【八年級下冊數(shù)學(xué)浙教版】第二章 一元二次方程（5類題型突破）

第二章一元二次方程（5類題型突破）題型一一元二次方程及一元二次方程的解【例1】（2022秋?商洛期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x3+2x＝0 B．x（x﹣3）＝0 C． D．y﹣x2＝4【例2】（2023春?東陽市期末）將方程2x2+7＝4x改寫成ax2+bx+c＝0的形式，則a，b，c的值分別為（）A．2，4，7 B．2，4，﹣7 C．2，﹣4，7 D．2，﹣4，﹣7【例3】（2023秋?溫嶺市期末）若a是關(guān)于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一個(gè)根，則2021﹣6a2+2a的值是（）A．2023 B．2022 C．2020 D．2019【例4】（2023秋?椒江區(qū)期中）若關(guān)于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，則m＝_______．【例5】（2023秋?息縣期中）若一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0的一個(gè)根為x＝2，則a＝____．鞏固訓(xùn)練1．（2022秋?讓胡路區(qū)校級期末）在下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A． B．x2﹣3x+2C．﹣5x2+3y﹣2＝0 D．y2＝162．（2023秋?明山區(qū)校級期中）把一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝1化成一般形式，正確的是（）A．x2+x﹣5＝0 B．x2﹣5x﹣5＝0 C．x2+x﹣7＝0 D．x2﹣5x+6＝03．（2023秋?桂東縣期末）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c滿足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，則方程的根是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．無法確定4．（2022春?朝陽區(qū)校級期中）若（m﹣2）x2﹣3x+5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍為__________．5．（2022春?嘉興期末）構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，要求：①常數(shù)項(xiàng)不為0；②有一個(gè)根為﹣1．這個(gè)一元二次方程可以是_____________（寫出一個(gè)即可）．6．（2023春?義烏市期末）已知a為方程x2﹣3x﹣6＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式6a﹣2a2+5的值為_________．題型二一元二次方程的解法【例1】（2022秋?宜興市期末）方程（x+3）2＝4的根是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝1，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝5【例2】（2023秋?臨江市期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，則配方正確的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+2）2＝7【例3】（2023?浦江縣模擬）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解是（）A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣3，x2＝﹣1【例4】（2023秋?青山區(qū)校級期中）三角形兩邊長分別為7和4，第三邊是方程x2﹣11x+18＝0的解，則這個(gè)三角形的周長是（）A．13 B．13或20 C．12 D．20【例5】（2023?桐廬縣一模）已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的兩根為a、b，且a＞b，則2a+b的值為_________________．【例6】（2023秋?武進(jìn)區(qū)校級月考）用配方法解方程x2+4x﹣3＝0，配方得（x+m）2＝7，常數(shù)m的值是_______．【例7】（2023?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）方程x（x+1）＝2（x+1）的解是_________________．【例8】（2023秋?溫嶺市期末）解方程：2x2﹣4x＝15．【例9】（2023春?海曙區(qū)校級期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）（2x﹣1）2＝4； （2）x2﹣10x+8＝0．【例10】（2023秋?臨海市期中）解方程：（1）x2＝81； （2）x2﹣10x+21＝0．【例11】（2023春?衢州期末）解方程：（1）2y2+3y﹣1＝0； （2）x（x﹣4）＝﹣4．【例12】（2023春?下城區(qū)校級月考）以下是圓圓在用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的過程：解：移項(xiàng)得：x2﹣2x＝4配方：x2﹣2x+1＝4（x﹣1）2＝4開平方得：x﹣1＝±2移項(xiàng)：x＝±2+1所以：x1＝3，x2＝3圓圓的解答過程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請寫出正確的解答過程．鞏固訓(xùn)練1．（2023春?溫州期末）用配方法解方程x2+6x+3＝0時(shí)，配方結(jié)果正確的是（）A．（x+3）2＝12 B．（x﹣3）2＝12 C．（x﹣3）2＝6 D．（x+3）2＝62．（2023春?杭州期末）方程x2＝5x的解是（）A．x＝5 B．x＝0 C．x1＝﹣5；x2＝0 D．x1＝5；x2＝03．（2018秋?江油市月考）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（）A．x＝1﹣ B．x＝ C．x＝﹣1+ D．x＝4．（2023秋?順德區(qū)校級月考）用因式分解法解方程9x2＝（x﹣2）2時(shí)，因式分解結(jié)果正確的是（）A．4（2x﹣1）（x﹣1）＝0 B．4（2x+1）（x﹣1）＝0 C．4（2x﹣1）（x+1）＝0 D．4（2x+1）（x+1）＝05．（2023秋?婁底期中）關(guān)于x的一元二次方程x2＝a的兩個(gè)根分別是2m﹣1與m﹣5，則m＝_______．6．（2022?海曙區(qū)一模）代數(shù)式x2﹣2x與4x的值相等，則x的值為________________．7．（2021秋?鎮(zhèn)江期末）對方程x2x＝0進(jìn)行配方，得+m＝+m，其中m＝______________________．8．（2023秋?南山區(qū)期中）對于實(shí)數(shù)m，n，先定義一種運(yùn)算“?”如下：，若x?（﹣2）＝10，則實(shí)數(shù)x的值為_______．9．（2023?濱江區(qū)校級開學(xué)）計(jì)算與解方程：（1）； （2）．10．（2023春?婺城區(qū)期末）解方程：（1）（x+1）2＝16； （2）x2﹣4x＝2．11．（2023春?義烏市校級期中）用適當(dāng)方法解下列方程：（1）x2﹣7x+2＝0； （2）2x（x﹣3）+x＝3．12．（2023秋?靈寶市期中）解方程：（1）4x2＝（x+2）2； （2）2x2+4x﹣5＝0．13．（2023秋?阜寧縣期中）解下列方程：（1）x（x+1）＝（x+1）； （2）2x2﹣3x﹣1＝0．14．（2023春?拱墅區(qū)期中）已知關(guān)于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0，（1）證明：當(dāng)a取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程都是一元二次方程：（2）當(dāng)a＝2時(shí)，解這個(gè)方程．題型三根的判別式【例1】（2023?太康縣模擬）若k＜0，則關(guān)于x的一元二次方程x2+x+k﹣1＝0根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．沒有實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【例2】（2022秋?桐柏縣期末）關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則k的取值范圍是（）A．k＜ B．k＜且k≠1 C．0≤k≤ D．k≠1【例3】（2023秋?西工區(qū)期中）直線y＝x+a不經(jīng)過第二象限，則關(guān)于x的方程ax2+2x+1＝0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【例4】（2023?葫蘆島一模）已知一元二次方程x2+6x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為_______．【例5】（2023秋?奉化區(qū)期末）如果滿足||x2﹣6x﹣16|﹣10|＝a的實(shí)數(shù)x恰有4個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______________．【例6】（2023秋?黃埔區(qū)校級期中）對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說法：①若a+b+c＝0，則b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程ax2+bx+c＝0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根，則一定有ac+b+1＝0成立；④存在實(shí)數(shù)m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；其中正確的（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【例7】（2023秋?興隆縣期中）已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0．（1）若方程的一個(gè)根為x＝﹣1，則a的值為__________；（2）若方程有實(shí)數(shù)根，則滿足條件的正整數(shù)a的值為____________．【例8】（2023春?鎮(zhèn)海區(qū)期末）定義：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足b＝ac．則稱此方程為“蛟龍”方程．