【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修四導(dǎo)學(xué)案：《從力做功到向量的數(shù)量積》

第6課時(shí)從力做功到向量的數(shù)量積1.通過物理中“功”等實(shí)例,理解平面對(duì)量數(shù)量積的含義及其物理意義、幾何意義.2.體會(huì)平面對(duì)量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.把握平面對(duì)量數(shù)量積的運(yùn)算律和它的一些簡(jiǎn)潔應(yīng)用.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,會(huì)用數(shù)量積推斷兩個(gè)平面對(duì)量的垂直關(guān)系.一只飛著的天鵝拉著地上的小車行駛在一條筆直的大路上,如圖所示,當(dāng)小車前進(jìn)了s時(shí),你能算出天鵝對(duì)小車所做的功嗎?問題1:(其中θ=<a,b>,稱為向量a、b的夾角)叫作向量a、b的數(shù)量積(或),記作a·b,即.

把|a|cosθ叫作向量a在b方向上的.

如圖,OA=a,OB=b,過點(diǎn)A作AA1垂直于直線OB,垂足為A1,則OA1=|a|cosθ.投影是一個(gè)數(shù)量,不是向量;當(dāng)θ為銳角時(shí),它是值;當(dāng)θ為鈍角時(shí),它是;當(dāng)θ=90°時(shí),它是;當(dāng)θ=0°時(shí),它是;當(dāng)θ=180°時(shí),它是.

問題2:向量與物理學(xué)中一些矢量的關(guān)系向量是既有又有方向的量,它們可以有共同的作用點(diǎn),也可以沒有共同的作用點(diǎn)(即與作用點(diǎn));力也是既有又有的量,且作用于作用點(diǎn)(即力與作用點(diǎn)).用向量學(xué)問解決力的問題,往往是把向量平移到同一作用點(diǎn)上.

物理學(xué)中,速度、加速度與位移的合成與分解,實(shí)質(zhì)上是向量的加、減法運(yùn)算,而運(yùn)動(dòng)的也用到向量的;力的做功是力在物體前進(jìn)方向上的分力與物體的乘積,它的實(shí)質(zhì)是.

(1)力的做功涉及兩個(gè)向量及這兩個(gè)向量的夾角,即,功是一個(gè),它可以是、負(fù)數(shù)或0.

(2)在解決問題時(shí)要留意數(shù)形結(jié)合.問題3:向量數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量a、b、c和實(shí)數(shù)λ,則(1)a·b=(交換律);

(2)(λa)·b==(對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律);

(3)(a+b)·c=(安排律).

問題4:向量數(shù)量積的性質(zhì):(1)假如e是單位向量,則a·e=e·a=;

(2)非零向量a,b,a⊥b?;(3)a·a=或|a|=;

(4)cos<a,b>=;

(5)|a·b|≤|a||b|.1.已知|a|=|b|=1,a與b的夾角為90°,且c=2a+3b,d=ka-4b,若c⊥d,則實(shí)數(shù)k的值為().A.6 B.-6 C.3 D.-32.已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,3),向量a=(2k-1,2),若AB⊥a,則實(shí)數(shù)k的值為().A.-2 B.-1 C.1 D.23.已知向量a、b,其中|a|=2,|b|=2,且(a-b)⊥a,則向量a和b的夾角是.

4.設(shè)x、y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,求|a+b|.向量數(shù)量積的概念已知a、b、c是非零向量,有下列三個(gè)說法:(1)若|b|=|c|,則|a·b|=|a·c|;(2)(a·b)|c|=|a|(b·c);(3)若|a·b|=|a||b|,則a∥b.其中正確的個(gè)數(shù)為().A.0 B.1 C.2 D.3向量的夾角與模的運(yùn)算已知|a|=3,|b|=4,且a與b的夾角為120°,求:(1)(a-b)2;(2)|a+b|.向量數(shù)量積在物理學(xué)中的運(yùn)用一艘船以5km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛,而該船實(shí)際航行的方向與水流方向成30°角,求水流速度與船的實(shí)際速度.已知|a|=3,|b|=2,若a·b=-3,則a與b夾角的大小為.

已知|a|=3,|b|=4,|a+b|=21.求:(1)a·b;(2)(2a-b)·(3a+b).一輛汽車在平直大路上向西行駛,車上裝著風(fēng)速計(jì)和風(fēng)向標(biāo),測(cè)得風(fēng)向?yàn)闁|偏南30°,風(fēng)速為4m/s,這時(shí)氣象臺(tái)報(bào)告實(shí)際風(fēng)速為2m/s.試求風(fēng)的實(shí)際方向和汽車的速度大小.1.某人騎自行車的靜風(fēng)速度為v1,風(fēng)速為v2,則逆風(fēng)行駛的速度的大小為().A.|v1-v2| B.|v1+v2|C.|v1|+|v2| D.|2.用力F推動(dòng)一物體水平運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)的位移為s,設(shè)F與水平面角為θ,則對(duì)物體所做的功為().A.|F|·s B.Fcosθ·sC.Fsinθ·s D.|F||s|cosθ3.作用于原點(diǎn)的兩個(gè)力F1(1,1),F2(2,3),為使它們平衡,需要加力F3=.

4.一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生的位移是s,F與s的夾角是α.(1)用F、s、α表示力F所做的功W;(2)用F、s表示W(wǎng);(3)當(dāng)α漸漸增大時(shí),F·s的大小怎樣變化,為什么?(2021年·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷)已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,則t=.

