《狀元之路》2022屆高考數(shù)學(xué)理新課標(biāo)A版一輪總復(fù)習(xí)開卷速查-必修部分23-解三角形應(yīng)用舉例

開卷速查(二十三)解三角形應(yīng)用舉例A級基礎(chǔ)鞏固練1．一艘海輪從A處動身，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀看燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀看燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是()A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里D.20eq\r(2)海里解析：如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)，故選A.答案：A2．在某個位置測得某山峰仰角為α，對著山峰在水平地面上前進(jìn)900m后測得仰角為2α，連續(xù)在水平地面上前進(jìn)300eq\r(3)m后，測得山峰的仰角為4α，則該山峰的高度為()A．300m B.450mC．300eq\r(3)mD.600m解析：如圖所示，易知，在△ADE中，∠DAE＝2α，∠ADE＝180°－4α，AD＝300eq\r(3)m，由正弦定理，得eq\f(900,sin4α)＝eq\f(300\r(3),sin2α)，解得cos2α＝eq\f(\r(3),2)，則sin2α＝eq\f(1,2)，sin4α＝eq\f(\r(3),2)，所以在Rt△ABC中山峰的高度h＝300eq\r(3)sin4α＝300eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝450(m)．答案：B3．要測量底部不能到達(dá)的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測點，在甲、乙兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°，甲、乙兩地相距500m，則電視塔的高度是()A．100eq\r(2)mB.400mC．200eq\r(3)mD.500m解析：由題意畫出示意圖，設(shè)塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由已知得BC＝hm，在Rt△ABD中，由已知得BD＝eq\r(3)hm，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m)．答案：D4．如圖所示，長為3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在離堤足C處1.4m的地面上，另一端B在離堤足C處2.8m的石堤上，石堤的傾斜角為α，則坡度值tanα等于()A.eq\f(\r(231),5) B.eq\f(5,16)C.eq\f(\r(231),16) D.eq\f(11,5)解析：由題意，可得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且∠α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝eq\f(5,16)，所以sinα＝eq\f(\r(231),16)，所以tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\r(231),5).答案：A5．[2021·遼寧丹東模擬]如圖所示，在坡度確定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100m到達(dá)B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50m，山坡對于地平面的坡度為θ，則cosθ等于()A.eq\f(\r(3),2) B.2－eq\r(3)C.eq\r(3)－1 D.eq\f(\r(2),2)解析：在△ABC中，由正弦定理可知，BC＝eq\f(AB·sin∠BAC,sin∠ACB)＝eq\f(100sin15°,sin45°－15°)＝50(eq\r(6)－eq\r(2))．在△BCD中，sin∠BDC＝eq\f(BC·sin∠CBD,CD)＝eq\f(50\r(6)－\r(2)·sin45°,50)＝eq\r(3)－1.由題圖知，cosθ＝sin∠ADE＝sin∠BDC＝eq\r(3)－1.答案：C6．如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m,50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為()A．30°B.45°C．60°D.75°解析：依題意可得AD＝20eq\r(10)m，AC＝30eq\r(5)m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理，得cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq\f(30\r(5)2＋20\r(10)2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq\f(6000,6000\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.答案：B7．在相距2千米的A，B兩點處測量目標(biāo)點C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A，C兩點之間的距離為__________千米．解析：由已知條件∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，得∠ACB＝45°.結(jié)合正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sin∠CBA)，即eq\f(2,sin45°)＝eq\f(AC,sin60°)，解得AC＝eq\r(6)(千米)．答案：eq\r(6)8．如圖，一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它連續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距8eq\r(2)nmile.此船的航速是__________nmile/h.