（1）當(dāng)b＜0時(shí)，判斷此時(shí)“蛟龍”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）解的情況，并說明理由．（2）若“蛟龍”方程2x2+mx+n＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，請解出此方程．【例9】（2023秋?阿榮旗期末）關(guān)于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0（1）求證：方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若此方程的一個(gè)根為1，求m的值；（3）求出以此方程兩根為直角邊的直角三角形的周長．【例10】（2022秋?伊川縣期末）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分別為△ABC三邊的長．（1）如果x＝﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根．鞏固訓(xùn)練1．（2023?武進(jìn)區(qū)校級模擬）一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的根的情況是（）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根2．（2023?泗陽縣一模）若關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則c的值可能為（）A．6 B．5 C．4 D．33．（2023?滁州二模）若關(guān)于x的方程kx2﹣x+3＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k≤12 B．k≤ C．k≤12且k≠0 D．k≤且k≠04．（2023?大安市四模）關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為_______．5．（2023春?浙江期中）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，存在2個(gè)不同的x的值，使代數(shù)式x2﹣3x+c與代數(shù)式x+2值相等，則c的取值范圍是__________．6．（2022秋?臨海市期末）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若m為方程的其中一個(gè)實(shí)數(shù)根，令n＝2m2﹣4m+3c﹣1，則n的取值范圍是__________．7．（2023?順慶區(qū)三模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣1＝0．（1）求證：無論k取何值，該方程總有實(shí)數(shù)根；（2）已知等腰三角形的一邊a為2，另兩邊恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求k的值．8．（2022秋?營口期中）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+（m﹣2）＝0．（1）求證：無論m取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）已知方程有一根大于6，求m的取值范圍．9．（2023秋?化州市期中）關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若m為正整數(shù)，求出此時(shí)方程的根．10．（2022春?慈溪市校級期中）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0與方程x2﹣3x+k＝0有一個(gè)相同的根，求此時(shí)m的值．題型四根與系數(shù)的關(guān)系【例1】（2022秋?泰和縣期末）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩根，則a+b﹣2ab等于（）A．7 B．﹣5 C．﹣7 D．5【例2】（2023春?西湖區(qū)校級期中）若x1，x2是方程x2+x﹣2＝0的兩實(shí)數(shù)根，則﹣x2+2的值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【例3】（2023春?拱墅區(qū)期中）對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說法：①若a+b+c＝0，則方程必有一根為x＝1；②若方程ax2+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程ax2+bx+c＝0無實(shí)根；③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）兩根為x1，x2且滿足x1≠x2≠0，則方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有實(shí)根，；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則．其中正確的（）A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④【例4】（2022秋??？谄谀┮阎P(guān)于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一個(gè)根是2，則另一個(gè)根是_________．【例5】（2023秋?長汀縣期中）已知x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的兩根，則代數(shù)式的值為____________．【例6】（2022秋?淥口區(qū)期末）已知：關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一根為﹣3，求m的值，并求另一根；（3）若方程兩根為x1，x2，且滿足，求m的值．【例7】已知關(guān)于x的方程x2﹣6x+4﹣m＝0．（1）試從﹣10，﹣8，﹣4等三個(gè)數(shù)中，選取一個(gè)數(shù)作為m的值，使原方程有解，并說明理由，且求此解；（2）當(dāng)m＝3時(shí)，原方程有一根為α，求的值．【例8】（2023秋?淮安區(qū)期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長為5，①若k＝3時(shí)，請判斷△ABC的形狀并說明理由；②若△ABC是等腰三角形，求k的值．鞏固訓(xùn)練1．（2023春?上城區(qū)期中）若x1，x2是方程2x2﹣6x+3＝0的兩個(gè)根，則的值為（）A．2 B．﹣2 C． D．2．（2023春?鎮(zhèn)海區(qū)期末）一元二次方程2x2﹣mx+3＝0的一根為3，則另一根為（）A． B．1 C． D．3．（2023秋?臺州期中）若α、β是方程x2+3x﹣2023＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α2+4α+β的值為___________．4．（2023春?杭州月考）二次項(xiàng)系數(shù)為1，兩個(gè)根分別為1+和1﹣的一元二次方程是________________．5．（2022秋?臺山市期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣5＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）若x1，x2是這個(gè)方程的兩個(gè)根，且x12+x22+3x1?x2＝﹣3，求k的值．6．（2023秋?西湖區(qū)校級期中）已知α、β是關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）若滿足，求m的值；（2）若α＞2，求證：β＞2．7．（2023春?紹興期中）已知有關(guān)于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（3k+1）x+2k＝0．（1）求k的取值范圍，并判斷該一元二次方程根的情況；（2）若方程有一個(gè)根為﹣2，求k的值及方程的另一個(gè)根；（3）若方程的一個(gè)根是另一個(gè)根3倍，求k的值．8．（2023春?寧波期末）[回歸教材]（1）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為x1，x2，則有x1+x2＝﹣，x1?x2＝．這個(gè)結(jié)論課本上稱為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，因?yàn)槭欠▏鴶?shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的，人們又稱它為“韋達(dá)定理”．請你證明這個(gè)定理．[夯實(shí)基礎(chǔ)]（2）若一元二次方程3x2﹣9x﹣8＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為x1、x2，求3+9x2+5的值．[拓展應(yīng)用]（3）若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)解為x1、x2，求+的最小值．9．（2023春?寧波期末）閱讀材料，根據(jù)上述材料解決以下問題：材料1：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)根為x1x2，則材料2：已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，則m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（1）材料理解：一元二次方程3x2﹣6x+1＝0兩個(gè)根為x1x2，則x1+x2＝_______，x1x2＝__________________．（2）應(yīng)用探究：已知實(shí)數(shù)m，n滿足9m2﹣9m﹣1＝0，9n2﹣9n﹣1＝0，且m≠n，求m2n+mn2的值．（3）思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、t分別滿足9s2+9s+1＝0，t2+9t+9＝0，其中st≠1且st≠0．求的值．題型五一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用【例1】（2023秋?防城區(qū)期末）有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，下列所列方程正確的是（）A．（1+x）2＝121 B．1+x+x2＝121 C．1+x+（x+1）2＝121 D．1+x+2（x+1）＝121【例2】（2023秋?武都區(qū)期末）如圖，某小區(qū)有一塊長為18米，寬為6米的矩形空地，計(jì)劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為60平方米，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道．