2024-2025學年山東省高三上學期第二次月考（12月）數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年山東省高三上學期第二次月考（12月）數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．若集合，，則（）A． B． C． D．2．在復平面內(nèi)，復數(shù)（為虛數(shù)單位）對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知θ是三角形的一個內(nèi)角，滿足，則（）A． B． C． D．4．如圖，平行四邊形中，，，若，，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知球O的半徑為R，A，B，C三點在球O的球面上，球心O到平面的距離為，，，則球O的表面積為（）A． B． C． D．7．若數(shù)列和滿足，，，則（）A． B． C． D．8．若函數(shù)有兩個極值點，，且，實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．的單調(diào)遞增區(qū)間是B．的單調(diào)遞增區(qū)間是C．在上有3個零點D．將函數(shù)圖象向左平移3個單位長度得到的圖象所對應的函數(shù)為奇函數(shù)10．下列說法正確的有（）A．若，則函數(shù)的最大值為B．已知，則的最小值為C．若正數(shù)x、y滿足，則的最小值為3．D．設x、y為正實數(shù)，且，則的最小值為611．布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖，把三片這樣的達·芬奇方磚拼成組合，把這個組合再轉(zhuǎn)換成空間幾何體．若圖中每個正方體的棱長為1，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．點到直線的距離是C． D．異面直線與所成角的正切值為4三、填空題（本大題共3小題）12．已知冪函數(shù)過點，若，則實數(shù)的取值范圍是.13．已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則m的取值范圍是．14．已知正方體的棱長為1，點，分別是線段，上的兩個動點，若與底面所成角的度數(shù)為，則線段長度的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知O為坐標原點，，（x∈R，且為常數(shù)），若．(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若時，函數(shù)的最小值為2，求實數(shù)a的值．16．設數(shù)列的前n項和為，已知，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．17．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且.(1)求的值；(2)若，且的面積為，求的周長.18．如圖1，在平行四邊形中，，，E為的中點，將沿折起，連結(jié)，，且，如圖2．

(1)求證：圖2中的平面平面；(2)在圖2中，若點在棱上，直線與平面所成的角的正弦值為，求點到平面的距離．19．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當時，．

答案1．【正確答案】B【詳解】∵，，∴．故選：B．2．【正確答案】C【詳解】因為，所以復數(shù)對應的點是，在第三象限，故選：C.3．【正確答案】B【詳解】因為，兩邊平方得，即，可得，因為是三角形的一個內(nèi)角，且，所以，所以，得，又因為，所以，故有：．從而有．故選：B．4．【正確答案】D【詳解】由題得，，所以，所以.故選；D.5．【正確答案】C【詳解】由題，對于函數(shù)，當時，所以若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則.所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：C.6．【正確答案】B【詳解】，，由正弦定理得（是的外接圓半徑），解得：，，解得：，球O的表面積．故選：B．7．【正確答案】A【詳解】由題可得，即，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，故，又由題可得即，所以，故，所以.所以，所以.故選：A.8．【正確答案】A【詳解】函數(shù)的定義域為，，，令，可得，，由題意是方程的兩根，且故且，解得，又，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍是.故選：A．9．【正確答案】AC【詳解】由圖象得，周期，得，所以，．令，解得，故單調(diào)遞增區(qū)間為．A正確，B錯誤；令，解得，令得，解得，可知C選項正確；函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，向左平移3個單位長度，圖象關(guān)于軸對稱，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，故D錯誤．故選：AC．10．【正確答案】BCD【詳解】對于A，因為，所以，當且僅當即時等號成立，所以則函數(shù)的最小值為，故A錯誤；對于B，因為，所以，所以，當且僅當即時等號成立，則的最小值為，故B正確；對于C，因為正數(shù)x、y滿足，所以，當且僅當即時等號成立，所以的最小值為3，故C正確；對于D，因為x、y為正實數(shù)，且，所以，所以，當且僅當即時等號成立，所以的最小值為6，故D正確.故選：BCD.11．【正確答案】ABC【詳解】依題意得，故A正確；如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，，對于BC，，所以，設，則點到直線的距離，故BC正確；對于D，因為，所以，所以，所以異面直線與所成角的正切值為，故D錯誤．故選：ABC．12．【正確答案】【詳解】由題可設，因為函數(shù)過點，所以，所以函數(shù)，所以函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，所以若，則，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為.13．【正確答案】【詳解】由題得定義域為R，，所以時，；時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，所以，故m的取值范圍是.故答案為.14．【正確答案】【詳解】以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，，，，，由題意可設，，其中，所以，顯然為平面的法向量，所以，化簡得，顯然（否則矛盾），從而，解得，，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最小值為，最大值為，所以的取值范圍為.故答案為.15．【正確答案】(1)，(2)2【詳解】（1）∵，，∴，∴的最小正周期為，由，得，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）當時，，∴當，即時，有最小值，即．16．【正確答案】(1)證明見解析，；(2).【詳解】（1）證明：由題可得，則當時，，當時，，整理得，所以，又，所以所以①，又，均滿足①式，所以.又，即數(shù)列是公差為2，首項為1的等差數(shù)列.（2）由（1）得，數(shù)列的前n項和，所以，所以，所以.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因為，所以，所以.因為，所以，所以.因為，所以，所以.（2）由（1）可得，所以.因為的面積為，所以，所以，則.由余弦定理可得，即，所以，則.故的周長為.18．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接，利用勾股定理證明，再根據(jù)線面垂直的判定定理證得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）以點為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）連接，由題意，則為等邊三角形，由余弦定理得，所以，則，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，則，設，故，，因為軸垂直平面，故可取平面的一條法向量為，所以，化簡得，解得或（舍去），所以，設平面的法向量為，則有，可取，所以點到平面的距離為．

19．【正確答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1）因為，定義域為，所以，當時，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當時，令，解得，當時，，則在上單調(diào)遞減；當時，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當且僅當時，等號成立，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當時，恒成立，證畢.【方法總結(jié)】對于利用導數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)