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數(shù)列定義在解題中的潛在功能高考作為一種選拔性考試,在重視基礎(chǔ)學(xué)問考查的同時(shí),更加重視對應(yīng)用力氣的考查.作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一,等差(比)數(shù)列始終是高考考查時(shí)重點(diǎn),特殊是近幾年,有關(guān)數(shù)列的高考綜合題,幾乎都與等差(比)數(shù)列有關(guān).這里我們感愛好的是等差(比)數(shù)列的定義在解題中的潛在功能,即遇到數(shù)列問題,特殊是證明通項(xiàng)為and或前n項(xiàng)和首先要證明它是等差(比)數(shù)列,必要時(shí)再進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化,即將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列.例1.設(shè)等差數(shù)列的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)和為().(A)130(B)170(C)210(D)260解若等差數(shù)列前m項(xiàng)、次m項(xiàng)、又次m項(xiàng)和分別為S1,S2,S3,則S1,S2,S3也成等差數(shù)列.事實(shí)上,所以S1,S2,S3成等差數(shù)列.由于30,70,S3m-100成等差數(shù)列,所以30+S3m-100=140,即S3m=210.故應(yīng)選(C).例2.設(shè){an}是等差數(shù)列,,已知,求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.解∵{an}成等差數(shù)列,∴{bn}成等比數(shù)列,∴=b1b3.由b1b2b3=,得b2=.從而有b1+b3=,b1b3=.∴b1,b3是方程x2-+兩根.解得或,∴a1=-1,d=2或a1=3,d=-2.故an=a1+(n-1)d=2n-3或an=5-2n.例3.一個(gè)數(shù)列{an},當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an=5n+1;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an=2,求這個(gè)數(shù)列的前2m項(xiàng)的和.解:∵a1,a3,a5,…,a2m-1成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,∴S2m=.例4.設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系是(其中k是與n無關(guān)的常數(shù),且k≠1).(1)試寫出由n,k表示的an的表達(dá)式;(2)若,求k的取值范圍.解:(1)當(dāng)n=1時(shí),由,得當(dāng)n≥2時(shí),由,得.若k=0,則an=1(n=1)或an=0(n≥2).若k≠0,則{an}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以.(2)∵,∴<1,解得k<.例5.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的公式是.(1)求證:{an}是等差數(shù)列,并求出它的首項(xiàng)和公差;(2)記,求證:對任意自然數(shù)n,都有.證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),;當(dāng)n≥2時(shí),=.∴∴{an}是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列.(2)只要證明{bn}是首項(xiàng)為,公比為-1的等比數(shù)列.,和∴{bn}是首項(xiàng)為,公比為-1的等比數(shù)列,∴.例6.設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,并且對于全部自然數(shù)n,an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng).(1)寫出數(shù)列{an}的前3項(xiàng);(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(寫出推證過程);(3)令,求解(1)∵,得>0;,解得:>0);,解得:>0).(2)當(dāng)n≥2時(shí),,即,即..>0,.{an}是首項(xiàng)為2,公差為4的等差數(shù)列,∴.(3),.例7.已知數(shù)列{an}滿足條件:>0),且{anan-1}是公比為q(q>0)的等比數(shù)列.設(shè).(1)求出訪不等式>成立的q的取值范圍;(2)求bn和,其中;(3)設(shè),求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值.解:(1)>>0,q>0,<0,∴0<q<.(2).又是首項(xiàng)為1+r,公比為q的等比數(shù)列,.(3).記,則有≤≤c21.故{cn}的最大項(xiàng)為c21=2.25,最小項(xiàng)為c20=-4.例8.設(shè)An為數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和,數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若,則稱d為數(shù)列{an}與{bn}的公共項(xiàng).將數(shù)列{an}與{bn}的公共項(xiàng),按它們在原數(shù)列中的先后挨次排成一個(gè)新的數(shù)列{dn},證明數(shù)列{dn}的通項(xiàng)是(3)設(shè)數(shù)列{dn}中的第n項(xiàng)是數(shù)列{bn}中的第r項(xiàng),Br為數(shù)列{bn}前r項(xiàng)的和,Dn為數(shù)列{dn}前n項(xiàng)的和,Tn=Br-Dn,求解:(1)當(dāng)n=1時(shí),由,得a1=3;當(dāng)n≥2時(shí),由,得≥2)∴{an}是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列,故(2)證{dn}是等比數(shù)列.明顯d1=a3=2
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