若設(shè)人行道的寬度為x米，則可以列出關(guān)于x的方程是（）A．（18﹣3x）（6﹣2x）+60＝108 B．（18﹣3x）（6﹣2x）+3x2＝60 C．（18﹣3x）（6﹣2x）＝60 D．108﹣18x﹣36x+3x2＝60【例3】（2022秋?舞鋼市期末）受油價(jià)上漲等因素刺激，傳統(tǒng)燃油汽車市場進(jìn)入“寒冬”期，但新能源汽車迎來了銷量春天．據(jù)統(tǒng)計(jì)，2020年我國新能源汽車?yán)塾?jì)銷量為150萬輛，銷量逐年增加，預(yù)計(jì)到2022年銷量達(dá)到486萬輛．若2020年到2022年的年平均增長率為x，則x的值為（）A．80% B．120% C．112% D．150%【例4】（2023秋?溫嶺市期中）近年來某市加大了對教育經(jīng)費(fèi)的投入，2021年投入2億元，2023年將投入2.5億元，設(shè)該市投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長率為x，根據(jù)題意則可以列出的方程是__________________．【例5】（2023秋?增城區(qū)期末）某商店將進(jìn)貨價(jià)格為20元的商品按單價(jià)36元售出時(shí)，能賣出200個(gè)．已知該商品單價(jià)每上漲1元，其銷售量就減少5個(gè)．設(shè)這種商品的售價(jià)上漲x元時(shí)，獲得的利潤為1200元，則下列關(guān)系式正確的是（）A．（x+16）（200﹣5x）＝1200 B．（x+16）（200+5x）＝1200 C．（x﹣16）（200+5x）＝1200 D．（x﹣16）（200﹣5x）＝1200【例6】（2023春?西湖區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q均停止運(yùn)動(dòng)，若△PBQ的面積等于4cm2，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒【例7】（2023?衢州一模）如圖，有一張長方形桌子的桌面長130cm，寬60cm．有一塊長方形臺布的面積是桌面面積的2倍，并且鋪在桌面上時(shí)，各邊垂下的長度相等．若設(shè)臺布垂下的長度為xcm，則可列出x滿足的方程為______________________．（不必化簡）【例8】（2022秋?蘆淞區(qū)期末）2021年我國脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得了全面勝利．成為“脫貧勝利年”．技術(shù)扶貧也使得某縣的一個(gè)電子公司扭虧為盈，該公司的顯卡廠2019年電腦A型顯卡的成本是100元/個(gè)，2020年與2021年連續(xù)兩年在技術(shù)扶貧的幫助下改進(jìn)技術(shù)，降低成本，2021年A型電腦顯卡的成本降低到81元/個(gè)．（1）求這兩年A型電腦顯卡成本平均下降的百分率；（2）公司電商銷售平臺以高于成本價(jià)10%的價(jià)格購進(jìn)A型電腦顯卡，以117.1元/個(gè)銷售時(shí)，平均每天可銷售20個(gè)．為增加銷量，銷售平臺決定降價(jià)銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價(jià)每降低5元，每天可多售出10個(gè)，如果每天要保持盈利720元，試求單價(jià)應(yīng)降低多少元？【例9】（2023春?蒼南縣期中）園林部門計(jì)劃在某公園建一個(gè)長方形花圃ABCD，花圃的一面靠墻（墻足夠長），另外三邊用木欄圍成，如圖2所示BC＝2AB，建成后所用木欄總長120米，在圖2總面積不變的情況下，園林部門在花圃內(nèi)部設(shè)計(jì)了一個(gè)正方形的網(wǎng)紅打卡點(diǎn)和兩條寬度相等的小路如圖3，小路的寬度是正方形網(wǎng)紅打卡點(diǎn)邊長的，其余部分種植花卉，花卉種植的面積為1728平方米．（1）求長方形ABCD花圃的長和寬；（2）求出網(wǎng)紅打卡點(diǎn)的面積．【例10】（2023春?拱墅區(qū)期末）根據(jù)以下素材，完成探索任務(wù)．探索果園土地規(guī)劃和銷售利潤問題素材1某農(nóng)戶承包了一塊長方形果園ABCD，圖1是果園的平面圖，其中AB＝200米，BC＝300米．準(zhǔn)備在它的四周鋪設(shè)道路，上下兩條橫向道路的寬度都為2x米，左右兩條縱向道路的寬度都為x米，中間部分種植水果．已知道路的路面造價(jià)是50元/m2；出于貨車通行等因素的考慮，道路寬度x不超過12米，且不小于5米．素材2該農(nóng)戶發(fā)現(xiàn)某一種草莓銷售前景比較不錯(cuò)，經(jīng)市場調(diào)查，草莓培育一年可產(chǎn)果，已知每平方米的草莓銷售平均利潤為100元；果園每年的承包費(fèi)為25萬元，期間需一次性投入33萬元購進(jìn)新苗，每年還需25萬元的養(yǎng)護(hù)、施肥、運(yùn)輸?shù)绕溆噘M(fèi)用．問題解決任務(wù)1解決果園中路面寬度的設(shè)計(jì)對種植面積的影響．（1）請直接寫出縱向道路寬度x的取值范圍．（2）若中間種植的面積是44800m2，則路面設(shè)置的寬度是否符合要求．任務(wù)2解決果園種植的預(yù)期利潤問題．（凈利潤＝草莓銷售的總利潤﹣路面造價(jià)費(fèi)用﹣果園承包費(fèi)用﹣新苗購置費(fèi)用﹣其余費(fèi)用）（3）經(jīng)過1年后，農(nóng)戶是否可以達(dá)到預(yù)期凈利潤400萬元？請說明理由．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋?溫嶺市期末）2021年5月11日，國新辦發(fā)布我國第七次人口普查結(jié)果，全國總?cè)丝诩s14.11億，與第五次、第六次人口普查數(shù)據(jù)相比較，我國人口總量持續(xù)增長．據(jù)查，2000年第五次人口普查全國總?cè)丝诩s12.95億．若設(shè)從第五次到第七次人口普查總?cè)丝诘钠骄鲩L率為x，則可列方程為（）A．12.95（1+x）＝14.11 B．12.95（1+2x）2＝14.11 C．12.95（1+2x）＝14.11 D．12.95（1+x）2＝14.112．（2022秋?臨海市期末）我國古代數(shù)學(xué)家楊輝的《田畝比數(shù)乘除減法》中記載：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步，問闊及長各幾步？”翻譯成數(shù)學(xué)問題是：一塊矩形田地的面積為864平方步，它的寬比長少12步．如果設(shè)寬為x步，則可列出方程（）A．x（x﹣6）＝864 B．x（x﹣12）＝864 C．x（x+6）＝864 D．x（x+12）＝8643．（2023春?鄞州區(qū)期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿線段AB向點(diǎn)B移動(dòng)，一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿線段BC向點(diǎn)C移動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)開始移動(dòng)，點(diǎn)P的速度為1cm/s，點(diǎn)Q的速度為2cm/s，當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．若使△PBQ的面積為5cm2，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（）A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s4．（2023秋?集美區(qū)校級期中）歐幾里得在《幾何原本》中，記載了用圖解法解方程x2+ax＝b2的方法，類似地我們可以用折紙的方法求方程x2+x﹣1＝0的一個(gè)正根．如圖，一張邊長為1的正方形的紙片ABCD，先折出AD，BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，再沿過點(diǎn)A的直線折疊使AD落在線段AF上，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，折痕為AG，點(diǎn)G在邊CD上，連接GH，GF，長度恰好是方程x2+x﹣1＝0的一個(gè)正根的線段為（）A．線段BF B．線段DG C．線段CG D．線段GF5．（2022秋?棗陽市期末）有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有81人患了流感，按照這樣的傳染速度，經(jīng)過三輪后患了流感人數(shù)共有（）A．512人 B．596人 C．648人 D．729人6．（2023?裕華區(qū)校級模擬）空地上有一段長為a米的舊墻MN，工人師傅欲利用舊墻和木欄圍成一個(gè)封閉的矩形菜園（如圖），已知木欄總長為40米，所圍成的菜園面積為S平方米．若a＝18，S＝196，則（）A．有一種圍法 B．有兩種圍法 C．不能圍成菜園 D．無法確定有幾種圍法7．（2023秋?和平區(qū)期中）為了讓農(nóng)民能種植高產(chǎn)、易發(fā)芽的種子，某農(nóng)科實(shí)驗(yàn)基地大力開展種子實(shí)驗(yàn)．該實(shí)驗(yàn)基地兩年前有100種種子，經(jīng)過兩年不斷地努力，現(xiàn)在已有144種種子．若培育的種子平均每年的增長率為x，則x的值為__________．8．（2023春?上城區(qū)期中）一次圍棋比賽采用單循環(huán)賽制（即每位選手與其他選手各比賽1局），若比賽的總局?jǐn)?shù)為28局，設(shè)共有x位選手參加比賽，則可列出方程為：__________．9．（2023春?河口區(qū)期末）如圖，是一個(gè)長為30m，寬為20m的矩形花園，現(xiàn)要在花園中修建等寬的小道，剩余的地方種植花草．如圖所示，要使種植花草的面積為468m2，那么小道進(jìn)出口的寬度應(yīng)為_______m．10．（2023?臨沂一模）如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向運(yùn)動(dòng)，速度是2cm/s；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向運(yùn)動(dòng)，速度是1cm/s，則經(jīng)過_________s后，P，Q兩點(diǎn)之間相距25cm．11．（2023春?樂清市期中）在一次酒會上，每兩人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，則參加酒會的人數(shù)為_________．12．（2023春?鹿城區(qū)期中）某地一家餐廳開張，開業(yè)第一天收入為5000元，之后兩天的收入按相同的增長率增長，第3天收入為6050元，則每天增長率為__________．13．（2023春?