝5，∴S△VAB＝eq\f(1,2)×AB×VE＝eq\f(1,2)×8×5＝20，側(cè)面VBC中，VF＝eq\r(VO2＋OF2)＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，∴S△VBC＝eq\f(1,2)×BC×VF＝eq\f(1,2)×6×4eq\r(2)＝12eq\r(2).∴該幾何體的側(cè)面積S＝2(S△VAB＋S△VBC)＝40＋24eq\r(2).[點(diǎn)評(píng)]由三視圖還原成幾何體，需要對(duì)常見(jiàn)的柱、錐、臺(tái)、球的三視圖格外生疏，有時(shí)還可依據(jù)三視圖的狀況，還原成由常見(jiàn)幾何體組合而成的組合體．(理)已知正三棱