考題變式(我來改編):答案第6課時(shí)從力做功到向量的數(shù)量積學(xué)問體系梳理問題1:|a||b|cosθ內(nèi)積a·b=|a||b|cosθ投影正負(fù)值0|a|-|a|問題2:大小無關(guān)大小方向同一有關(guān)疊加合成位移向量的數(shù)量積(1)W=|F||s|·cos<F,s>實(shí)數(shù)正數(shù)問題3:(1)b·aa·(λb)λ(a·b)a·c+b·c問題4:(1)|a|cos<a,e>(3)|a|2a·a(4基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.A∵c⊥d,∴c·d=(2a+3b)·(ka-4b)=0,即2k-12=0,解得k=6.2.BAB=(2,3),∵AB⊥a,∴2(2k-1)+3×2=0,∴k=-1.3.π4由題意知(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=0,∴a·b=2.設(shè)a與b的夾角為θ,則cosθ=a·b|a|4.解:∵a⊥c,∴2x-4=0,∴x=2,∵b∥c,∴1×(-4)-2y=0,∴y=-2,∴a=(2,1),b=(1,-2),∴a+b=(3,-1),∴|a+b|=10.重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】依據(jù)數(shù)量積的定義知,當(dāng)a與b,a與c的夾角不同時(shí),|a·b|≠|(zhì)a·c|,∴(1)不正確;同理,(2)不正確;而|a·b|=|a||b|且a、b為非零向量,∴a∥b,即(3)正確.故選B.【答案】B【小結(jié)】(1)兩向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的乘法,它是一個(gè)實(shí)數(shù),不是一個(gè)向量,其值可以為正,也可以為負(fù),還可以為0.(2)切記兩個(gè)向量的數(shù)量積及一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影都是實(shí)數(shù).探究二:【解析】a·b=|a||b|cos120°=3×4×(-12)=-6(1)(a-b)2=a2-2a·b+b2=32-2×(-6)+42=37.(2)|a+b|=(a+=32+2×【小結(jié)】(1)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的運(yùn)算,求向量的模要合理運(yùn)用|a|=a2(2)向量數(shù)量積的運(yùn)算律類似于代數(shù)中的兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積,進(jìn)行運(yùn)算時(shí)合并“同類項(xiàng)”,要留意a2僅僅是一種記號(hào),并不表示平方,即a2=a·a=|a|2,同理b2=|b|2.探究三:【解析】如圖所示,設(shè)OA表示水流速度,OB表示船垂直于對(duì)岸的速度,OC表示船的實(shí)際速度,∠AOC=150°,|AB|=|OC|=5km/h,由于OB⊥OA,所以|OA|=|AB|·cos30°=5×32≈4.33km/h|OB|=|AB|·sin30°=5×12=2.5km/h[問題]此題解答正確嗎?[結(jié)論]不正確.OC=OA+OB.于是,正確解答如下:如圖所示,設(shè)OA表示水流速度,OB表示船垂直于對(duì)岸的速度,OC表示船的實(shí)際速度,∠AOC=30°,|OB|=5km/h.由于OACB為矩形,所以|OA|=|AC|·1tan30°=|OB|·1tan30°=53≈8.66km/h,|OC|=|OA|cos30答:水流速度為8.66km/h,船的實(shí)際速度為10km/h.【小結(jié)】1.利用向量解決物理問題的步驟:①問題的轉(zhuǎn)化,即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題;②模型的建立,即建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型;③參數(shù)的獲得,即求出數(shù)學(xué)模型的有關(guān)解——理論參數(shù)值;④問題的答案,即回到問題的初始狀態(tài),解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象.2.向量在物理應(yīng)用中的基本題型:①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成與分解對(duì)應(yīng)相應(yīng)向量的加與減;③動(dòng)量m·v是數(shù)乘向量,沖量Δt·F也是數(shù)乘向量;④功是力F與位移s的數(shù)量積,即W=F·s.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:2π3cosθ=a·b|∵0≤θ≤π,∴θ=2π應(yīng)用二:(1)∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=32+2a·b+42=25+2a·b=21,∴a·b=-2.(2)(2a-b)·(3a+b)=6a2-a·b-b2=6×32-(-2)-42=40.應(yīng)用三:依據(jù)物理學(xué)問,有三對(duì)相對(duì)速度,汽車對(duì)地的速度為v車地,風(fēng)對(duì)車的速度為v風(fēng)車,風(fēng)對(duì)地的速度為v風(fēng)地.風(fēng)對(duì)地的速度可以看成車對(duì)地與風(fēng)對(duì)車的速度的合速度,即v風(fēng)地=v風(fēng)車+v車地.如圖,依據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知,表示向量v風(fēng)地的有向線段AD是?ACDB的對(duì)角線.∵AC=4m/s,∠ACD=30°,AD=2m/s,∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中,DC=AC·cos30°=23(m/s).即風(fēng)向的實(shí)際方向是正南方向,汽車速度的大小為23m/s.基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.B依據(jù)題意知v1、v2方向相反,且|v1|>|v2|,逆風(fēng)行駛的速度為v=v1+v2,故選B.2.D由功的定義知W=|F||s|·cos<F,s>=|F||s|cosθ,故選D.3.(-3,-4)由題意知F1+F2+F3=0,∴F3=-(F1+F2)=-[(1,1)+(2,3)]=-(3,4)=(-3,-4).