滁州期末）如圖，利用一面墻（墻長25米），用總長度49米的柵欄（圖中實(shí)線部分）圍成一個(gè)矩形圍欄ABCD，且中間共留兩個(gè)1米的小門，設(shè)柵欄BC長為x米．（1）AB＝______________米（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若矩形圍欄ABCD面積為210平方米，求柵欄BC的長；（3）矩形圍欄ABCD面積是否有可能達(dá)到240平方米？若有可能，求出相應(yīng)x的值，若不可能，請說明理由．14．（2023?東營區(qū)校級模擬）公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量，該品牌頭盔4月份銷售150個(gè)，6月份銷售216個(gè)，且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長率；（2）若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測算在市場中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲1元/個(gè)，則月銷售量將減少10個(gè)，為使月銷售利潤達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？15．（2023秋?五蓮縣期中）某水果超市經(jīng)銷一種高檔水果，售價(jià)每千克50元．（1）若連續(xù)兩次降價(jià)后每千克32元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；（2）若按現(xiàn)售價(jià)銷售，每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，超市決定采取適當(dāng)?shù)臐q價(jià)措施，但超市規(guī)定每千克漲價(jià)不能超過8元，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克．現(xiàn)該超市希望每天盈利6000元，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少元？（3）為了迎接新學(xué)期，在（2）的基礎(chǔ)上，超市決定每賣出1千克捐贈a元（a≤2）給貧困山區(qū)學(xué)生，設(shè)每千克漲價(jià)x元．若要保證當(dāng)0≤x≤8時(shí)，每天盈利隨著x的增加而增大，直接寫出a的取值范圍．16．（2023秋?賈汪區(qū)期中）一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，該店采取了降價(jià)措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時(shí)間的銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降價(jià)a元，則平均每天的銷售數(shù)量為______________件（用含a的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，該商店每天的銷售利潤為1200元？（3）該商店每天的銷售利潤可能達(dá)到1450元嗎？請說明理由．

第二章一元二次方程（5類題型突破）答案全解全析題型一一元二次方程及一元二次方程的解【例1】（2022秋?商洛期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x3+2x＝0 B．x（x﹣3）＝0 C． D．y﹣x2＝4【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，根據(jù)定義即可做出判斷．【解答】解：A．x3+2x＝0，未知數(shù)最高次數(shù)是3，不是一元二次方程，不符合題意；B．x（x﹣3）＝0是一元二次方程，符合題意；C．是分式方程，不是一元二次方程，不符合題意；D．y﹣x2＝4含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，不符合題意．故選：B．【例2】（2023春?東陽市期末）將方程2x2+7＝4x改寫成ax2+bx+c＝0的形式，則a，b，c的值分別為（）A．2，4，7 B．2，4，﹣7 C．2，﹣4，7 D．2，﹣4，﹣7【分析】根據(jù)任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【解答】解：2x2+7＝4x可化為2x2﹣4x+7＝0，它的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為2，﹣4，7，故選：C．【例3】（2023秋?溫嶺市期末）若a是關(guān)于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一個(gè)根，則2021﹣6a2+2a的值是（）A．2023 B．2022 C．2020 D．2019【分析】先根據(jù)一元二次方程根的定義得到3a2﹣a＝1，再把2021﹣6a2+2a變形為2021﹣2（3a2﹣a），然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：∵a是關(guān)于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一個(gè)根，∴3a2﹣a﹣1＝0，∴3a2﹣a＝1，∴2021﹣6a2+2a＝2021﹣2（3a2﹣a）＝2021﹣2×1＝2019．故選：D．【例4】（2023秋?椒江區(qū)期中）若關(guān)于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，則m＝__0__．【分析】根據(jù)一元二次方程必須滿足四個(gè)條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是2；二次項(xiàng)系數(shù)不為0；是整式方程；含有一個(gè)未知數(shù)，可得答案．【解答】解：∵方程（m﹣4）x|m﹣2|+3x+5＝0是一元二次方程，∴，解得m＝0．故答案為：0．【例5】（2023秋?息縣期中）若一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0的一個(gè)根為x＝2，則a＝__1__．【分析】把x＝2代入方程得出4﹣2a﹣2＝0，再求出方程的解即可．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0的一個(gè)根為x＝2，∴4﹣2a﹣2＝0，解得a＝1，故答案為：1．鞏固訓(xùn)練1．（2022秋?讓胡路區(qū)校級期末）在下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A． B．x2﹣3x+2 C．﹣5x2+3y﹣2＝0 D．y2＝16【分析】根據(jù)一元二次方程的定義依次判斷即可．【解答】解：∵2x2+x＝﹣5是分式方程，∴A不合題意．∵x2﹣3x+2是代數(shù)式，不是方程，∴B不合題意．∵﹣5x2+3y﹣2＝0含兩個(gè)未知數(shù)，是二元方程，∴C不合題意．∵y2＝16是含一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，∴D符合題意．故選：D．2．（2023秋?明山區(qū)校級期中）把一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝1化成一般形式，正確的是（）A．x2+x﹣5＝0 B．x2﹣5x﹣5＝0 C．x2+x﹣7＝0 D．x2﹣5x+6＝0【分析】根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）的一般形式，a、b、c分別是二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)，可得答案．【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝1，x2+x﹣6＝1，x2+x﹣7＝0，故選：C．3．（2023秋?桂東縣期末）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c滿足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，則方程的根是（）A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．無法確定【分析】本題根據(jù)一元二次方程的根的定義、一元二次方程的定義求解，代入方程的左右兩邊，看左右兩邊是否相等．【解答】解：在這個(gè)式子中，如果把x＝1代入方程，左邊就變成a+b+c，又由已知a+b+c＝0可知：當(dāng)x＝1時(shí)，方程的左右兩邊相等，即方程必有一根是1，同理可以判斷方程必有一根是﹣1．則方程的根是1，﹣1．故選：C．4．（2022春?朝陽區(qū)校級期中）若（m﹣2）x2﹣3x+5＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍為__m≠2__．【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式，可知二次項(xiàng)系數(shù)不為0，根據(jù)這一條件列出不等式，求出m的值即可．【解答】解：由題意，得m﹣2≠0，∴m≠2，故答案為：m≠2．5．（2022春?嘉興期末）構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，要求：①常數(shù)項(xiàng)不為0；②有一個(gè)根為﹣1．這個(gè)一元二次方程可以是__x2﹣1＝0__（寫出一個(gè)即可）．【分析】直接利用一元二次方程的一般形式進(jìn)而得出答案．【解答】解：由題意可得，方程可以為：（x+1）（x﹣1）＝0，即x2﹣1＝0．故答案為：x2﹣1＝0．6．（2023春?義烏市期末）已知a為方程x2﹣3x﹣6＝0的一個(gè)根，則代數(shù)式6a﹣2a2+5的值為__﹣7__．【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到a2﹣3a＝6，再把6a﹣2a2+5變形為﹣2（a2﹣3a）+5，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：∵a是方程x2﹣3x﹣6＝0的一個(gè)根，∴a2﹣3a﹣6＝0，∴a2﹣3a＝6，∴6a﹣2a2+5＝﹣2（a2﹣3a）+5＝﹣2×6+5＝﹣7．故答案為：﹣7．題型二一元二次方程的解法【例1】（2022秋?宜興市期末）方程（x+3）2＝4的根是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝1，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝5【分析】利用直接開平方法解方程即可．【解答】解：（x+3）2＝4，∴x+3＝±2，∴x1＝﹣1，x2＝﹣5，故選：A．【例2】（2023秋?