解析：設(shè)航速為vnmile/h，在△ABS中，AB＝eq\f(1,2)v，BS＝8eq\r(2)nmile，∠BSA＝45°，由正弦定理，得eq\f(8\r(2),sin30°)＝eq\f(\f(1,2)v,sin45°)，∴v＝32nmile/h.答案：329．某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為45°，沿傾斜角為30°的斜坡前進(jìn)1000m后到達(dá)D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?0°，則山的高度BC為__________m.解析：過點D作DE∥AC交BC于E，由于∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.又∠BAD＝45°－30°＝15°，故∠ABD＝15°，由正弦定理得AB＝eq\f(ADsin∠ADB,sin∠ABD)＝eq\f(1000sin150°,sin15°)＝500(eq\r(6)＋eq\r(2))(m)所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin45°＝500(eq\r(3)＋1)(m)．答案：500(eq\r(3)＋1)10．已知島A南偏西38°方向，距島A3海里的B處有一艘緝私艇．島A處的一艘走私船正以10海里/時的速度向島北偏西22°方向行駛，問緝私艇朝何方向以多大速度行駛，恰好用0.5小時能截住該走私船？eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(參考數(shù)據(jù)：sin38°＝\f(5\r(3),14)，sin22°＝\f(3\r(3),14)))解析：如圖，設(shè)緝私艇在C處截住走私船，D為島A正南方向上一點，緝私艇的速度為每小時x海里，則BC＝0.5x，AC＝5海里，依題意，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，所以BC2＝49，BC＝0.5x＝7，解得x＝14.又由正弦定理得sin∠ABC＝eq\f(AC·sin∠BAC,BC)＝eq\f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq\f(5\r(3),14)，所以∠ABC＝38°，又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，故緝私艇以每小時14海里的速度向正北方向行駛，恰好用0.5小時截住該走私船．B級力氣提升練11．某城市有一塊不規(guī)章的綠地如圖所示，城建部門欲在該地上建筑一個底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計的底座外形分別為△ABC、△ABD，經(jīng)測量AD＝BD＝14，BC＝10，AC＝16，∠C＝∠D.(1)求AB的長度；(2)若建筑環(huán)境標(biāo)志的費用與用地面積成正比，不考慮其他因素，小李、小王誰的設(shè)計建筑費用最低？請說明理由．解析：(1)在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝162＋102－2×16×10cosC，①在△ABD中，由余弦定理及∠C＝∠D，整理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcosD＝142＋142－2×142cosC.②由①②得：142＋142－2×142cosC＝162＋102－2×16×10×cosC，整理得cosC＝eq\f(1,2).∵∠C為三角形的內(nèi)角，∴∠C＝60°.又∠C＝∠D，AD＝BD，∴△ABD是等邊三角形，故AB＝14，即A、B兩點的距離為14.(2)小李的設(shè)計使建筑費用最低．理由如下：S△ABD＝eq\f(1,2)AD·BDsinD，S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BCsinC.∵AD·BD＞AC·BC，且sinD＝sinC，∴S△ABD＞S△ABC.由已知建筑費用與用地面積成正比，故選擇小李的設(shè)計使建筑費用最低．12．如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min，在甲動身2min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1min后，再從B勻速步行到C，假設(shè)纜車勻速直線運動的速度為130m/min，山路AC長為1260m，經(jīng)測量，cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5).(1)求索道AB的長；(2)問乙動身多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處相互等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)把握在什么范圍內(nèi)？解析：(1)在△ABC中，由于cosA＝eq\f(12,13)，cosC＝eq\f(3,5)，所以sinA＝eq\f(5,13)，sinC＝eq\f(4,5).從而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(63,65).由正弦定理eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，得AB＝eq\f(AC,sinB)×sinC＝eq\f(1260,\f(63,65))×eq\f(4,5)＝1040(m)．所以索道AB的長為1040m.(2)假設(shè)乙動身tmin后，甲、乙兩游客距離為d，此時，甲行走了(100＋50t)m，乙距離A處130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×eq\f(12,13)＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤eq\f(1040,130)，即0≤t≤8，故當(dāng)t＝eq\f(35,37)(min)時，甲、乙兩游客距離最短．(3)由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，得BC＝eq\f(AC,sinB)×sinA＝eq\f(1260,\f(63,65)