2024-2025學(xué)年寧夏銀川市高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年寧夏銀川市高二上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)，向量，，，且，，則等于（）A B.3 C. D.4【正確答案】B【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示求出，再根據(jù)向量坐標(biāo)形式的模長(zhǎng)公式計(jì)算即可得解.由題可得，所以向量，，所以，所以.故選：B.2.過(guò)點(diǎn)的等軸雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】先設(shè)出雙曲線(xiàn)的方程為（），代點(diǎn)進(jìn)行求解即可.設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為（），代入點(diǎn)，得，故所求雙曲線(xiàn)的方程為，其標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選：A．3.若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則它們之間的距離是（）A.1 B. C.3 D.4【正確答案】B【分析】先求得m的值，再去求兩平行直線(xiàn)間的距離即可.由直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，可得，解之得則直線(xiàn)與直線(xiàn)間的距離為故選：B4.兩個(gè)圓和的公切線(xiàn)有（）條A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】A【分析】利用幾何法判斷出兩圓的位置關(guān)系，即可得出兩圓的公切線(xiàn)條數(shù).圓可化為，圓的圓心為，半徑，圓可化為，圓的圓心為，半徑，，又，，，圓與內(nèi)切，即公切線(xiàn)有1條.故選：A.5已知且，則二次曲線(xiàn)與必有（）A.不同的頂點(diǎn) B.不同的焦距 C.相同的離心率 D.相同的焦點(diǎn)【正確答案】D【分析】分和兩種情況討論，確定二次方程所表示的曲線(xiàn)的形狀，并求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出結(jié)論.若，則，此時(shí)，二次方程所表示的曲線(xiàn)為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)，焦距為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，而橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)兩曲線(xiàn)的焦點(diǎn)重合；若，則，二次曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且焦距為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)，兩曲線(xiàn)的焦點(diǎn)重合.綜上所述，二次曲線(xiàn)與必有相同的焦點(diǎn).故選：D.本題考查根據(jù)橢圓、雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程求焦點(diǎn)的坐標(biāo)，解題時(shí)要對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，并結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)的位置，考查分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.6.已知雙曲線(xiàn)C：，其一條漸近線(xiàn)被圓截得弦長(zhǎng)為（）A. B.1 C. D.2【正確答案】C【分析】先求出漸近線(xiàn)的方程和圓心到漸近線(xiàn)的距離，再利用圓的弦長(zhǎng)公式求解.雙曲線(xiàn)C：的一條漸近線(xiàn)方程為，即.圓的圓心為，半徑為，所以圓心到漸近線(xiàn)的距離為.所以漸近線(xiàn)被圓截得弦長(zhǎng)為.故選：C7.已知為拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)，為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A.6 B.10 C.4 D.8【正確答案】D【分析】利用拋物線(xiàn)的定義及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，通過(guò)數(shù)形結(jié)合計(jì)算最值即可.如圖，過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)，連接交于點(diǎn).由題意可得的準(zhǔn)線(xiàn)方程為.因?yàn)?，所以，?dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，取得最小值，最小值為，所以的最小值為.故選：D8.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線(xiàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線(xiàn)，經(jīng)橢圓反射，其反射光線(xiàn)必經(jīng)過(guò)橢圓的另一焦點(diǎn)．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，若從橢圓右焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后，滿(mǎn)足，且，則該橢圓的離心率為（）．A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由題意，作圖，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，可設(shè)線(xiàn)段的表示，根據(jù)齊次方程的思想，可得答案.由題意，可作圖如下：則，，即，可設(shè)，，，由，則，即，，在中，，則.故選：D.二．多選題9.已知直線(xiàn)，則（）A若，則B.若，則C.若與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，則D當(dāng)時(shí)，不經(jīng)過(guò)第一象限【正確答案】BCD【分析】對(duì)于AB，根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)位置關(guān)系判斷即可；對(duì)于C，由題得即可解決；對(duì)于D，數(shù)形結(jié)合即可.由題知，直線(xiàn)對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，解得或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，解得，故B正確；對(duì)于C，在直線(xiàn)中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，解得，故C正確；對(duì)于D，由題知當(dāng)時(shí)，的圖象為故D正確；故選：BCD10.已知空間中的三點(diǎn)，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A.不是直線(xiàn)AB的一個(gè)方向向量B.直線(xiàn)AB的一個(gè)單位方向向量是C.與夾角的余弦值是D.平面ABC的一個(gè)法向量是【正確答案】AD【分析】根據(jù)向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示，可判斷A、B項(xiàng)；根據(jù)向量夾角公式，可判斷C項(xiàng)；根據(jù)平面法向量的求法，即可得出結(jié)果判斷D項(xiàng).由題意，空間中的三點(diǎn)，，，對(duì)于A，，，所以不存在實(shí)數(shù)，使得，則不是直線(xiàn)AB的一個(gè)方向向量，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以直線(xiàn)AB的一個(gè)單位方向向量是：，或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，向量，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，，，所以，則，當(dāng)時(shí)，可得，故D正確；故選：AD.11.已知點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線(xiàn).直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.曲線(xiàn)的方程為 B.曲線(xiàn)的離心率為C.直線(xiàn)的方程為 D.的周長(zhǎng)為【正確答案】ACD【分析】由題意作出圖分析可知曲線(xiàn)為橢圓，從而求出橢圓的方程判斷選項(xiàng)A與B，由點(diǎn)差法求出直線(xiàn)的斜率，然后求得直線(xiàn)的方程，可知C正確，由直線(xiàn)過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)，所以的周長(zhǎng)為，可知D正確.