臨江市期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，則配方正確的是（）A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+2）2＝7【分析】先把﹣3移到方程的右邊，然后方程兩邊都加4，再把左邊根據(jù)完全平方公式寫成完全平方的形式即可．【解答】解：∵x2﹣4x﹣3＝0，∴x2﹣4x＝3，∴x2﹣4x+4＝3+4，∴（x﹣2）2＝7．故選：C．【例3】（2023?浦江縣模擬）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的解是（）A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝﹣3，x2＝1 C．x1＝3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣3，x2＝﹣1【分析】利用因式分解法解答，即可求解．【解答】解：x2﹣4x+3＝0，（x﹣3）（x﹣1）＝0，∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，∴x1＝3，x2＝1．故選：A．【例4】（2023秋?青山區(qū)校級期中）三角形兩邊長分別為7和4，第三邊是方程x2﹣11x+18＝0的解，則這個(gè)三角形的周長是（）A．13 B．13或20 C．12 D．20【分析】先利用解一元二次方程的解﹣因式分解法進(jìn)行計(jì)算，可求出x1＝2，x2＝9，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：x＝2不符合題意，舍去，從而根據(jù)三角形的周長公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：x2﹣11x+18＝0，（x﹣2）（x﹣9）＝0，x﹣2＝0或x﹣9＝0，x1＝2，x2＝9，∵三角形兩邊長分別為7和4，∴x＝2不符合題意，舍去，∴這個(gè)三角形的周長＝7+4+9＝20，故選：D．【例5】（2023?桐廬縣一模）已知一元二次方程（x﹣2）2＝3的兩根為a、b，且a＞b，則2a+b的值為__6+__．【分析】先利用直接開平方法解方程得到a＝2+，b＝2﹣，然后把它們代入2a+b中計(jì)算即可．【解答】解：（x﹣2）2＝3，x﹣2＝±，解得x1＝2+．x2＝2﹣，∵方程（x﹣2）2＝3的兩根為a、b，且a＞b，∴a＝2+，b＝2﹣，∴2a+b＝2（2+）+2﹣＝6+．故答案為：6+．【例6】（2023秋?武進(jìn)區(qū)校級月考）用配方法解方程x2+4x﹣3＝0，配方得（x+m）2＝7，常數(shù)m的值是__2__．【分析】根據(jù)配方法的一般步驟先把常數(shù)項(xiàng)2移項(xiàng)后，應(yīng)該在左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)﹣6的一半的平方，即可得出答案．【解答】解：x2+4x﹣3＝0，x2+4x＝3，x2+4x+4＝3+4，（x+2）2＝7，則m＝2．故答案為：2．【例7】（2023?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）方程x（x+1）＝2（x+1）的解是__x1＝2，x2＝﹣1__．【分析】移項(xiàng)后分解因式得到（x+1）（x﹣2）＝0，推出方程x+1＝0，x﹣2＝0，求出方程的解即可【解答】解：x（x+1）＝2（x+1），移項(xiàng)得：x（x+1）﹣2（x+1）＝0，即（x+1）（x﹣2）＝0，∴x+1＝0，x﹣2＝0，解方程得：x1＝2，x2＝﹣1，故答案為：x1＝2，x2＝﹣1．【例8】（2023秋?溫嶺市期末）解方程：2x2﹣4x＝15．【分析】利用配方法解一元二次方程．【解答】解：2x2﹣4x＝15，二次項(xiàng)系數(shù)化1，得：x2﹣2x＝，配方，得：x2﹣2x+1＝+1，（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，∴x1＝，x2＝．【例9】（2023春?海曙區(qū)校級期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）（2x﹣1）2＝4；（2）x2﹣10x+8＝0．【分析】（1）利用直接開方法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可．【解答】解：（1）（2x﹣1）2＝4，2x﹣1＝±2，解得x1＝﹣，x2＝；（2）x2﹣10x+8＝0，x2﹣10x＝﹣8，x2﹣10x+25＝﹣8+25，（x﹣5）2＝17，∴x﹣5＝±，解得x1＝5﹣，x2＝5+．【例10】（2023秋?臨海市期中）解方程：（1）x2＝81；（2）x2﹣10x+21＝0．【分析】（1）利用直接開方法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【解答】解：（1）x2＝81，解得x1＝9，x2＝﹣9；（2）x2﹣10x+21＝0，因式分解得，（x﹣3）（x﹣7）＝0，即x﹣3＝0或x﹣7＝0，解得x1＝3，x2＝7．【例11】（2023春?衢州期末）解方程：（1）2y2+3y﹣1＝0；（2）x（x﹣4）＝﹣4．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣公式法，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）2y2+3y﹣1＝0，∵a＝2，b＝3，c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17＞0，∴，∴，；（2）x（x﹣4）＝﹣4，x2﹣4x＝﹣4，x2﹣4x+4＝0，（x﹣2）2＝0，x1＝x2＝2．【例12】（2023春?下城區(qū)校級月考）以下是圓圓在用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的過程：解：移項(xiàng)得：x2﹣2x＝4配方：x2﹣2x+1＝4（x﹣1）2＝4開平方得：x﹣1＝±2移項(xiàng)：x＝±2+1所以：x1＝3，x2＝3圓圓的解答過程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請寫出正確的解答過程．【分析】直接利用配方法解一元二次方程的方法進(jìn)而分析得出答案．【解答】解：圓圓的解答過程有錯(cuò)誤，正確的解答過程如下：移項(xiàng)得：x2﹣2x＝4，配方：x2﹣2x+1＝4+1，（x﹣1）2＝5，開平方得：x﹣1＝±，移項(xiàng)：x＝±+1，所以：x1＝+1，x2＝﹣+1．鞏固訓(xùn)練1．（2023春?溫州期末）用配方法解方程x2+6x+3＝0時(shí)，配方結(jié)果正確的是（）A．（x+3）2＝12 B．（x﹣3）2＝12 C．（x﹣3）2＝6 D．（x+3）2＝6【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程的步驟計(jì)算即可．【解答】解：∵x2+6x+3＝0，∴x2+6x＝﹣3，∴x2+6x+9＝﹣3+9，即（x+3）2＝6，故選：D．2．（2023春?杭州期末）方程x2＝5x的解是（）A．x＝5 B．x＝0 C．x1＝﹣5；x2＝0 D．x1＝5；x2＝0【分析】先把方程化為一般式，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：x2﹣5x＝0，x（x﹣5）＝0，x＝0或x﹣5＝0，所以x1＝0，x2＝5，故選：D．3．（2018秋?江油市月考）一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（）A．x＝1﹣ B．x＝ C．x＝﹣1+ D．x＝【分析】先計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義可判斷方程根的情況．【解答】解：∵Δ＝12﹣4×（﹣1）＝5＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即x＝．故選：D．4．（2023秋?順德區(qū)校級月考）用因式分解法解方程9x2＝（x﹣2）2時(shí)，因式分解結(jié)果正確的是（）A．4（2x﹣1）（x﹣1）＝0 B．4（2x+1）（x﹣1）＝0 C．4（2x﹣1）（x+1）＝0 D．4（2x+1）（x+1）＝0【分析】移項(xiàng)，然后利用平方差公式分解因式解即可．【解答】解：9x2＝（x﹣2）2，9x2﹣（x﹣2）2＝0，（3x+x﹣2）（3x﹣x+2）＝0，（4x﹣2）（2x+2）＝0，4（2x﹣1）（x+1）＝0，故選：C．5．（2023秋?婁底期中）關(guān)于x的一元二次方程x2＝a的兩個(gè)根分別是2m﹣1與m﹣5，則m＝__2__．【分析】利用直接開平方法解方程x2＝a得到方程的兩根互為相反數(shù)，則2m﹣1+m﹣5＝0，則可計(jì)算出m＝3即可．【解答】解：根據(jù)題意得2m﹣1+m﹣5＝0，解得m＝2，故答案為：2．6．（2022?海曙區(qū)一模）代數(shù)式x2﹣2x與4x的值相等，則x的值為__x1＝0，x2＝6__．【分析】根據(jù)題意列出方程，求出方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到x的值．【解答】解：根據(jù)題意得：x2﹣2x＝4x，整理得：x2﹣6x＝0，分解因式得：x（x﹣6）＝0，所以x＝0或x﹣6＝0，解得：x1＝0，x2＝6．故答案為：x1＝0，x2＝6．7．（2021秋?鎮(zhèn)江期末）對方程x2x＝0進(jìn)行配方，得+m＝+m，其中m＝____．【分析】方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，依此可求m．【解答】解：由題意得：m＝（÷2）2＝．故答案為：．8．（2023秋?南山區(qū)期中）對于實(shí)數(shù)m，n，先定義一種運(yùn)算“?”如下：，若x?（﹣2）＝10，則實(shí)數(shù)x的值為__3__．【分析】分兩種情況：當(dāng)x≥﹣2時(shí)，當(dāng)x＜﹣2時(shí)，然后按照定義新運(yùn)算，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：分兩種情況：當(dāng)x≥﹣2時(shí)，∵x?（﹣2）＝10，∴x2+x﹣2＝10，x2+x﹣12＝0，（x+4）（x﹣3）＝0，x+4＝0或x﹣3＝0，x1＝﹣4（舍去），x2＝3，當(dāng)x＜﹣2時(shí)，∵x?（﹣2）＝10，∴（﹣2）2+x﹣2＝10，x＝8（舍去），綜上所述：x＝3，故答案為：3．9．（2023?濱江區(qū)校級開學(xué)）計(jì)算與解方程：（1）；（2）．【分析】（1）先把各二次根式化為最簡二次根式，體會合并同類二次根式即可；（2）先計(jì)算出根的判別式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【解答】解：（1）原式＝6﹣2﹣＝6﹣；（2）x2﹣6x﹣3＝0，∵a＝1，b＝﹣6，c＝﹣3，∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣3）＝4×21＞0，∴x＝＝3±，∴x1＝3+，x2＝3﹣．