2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3．已知圓錐的側(cè)面積為，軸截面面積為1，則該圓錐的母線與底面所成角的大小為（

）A．15° B． C． D．4．已知單位向量滿足，則（

）A． B． C． D．5．由，可求得的值為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．如圖，三棱柱中，E，F(xiàn)分別是AB、AC的中點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為（左為，右為）兩部分，則（

）A．5:6 B．3:4 C．1:2 D．5:78．在半徑為2的圓上任取三個(gè)不同的點(diǎn)且，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．B．C．當(dāng)時(shí)，取得最小值D．記，則數(shù)列的前項(xiàng)和為10．已知點(diǎn)，，且點(diǎn)在直線：上，則（

）A．存在點(diǎn)，使得 B．存在點(diǎn)，使得C．的最小值為 D．最大值為311．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），且平面，則下列說法正確的有（

）

A．動(dòng)點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為B．三棱錐體積的最小值為C．與不可能垂直D．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為三、填空題（本大題共3小題）12．已知平面截半徑為R的球所得的截面圓的周長(zhǎng)等于大圓周長(zhǎng)的一半，則球心到平面的距離為.13．已知圓，過點(diǎn)的直線與圓交于B，C兩點(diǎn)，且，則.14．已知函數(shù)是R上奇函數(shù)，若數(shù)列的項(xiàng)滿足：（）.則數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列是等比數(shù)列，是常數(shù)列，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，．(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．17．在銳角三角形ABC中，角的對(duì)邊分別為若，且.(1)求；(2)求的最大值.18．如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形，,,.(1)證明：平面；(2)已知平面與平面的夾角的余弦值為，求.19．已知函數(shù).(1)求函數(shù)圖象上點(diǎn)到直線的最短距離；(2)若恒成立，求的取值范圍；(3)若函數(shù)與的圖象存在公切線，求正實(shí)數(shù)的最小值.

答案1．【正確答案】D【詳解】由，得，則，而，所以.故選：D2．【正確答案】B【詳解】由，得，即，整理得，所以.故選：B3．【正確答案】C【詳解】設(shè)圓錐的母線為，底面半徑為，高為，由題意可得：，解得，設(shè)該圓錐的母線與底面所成的角為，則，可得，所以該圓錐的母線與底面所成的角為.故選：C.4．【正確答案】A【詳解】單位向量滿足，則，，，所以.故選：A5．【正確答案】B【詳解】因?yàn)橛忠驗(yàn)?，所以因?yàn)椋运越獾霉蔬x：B.6．【正確答案】A【詳解】函數(shù)定義域?yàn)镽，，即是奇函數(shù)，由，得，則，反之，取，滿足，而，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A7．【正確答案】D【詳解】由題：設(shè)面積為，和的面積為，三棱柱高為；；；總體積為：計(jì)算體積：①②③由題意可知，④根據(jù)①②③④解方程可得：，；則.故選：D．8．【正確答案】D【詳解】在中，由正弦定理，得，即，所以，又，所以或.當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，由，得，所以，由，得，所以，即；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，的最大值為.故選：D.9．【正確答案】BCD【詳解】由題意可設(shè)公差為，則有由有：，故A錯(cuò)誤；故B正確；，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，取得最小值，故C正確；因?yàn)?，所以所以為等差?shù)列，公差為4，首項(xiàng)為，所以的前項(xiàng)和為：故D正確.故選：BCD.10．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于A：設(shè)，若時(shí)，此時(shí)的斜率不存在，，與不垂直，同理時(shí)與不垂直，當(dāng)且時(shí)，，若，則，去分母整理得，，方程無解，故與不垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：設(shè)，若，則，即，由，所以方程有解，則存在點(diǎn)，使得，故B正確；對(duì)于C：如圖設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)（在線段之間），故C正確；

對(duì)于D：如下圖，，當(dāng)且僅當(dāng)在的延長(zhǎng)線與直線的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，故D正確.

故選：BCD11．【正確答案】ABD【分析】對(duì)A由平面，聯(lián)想到存在一個(gè)過的平面與平面平行，利用正方體特征找到平面平面,進(jìn)而得到的軌跡為線段，對(duì)B，根據(jù)棱錐體積公式分析即可，對(duì)C舉反例即可；對(duì)D，利用勾股定理求出外接球半徑即可.【詳解】對(duì)A，如圖，令中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,連接，又正方體中，為棱的中點(diǎn)，可得,，平面,平面,又，且平面，平面平面,又平面，且平面，平面，又為正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），平面平面，而平面平面，，即的軌跡為線段.由棱長(zhǎng)為2的正方體得線段的長(zhǎng)度為，故A正確；對(duì)B，由正方體側(cè)棱底面，所以三棱錐體積為，所以面積最小時(shí)，體積最小，如圖，，易得在處時(shí)最小，此時(shí),所以體積最小值為，故B正確；對(duì)C，當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，由可得,又中點(diǎn)為,中點(diǎn)為,，而，,故C錯(cuò)誤；對(duì)D，如圖，當(dāng)在處時(shí)，三棱錐的體積最大時(shí)，由已知得此時(shí),所以在底面的射影為底面外心，,,,所以底面為直角三角形，所以在底面的射影為中點(diǎn)，設(shè)為，如圖，設(shè)外接球半徑為,由,,可得外接球半徑，外接球的表面積為，故D正確.故選ABD.

12．【正確答案】/【詳解】依題意，平面截半徑為R的球所得的截面圓的周長(zhǎng)為，則該截面圓半徑，所以球心到平面的距離.故13．【正確答案】/【詳解】設(shè)點(diǎn)，而點(diǎn)，且，則是中點(diǎn)，，依題意，，解得，所以.故14．【正確答案】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是R上奇函數(shù)，所以，所以，，兩式相加得：，即.故15．【正確答案】(1)；(2)【詳解】（1）由是常數(shù)列，設(shè)，由數(shù)列是等比數(shù)列，得，而，則，解得，因此，等比數(shù)列的公比，，所以.（2）由（1）知，，所以.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，則，由，得，再由，，平面??，得平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）取中點(diǎn)，連結(jié)，則，由（1）可知，平面平面ABCD，平面平面，所以平面，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，設(shè)平面的法向量為，則取，記與平面所成角為，則．17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所以，?所以.因?yàn)闉殇J角三角形，所以.（2）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，解得，即.所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).即的最大值為.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則為、的中點(diǎn)，且，因?yàn)椋?，則是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則，，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，、平面，所以平?（2）因?yàn)槠矫?，以為原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸，過點(diǎn)且與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則、、，設(shè)，則，且，，，設(shè)平面的法向量為，所以，令，則，由（1）可知，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，化簡(jiǎn)得，所以，，解得，，所以，所以，，即.19．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）設(shè)與平行且與相切的直線，與的切點(diǎn)為，由題設(shè)，，則到直線的距離最短，所以（2）由，從