如圖：由圖可知點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和始終為定值且，故點(diǎn)的軌跡為：以點(diǎn)與點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓，可設(shè)其方程為，故，，所以，，所以橢圓的方程為：，故A正確；橢圓的離心率為：，故B錯(cuò)誤；直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)為線(xiàn)段中點(diǎn)，設(shè)，，則，.由點(diǎn)差法得：，所以，所以，即，所以直線(xiàn)的方程為：，即，故C正確；由于直線(xiàn)：過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)，所以的周長(zhǎng)為，故D正確。故選：ACD.三．填空題12.雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為_(kāi)_____.【正確答案】【分析】由雙曲線(xiàn)方程求出，則可得漸近線(xiàn)方程.雙曲線(xiàn)，焦點(diǎn)在軸上，且，則，故雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為，即.故答案為.13.若圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則點(diǎn)與圓心的距離的最小值是__________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意得到，再利用數(shù)形結(jié)合思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心到直線(xiàn)的距離.由題意可知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，所以，即，點(diǎn)到圓心距離最小值就是圓心到直線(xiàn)的距離的最小值，又圓心到直線(xiàn)的距離.故14.設(shè)拋物線(xiàn)（）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交C于M，N兩點(diǎn)，直線(xiàn)垂直x軸，，則______________.【正確答案】【分析】由題意得，得到M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為p，根據(jù)焦半徑得到方程，求出，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，得到兩根之和，兩根之積，求出的橫坐標(biāo)，從而由焦半徑公式求出.由題意得，因?yàn)橹本€(xiàn)垂直于x軸，，所以M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為p，設(shè)，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義知，解得，則，則F1,0，，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程有，可得，，，則，則，解得，則．故四．解答題15.圓心在曲線(xiàn)（）上的圓與軸相切，且被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為．（1）求圓的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)且與該圓相切的直線(xiàn)方程．【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）由圓心在直線(xiàn)上，設(shè)出圓心坐標(biāo)，再根據(jù)圓與軸相切，可得半徑與圓心縱坐標(biāo)絕對(duì)值相等，利用弦心距、半徑、半弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形求解即可．（2）分直線(xiàn)斜率存在與不存在兩種情況，表示出所求直線(xiàn)，根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑求解即可．（1）設(shè)圓心為，半徑為，則圓心到直線(xiàn)的距離，而，即，解得（舍去），故所求圓的方程為（2）當(dāng)切線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，其方程為，圓心到直線(xiàn)的距離為，滿(mǎn)足題意．當(dāng)切線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)切線(xiàn)為，即，圓心，半徑，，解得．當(dāng)切線(xiàn)的斜率存在時(shí)，其方程為，即．故切線(xiàn)方程為或．16.已知，點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，點(diǎn)在直線(xiàn)上，且.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若，求的最小值.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列出方程，化簡(jiǎn)即得.（2）由（1）的信息，利用兩點(diǎn)間距離公式列式求出最小值.【小問(wèn)1】設(shè)，則，而，則，由，得，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程是.【小問(wèn)2】點(diǎn)，由（1）知，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.17.已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)右支（且不在坐標(biāo)軸上），（1）若雙曲線(xiàn)與橢圓有共同的焦點(diǎn)，且雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，求該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，，求的面積．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)條件列方程，求出即可得出答案；（2）設(shè)，利用雙曲線(xiàn)的定義，結(jié)合余弦定理，求得，再由求解【小問(wèn)1】橢圓的焦點(diǎn)為和，所以雙曲線(xiàn)C:x2a2?又雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以，由，解得，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2】設(shè)，由雙曲線(xiàn)的定義可得，在中，由余弦定理，得，所以，則的面積，18.如圖，在三棱柱中，平面，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．【正確答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.（Ⅰ）計(jì)算出向量和的坐標(biāo)，得出，即可證明出；（Ⅱ）可知平面的一個(gè)法向量為，計(jì)算出平面的一個(gè)法向量為，利用空間向量法計(jì)算出二面角的余弦值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求解結(jié)果；（Ⅲ）利用空間向量法可求得直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.依題意，以為原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得、、、、、、、、（Ⅰ）依題意，，，從而，所以；（Ⅱ）依題意，是平面的一個(gè)法向量，，．設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得．，．所以，二面角的正弦值為；（Ⅲ）依題意，．由（Ⅱ）知為平面的一個(gè)法向量，于是．所以，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.本題考查利用空間向量法證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，求二面角和線(xiàn)面角的正弦值，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.19.已知、是橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，點(diǎn)與橢圓上的點(diǎn)的距離的最小值為．（1）求橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)（與、不重合），連接、交于點(diǎn)．證明：點(diǎn)在定直線(xiàn)上；【正確答案】（1）離心率為，標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）（3）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可求出的值，進(jìn)而可求得的值，由此可得出橢圓的離心率及其標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)Px0,y0，利用兩點(diǎn)間距離公式得，然后根據(jù)（3）設(shè)直線(xiàn)的方程為，、，與橢圓方程聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理得，寫(xiě)出直線(xiàn)、的方程，進(jìn)而求解即可；【小問(wèn)1】由題意可知，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，由題意可得，則，因此，橢圓的