10．（2023春?婺城區(qū)期末）解方程：（1）（x+1）2＝16；（2）x2﹣4x＝2．【分析】（1）利用直接開平方法求解即可；（2）利用公式法求解即可．【解答】解：（1）（x+1）2＝16，x+1＝±4，解得：x1＝3，x2＝﹣5，（2）x2﹣4x＝2，x2﹣4x﹣2＝0，b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝24＞0，，解得：．11．（2023春?義烏市校級期中）用適當(dāng)方法解下列方程：（1）x2﹣7x+2＝0；（2）2x（x﹣3）+x＝3．【分析】（1）方程利用公式法求出解即可；（2）方程利用因式分解法求出解即可．【解答】解：（1）x2﹣7x+2＝0這里a＝1，b＝﹣7，c＝2，∵Δ＝49﹣8＝41＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝；（2）方程整理得：2x（x﹣3）+（x﹣3）＝0，分解因式得：（x﹣3）（2x+1）＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣．12．（2023秋?靈寶市期中）解方程：（1）4x2＝（x+2）2；（2）2x2+4x﹣5＝0．【分析】（1）先移項(xiàng)，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為2x+x+2＝0或2x﹣x﹣2＝0，然后解兩個(gè)一次方程即可；（2）利用配方法得到（x+1）2＝，然后利用直接開平方法解方程．【解答】解：（1）4x2＝（x+2）2，4x2﹣（x+2）2＝0，（2x+x+2）（2x﹣x﹣2）＝0，2x+x+2＝0或2x﹣x﹣2＝0，所以x1＝﹣，x2＝2；（2）2x2+4x﹣5＝0，x2+2x＝，x2+2x+1＝+1，（x+1）2＝，x+1＝±，所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．13．（2023秋?阜寧縣期中）解下列方程：（1）x（x+1）＝（x+1）；（2）2x2﹣3x﹣1＝0．【分析】（1）移項(xiàng)后，利用因式分解法求解即可；（2）直接利用公式法求解即可．【解答】解：（1）x（x+1）＝（x+1），∴x（x+1）﹣（x+1）＝0，∴（x+1）（x﹣1）＝0，∴x+1＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝1；（2）2x2﹣3x﹣1＝0，∴a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∴，∴，．14．（2023春?拱墅區(qū)期中）已知關(guān)于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0，（1）證明：當(dāng)a取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程都是一元二次方程：（2）當(dāng)a＝2時(shí)，解這個(gè)方程．【分析】（1）要證明無論a取何實(shí)數(shù)這個(gè)方程都是一元二次方程，只要說明無論a為什么值時(shí)a2﹣4a+5的值都不是0，可以利用配方法來證明；（2）當(dāng)a＝2時(shí)，就可以求出方程的具體形式，解方程就可求出方程的解．【解答】（1）證明：a2﹣4a+5＝（a2﹣4a+4）+1＝（a﹣2）2+1，∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+1≠0，∴無論a取何實(shí)數(shù)關(guān)于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0都是一元二次方程；（2）解：當(dāng)a＝2時(shí)，原方程變?yōu)閤2+4x+4＝0，解得x1＝x2＝﹣2．題型三根的判別式【例1】（2023?太康縣模擬）若k＜0，則關(guān)于x的一元二次方程x2+x+k﹣1＝0根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．沒有實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【分析】先計(jì)算根的判別式的值得到Δ＝5﹣4k，再利用k＜0可判斷即Δ＞0，然后根據(jù)根的判別式的意義進(jìn)行判斷．【解答】解：∵Δ＝12﹣4（k﹣1）＝5﹣4k，而k＜0，∴5﹣4k＞0，即Δ＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．【例2】（2022秋?桐柏縣期末）關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則k的取值范圍是（）A．k＜ B．k＜且k≠1 C．0≤k≤ D．k≠1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和△的意義得到k﹣1≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＞0，然后解不等式即可得到k的取值范圍．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+3＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴k﹣1≠0，即k≠1，Δ＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）×3＝﹣12k+16，∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，∴Δ＞0，∴﹣12k+16＞0，∴k＜，∴k的取值范圍是k＜且k≠1．故選：B．【例3】（2023秋?西工區(qū)期中）直線y＝x+a不經(jīng)過第二象限，則關(guān)于x的方程ax2+2x+1＝0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．1或2【分析】利用一次函數(shù)的性質(zhì)得到a≤0，再判斷Δ＝22﹣4a＞0，從而得到方程根的情況．【解答】解：∵直線y＝x+a不經(jīng)過第二象限，∴a≤0，當(dāng)a＝0時(shí)，關(guān)于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程，解為x＝﹣，當(dāng)a＜0時(shí)，關(guān)于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，∵Δ＝22﹣4a＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：D．【例4】（2023?葫蘆島一模）已知一元二次方程x2+6x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為__9__．【分析】根據(jù)方程x2+6x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可知Δ＝0，求出k的值即可．【解答】解：∵一元二次方程x2+6x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝62﹣4m＝0，∴m＝9．故答案為：9．【例5】（2023秋?奉化區(qū)期末）如果滿足||x2﹣6x﹣16|﹣10|＝a的實(shí)數(shù)x恰有4個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__10＜a＜15__．【分析】可以根據(jù)函數(shù)的圖象，先畫出y＝x2﹣6x﹣16圖象，x軸以下向上反射得到的圖象再向下平移10個(gè)單位后，再次將x軸以下反射上去，得到y(tǒng)＝||x2﹣6x﹣16|﹣10|的圖象，因?yàn)閥＝a的圖象是一條橫線，通過圖象得a的取值范圍．【解答】解：如圖，10＜a＜15時(shí)，兩函數(shù)有4個(gè)交點(diǎn)．故答案為：10＜a＜15．【例6】（2023秋?黃埔區(qū)校級期中）對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說法：①若a+b+c＝0，則b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程ax2+bx+c＝0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根，則一定有ac+b+1＝0成立；④存在實(shí)數(shù)m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；其中正確的（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【分析】①a+b+c＝0說明原方程有根是1，即可判斷；②判斷方程的根的情況，根據(jù)根的判別式Δ＝b2﹣4ac的值的符號即可判斷；③c是方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根，則ac2+bc+c＝0，整理后即可判斷；④根據(jù)am2+bm+c﹣（an2+bn+c）＝（m﹣n）[a（m+n）+b]．得到當(dāng)a（m+n）+b＝0時(shí)，am2+bm+c﹣（an2+bn+c）＝0．于是得到結(jié)論．【解答】解：①若a+b+c＝0，則方程ax2+bx+c＝0必有一個(gè)根為1，∴b2﹣4ac≥0，正確；②若方程ax2+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則﹣4ac＞0，可知b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，正確；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)根，則ac2+bc+c＝0，若c＝0時(shí)，ac+b+1＝0不成立，錯(cuò)誤；④am2+bm+c﹣（an2+bn+c）＝a（m2﹣n2）+b（m﹣n）＝a（m+n）（m﹣n）+b（m﹣n）＝（m﹣n）[a（m+n）+b]．∵m≠n．∴m﹣n≠0．∴當(dāng)a（m+n）+b＝0時(shí)，am2+bm+c﹣（an2+bn+c）＝0．∴存在實(shí)數(shù)m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c．正確．故選：B．【例7】（2023秋?興隆縣期中）已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0．（1）若方程的一個(gè)根為x＝﹣1，則a的值為__﹣14__；（2）若方程有實(shí)數(shù)根，則滿足條件的正整數(shù)a的值為__4，2，1__．【分析】（1）將x＝﹣1代入一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0即可求a；（2）由于根的存在性可得Δ＝64﹣36（a﹣3）≥0，再結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)a≠3，可求a的范圍進(jìn)而解答．【解答】解：（1）∵方程的一個(gè)根為x＝﹣1，將x＝﹣1代入一元二次方程（a﹣3）x2﹣8x+9＝0，可得a﹣3+8+9＝0，∴a＝﹣14；故答案為：﹣14；（2）∵（a﹣3）x2﹣8x+9＝0是一元二次方程，∴a≠3，∵方程有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝64﹣36（a﹣3）≥0，∴a≤，∴a≤且a≠3，∵a是正整數(shù)，∴a＝4，2，1．故答案為：4，2，1．【例8】（2023春?鎮(zhèn)海區(qū)期末）定義：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）滿足b＝ac．則稱此方程為“蛟龍”方程．（1）當(dāng)b＜0時(shí)，判斷此時(shí)“蛟龍”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）解的情況，并說明理由．（2）若“蛟龍”方程2x2+mx+n＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，請解出此方程．【分析】（1）根據(jù)“蛟龍”方程的定義得b＝ac，故Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4b＝b（b﹣4），當(dāng)b＜0時(shí)，Δ＞0，根據(jù)判別式的意義即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)“蛟龍”方程的定義得m＝2n，根據(jù)判別式的意義得Δ＝m2﹣4×2n＝4n2﹣8n＝0，求出n，進(jìn)而得到方程的解．【解答】解：（1）“蛟龍”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，理由如下：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）為“蛟龍”方程，∴b＝ac，∵b＜0，∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4b＝b（b﹣4）＞0，∴“蛟龍”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）∵方程2x2+mx+n＝0為“蛟龍”方程，∴m＝2n，∵方程2x2+mx+n＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝m2﹣4×2n＝4n2﹣8n＝0，∴n＝0或2，當(dāng)n＝0時(shí)，方程為2x2＝0，解得x1＝x2＝0；當(dāng)n＝2時(shí)，方程為2x2+4x+2＝0，解得x1＝x2＝﹣1．故此方程的解為0或﹣1．【例9】（2023秋?阿榮旗期末）關(guān)于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0（1）求證：方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若此方程的一個(gè)根為1，求m的值；（3）求出以此方程兩根為直角邊的直角三角形的周長．【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0的根的判別式的符號來證明結(jié)論；（2）根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x＝1代入方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0，即可求得m的值；（3）先由根與系數(shù)的關(guān)系求得方程的另一根為3，再由勾股定理得斜邊的長度為，再根據(jù)三角形的周長公式進(jìn)行計(jì)算．【解答】（1）證明：∵Δ＝（m+2）2﹣4（2m﹣1）＝（m﹣2）2+4，∴在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，m無論取何值，（m﹣2）2+4＞0，即Δ＞0，∴關(guān)于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：根據(jù)題意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）＝0，解得m＝2；（3）解：方程的另一根為：m+2﹣1＝2+1＝3；由勾股定理得斜邊的長度為：；該直角三角形的周長為1+3+＝4+．【例10】（2022秋?伊川縣期末）已知關(guān)于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分別為△ABC三邊的長．（1）如果x＝﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（2）如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根．【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，從而可判斷三角形的形狀；（2）根據(jù)判別式的意義得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根據(jù)勾股定理可判斷三角形的形狀；（3）利用等邊三角形的性質(zhì)得a＝b＝c，方程化為x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，則a＝b，所以△ABC為等腰三角形；（2）△ABC為直角三角形；理由：根據(jù)題意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC為直角三角形；（3）∵△ABC為等邊三角形，∴a＝b＝c，∴方程化為x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．鞏固訓(xùn)練1．（2023?武進(jìn)區(qū)校級模擬）一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的根的情況是（）A．沒有實(shí)數(shù)根B．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根【分析】先計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0，其中a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣3）＝28＞0，∴一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：C．2．（2023?泗陽縣一模）若關(guān)于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則c的值可能為（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根得出Δ＝42﹣4×1×c＞0，解之可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，得：Δ＝42﹣4×1×c＞0，解得c＜4，故選：D．3．（2023?滁州二模）若關(guān)于x的方程kx2﹣x+3＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k≤12 B．k≤ C．k≤12且k≠0 D．k≤且k≠0【分析】由于k的取值不確定，故應(yīng)分k＝0（此時(shí)方程化簡為一元一次方程）和k≠0（此時(shí)方程為二元一次方程）兩種情況進(jìn)行解答．【解答】解：當(dāng)k＝0時(shí)，﹣x+3＝0，解得x＝3，當(dāng)k≠0時(shí)，方程kx2﹣x+3＝0是一元二次方程，根據(jù)題意可得：Δ＝1﹣4k×3≥0，解得k≤，k≠0，綜上k≤，故選：B．4．（2023?大安市四模）關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值為__9__．【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式的意義，方程x2+6x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則有Δ＝0，得到關(guān)于m的方程，解方程即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝0，即62﹣4×1×m＝0，解得m＝9．故答案為：9．5．（2023春?浙江期中）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，存在2個(gè)不同的x的值，使代數(shù)式x2﹣3x+c與代數(shù)式x+2值相等，則c的取值范圍是__c＜6__．【分析】根據(jù)題意可得方程x2﹣3x+c＝x+2有兩個(gè)不相等的根，即判別式Δ＞0，即可求解．【解答】解：由題意得，方程x2﹣3x+c＝x+2有兩個(gè)不相等的根，整理得x2﹣4x+c﹣2＝0，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（c﹣2）＞0，解得：c＜6，故答案為：c＜6．6．（2022秋?臨海市期末）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若m為方程的其中一個(gè)實(shí)數(shù)根，令n＝2m2﹣4m+3c﹣1，則n的取值范圍是__n＜0__．【分析】由根的判別式求得c﹣1＜0，由一元二次方程根的定義得到m2﹣2m＝﹣c，整體代入n＝2m2﹣4m+3c﹣1，即可求解．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4c＞0，∴c﹣1＜0，∵m為方程的其中一個(gè)實(shí)數(shù)根，∴m2﹣2m+c＝0，即m2﹣2m＝﹣c，∵n＝2m2﹣4m+3c﹣1＝2（m2﹣2m）+3c﹣1＝﹣2c+3c﹣1＝c﹣1＜0，故答案為：n＜0．7．（2023?順慶區(qū)三模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣1＝0．（1）求證：無論k取何值，該方程總有實(shí)數(shù)根；（2）已知等腰三角形的一邊a為2，另兩邊恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求k的值．【分析】（1）計(jì)算根的判別式得到Δ＝（k﹣2）2，則Δ≥0，從而得到結(jié)論；（2）利用因式分解法解方程x2﹣kx+k﹣1＝0得x1＝k﹣1，x2＝1，討論：當(dāng)k﹣1＝1時(shí)，k＝2，因?yàn)?+1＝2，不符合三角形三邊的關(guān)系，舍去；當(dāng)k﹣1＝2時(shí)，即k＝3，符合三角形三邊的關(guān)系．【解答】（1）證明：∵Δ＝（﹣k）2﹣4（k﹣1）＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，∴無論k取何值，該方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：解方程x2﹣kx+k﹣1＝0得x1＝k﹣1，x2＝1，當(dāng)k﹣1＝1時(shí)，k＝2，因?yàn)?+1＝2，不符合三角形三邊的關(guān)系，舍去；當(dāng)k﹣1＝2時(shí)，即k＝3，三角形的三邊為2、2、1，綜上所述，k的值為3．8．（2022秋?營口期中）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+（m﹣2）＝0．（1）求證：無論m取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）已知方程有一根大于6，求m的取值范圍．【分析】（1）先計(jì)算判別式的值，再配方得到Δ＝（m﹣3）2≥0，然后根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；（2）先利用求根公式得到x1＝1，x2＝m﹣2，則m﹣2＞6，然后解不等式即可．【解答】（1）證明：Δ＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×（m﹣2）＝m2﹣2m+1﹣4m+8＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2≥0，∴無論m取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）由求根公式得x＝＝，∴x1＝1，x2＝m﹣2，∵方程有一根大于6，∴m﹣2＞6，解得m＞8．9．（2023秋?化州市期中）關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有實(shí)數(shù)根．（1）求m的取值范圍；（2）若m為正整數(shù)，求出此時(shí)方程的根．【分析】（1）由二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式Δ≥0，可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍；（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合m為正整數(shù)，可得出m的值，再其代入原方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有實(shí)數(shù)根，∴，解得：m≤且m≠0，∴m的取值范圍為m≤且m≠0；（2）∵m≤且m≠0，m為正整數(shù)，∴m＝1，∴原方程為x2﹣4x+3＝0，即（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴此時(shí)方程的根為1和3．10．（2022春?慈溪市校級期中）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有實(shí)數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）如果k是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0與方程x2﹣3x+k＝0有一個(gè)相同的根，求此時(shí)m的值．【分析】（1）利用根的判別式的意義得到Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，然后解不等式即可；（2）先求出k的值，再代入方程x2﹣3x+k＝0，求出x＝2或x＝1，把x＝2或x＝1代入方程求出m的值即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意得Δ＝（﹣3）2﹣4k≥0，解得k≤；（2）∵k是符合條件的最大整數(shù)，∴當(dāng)k≤時(shí)的最大整數(shù)值是2，則關(guān)于x的方程x2﹣3x+k＝0是x2﹣3x+2＝0，解得：x1＝1，x2＝2，∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0與方程x2﹣3x+k＝0有一個(gè)相同的根，∴當(dāng)x＝2時(shí)，4（m﹣1）+2+m﹣3＝0，解得m＝1；而m﹣1≠0，所以m＝1舍去，當(dāng)x＝1時(shí)，（m﹣1）+1+m﹣3＝0，解得m＝，∴m的值為．題型四根與系數(shù)的關(guān)系【例1】（2022秋?泰和縣期末）已知a，b是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩根，則a+b﹣2ab等于（）A．7 B．﹣5 C．﹣7 D．5【分析】利用根與系數(shù)關(guān)系即可解決問題．【解答】解：∵a，b是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩根，∴a+b＝﹣1，ab＝﹣3，∴a+b﹣2ab＝﹣1﹣2×（﹣3）＝5．故選：D．【例2】（2023春?西湖區(qū)校級期中）若x1，x2是方程x2+x﹣2＝0的兩實(shí)數(shù)根，則﹣x2+2的值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】先根據(jù)一元二次方程根的定義得到＝﹣x1+2，則﹣x2+2化為﹣（x1+x2）+4，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2＝﹣1，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解答】解：∵x1是方程x2+x﹣2＝0的根，∴+x1﹣2＝0，∴＝﹣x1+2，∴﹣x2+2＝﹣x1+2﹣x2+2＝﹣（x1+x2）+4，∵x1，x2是方程x2+x﹣2＝0的兩實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝﹣1，∴﹣x2+2＝1+4＝5．故選：A．【例3】（2023春?拱墅區(qū)期中）對于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列說法：①若a+b+c＝0，則方程必有一根為x＝1；②若方程ax2+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則方程ax2+bx+c＝0無實(shí)根；③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）兩根為x1，x2且滿足x1≠x2≠0，則方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有實(shí)根，；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，則．其中正確的（）A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④【分析】①由a+b+c＝0，可得出x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解；②由方程ax2+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，可得出Δ＝﹣4ac＞0，結(jié)合偶次方的非負(fù)性，可得出Δ＝b2﹣4ac＞0，進(jìn)而可得出方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根；③由根與系數(shù)的關(guān)系，可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，變形得出﹣＝＝+，＝＝?，即可得出方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有實(shí)根，；④利用求根公式，可得出x0＝，變形后即可得出b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．【解答】解：①∵a+b+c＝0，∴當(dāng)x＝1時(shí)，ax2+bx+c＝a+b+c＝0，∴x＝1為方程ax2+bx+c＝0的一根，故說法①正確；②∵方程ax2+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，∴﹣4ac＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，故說法②錯(cuò)誤；③∵若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）兩根為x1，x2且滿足x1≠x2≠0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴﹣＝＝+，＝＝?，∴方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有實(shí)根，，故說法③正確；④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，∴x0＝，∴±＝2ax0+b，∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故說法④正確．∴正確的結(jié)論有①③④．故選：D．【例4】（2022秋??？谄谀┮阎P(guān)于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一個(gè)根是2，則另一個(gè)根是__﹣7__．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．【解答】解：設(shè)另一個(gè)根為x，則x+2＝﹣5，解得x＝﹣7．故答案為﹣7．【例5】（2023秋?長汀縣期中）已知x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的兩根，則代數(shù)式的值為____．【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系作答．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣3x+1＝0的兩根，∴x1+x2＝3，x1?x2＝1．∴＝＝．故答案為：．【例6】（2022秋?淥口區(qū)期末）已知：關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+m＝0．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一根為﹣3，求m的值，并求另一根；（3）若方程兩根為x1，x2，且滿足，求m的值．【分析】（1）先計(jì)算Δ＝b2﹣4ac，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可證明；（2）將x＝﹣3代入方程中，可求出m的值，再解方程即可求得另一根；（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2＝m+1，x1x2＝m，根據(jù)可得，再整體代入即可求解．【解答】（1）證明：∵Δ＝（m+1）2﹣4×1×m＝m2+2m+1﹣4m＝m2﹣2m+1＝（m﹣1）2≥0，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：∵方程有一根為﹣3，∴（﹣3