2024-2025學年山東省濟南市高三上學期12月月考數(shù)學學情檢測試題（附解析）

2024-2025學年山東省濟南市高三上學期12月月考數(shù)學學情檢測試題一、單選題（本大題共5小題）1．已知集合，，若，則所有符合條件的實數(shù)組成的集合是（

）A． B． C． D．2．設(shè)、是兩個不同的平面，、是兩條不同的直線，則下列條件中可以推出的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，3．定義在上的函數(shù)滿足，（若，則，c為常數(shù)），則下列說法錯誤的是（

）A．B．在取得極小值，極小值為C．只有一個零點D．若在上恒成立，則4．已知函數(shù)在上的導函數(shù)為，若對任意恒成立，關(guān)于下列兩個命題的判斷，說法正確的是（

）命題①：方程至多只有一個實數(shù)根；命題②：若是以2為周期的周期函數(shù)，則對任意，都有．A．①真命題；②假命題 B．①假命題；②真命題C．①真命題；②真命題 D．①假命題；②假命題5．設(shè)定義在上的函數(shù)，，且對任意，滿足，，則A． B． C． D．二、多選題（本大題共2小題）6．已知函數(shù)fx的導函數(shù)為f′x，fx與f′x的定義域都是R，且滿足A．fx的圖象關(guān)于2,1B．f′xC．i=18095D．y=f′7．已知四棱錐，底面是正方形，平面，，與底面所成角的正切值為，點為平面內(nèi)一點（異于點），且，則（

）A．存在點，使得平面B．存在點，使得直線與所成角為C．當時，三棱錐的體積最大值為D．當時，以為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線長為三、填空題（本大題共1小題）8．已知圓錐的頂點與底面圓周都在半徑為3的球面上，當該圓錐的側(cè)面積最大時，它的體積為．四、解答題（本大題共2小題）9．在中，角所對的邊分別是，已知．(1)求；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍．10．如圖，在三棱錐中，，平面平面，，，，分別是，的中點，記平面與平面的交線為直線．(1)求證：直線平面；(2)若直線上存在一點（與都在的同側(cè)），且直線與直線所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．

答案1．【正確答案】D就分類討論求出集合，再結(jié)合可得的值.【詳解】等價于當時，，此時，符合；當時，，因為，故或即或，故選：D.2．【正確答案】D【詳解】對于，如圖所示，當為平面和平面的交線時，推不出，故A錯誤；對于，如圖所示，，，，但推不出，故B錯誤；對于C，因為，，所以可得，又，所以，故C錯誤；對于，因為，，所以可得，又因為，所以，故D正確.故選：D.3．【正確答案】B【詳解】∵且0,+∞，可得，則有，故（c為常數(shù)），又f1=0，則，得，故，x∈0,+∞，，當，即，解得：，f′x>0，此時單調(diào)遞增，當，即，解得，，當，即解得：，f′x<0，此時單調(diào)遞減，對于A，由于，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，∵，可得，∵，，∵.故，故A正確：∴，取得極大值，，故B錯誤；對于C，當，，，，，，畫出草圖，如圖：根據(jù)圖象可知：只有一個零點，故C正確；對D，要在0,+∞上恒成立即：在0,+∞上恒成立，∵，可在上恒成立，只需，令，，當，；單調(diào)遞增，當時，；單調(diào)遞減，，；則，即，故D正確；故選：B.4．【正確答案】C【詳解】因為，即，對于命題①：令，故，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則至多有一個零點，所以方程至多只有一個實數(shù)根，故命題①為真命題；對于命題②：因為函數(shù)是周期為2，取一個周期，由題意可知在內(nèi)連續(xù)不斷，則在內(nèi)必有最大值和最小值，設(shè)在內(nèi)的最大值為，最小值為，設(shè)，，且，對任意，顯然時，恒成立，下面考慮的情況，由導數(shù)定義可知，即，若，則成立；若，設(shè)，即，則，且，可得，所以成立；綜上所述：對任意實數(shù)，都成立，故命題②為真命題；故選：C.5．【正確答案】D先把轉(zhuǎn)化成，與進行加法運算，依次推倒，得到，再根據(jù)條件，得到，然后根據(jù)等式關(guān)系，用累加法計算得到結(jié)果.【詳解】∵，∴（1）∵（2）∴（1）+（2）得=，即（3）∴（1）+（3）得=，即，∵，∴∴===+++++3?22+3?20=2008+++++3?22+3?20==.考點：不等式性質(zhì)；疊加法；等比數(shù)列前n項和公式；函數(shù)的求值6．【正確答案】ABD【詳解】對于AB，∵f′2x+f′?2x=0，∴f∵f2?x?f′x=1，∴f∴f2?x+f2+x=2，∴fx關(guān)于又fx關(guān)于y軸對稱，∴fx=f?x∴f4?x+f8?x=2，∴∴fx的周期為T=8，∴f′x的周期為T=8，∴A對于D，對f2?x+f2+x=2即f′2+x=f′2?x，∴∴y=f′2?x為偶函數(shù)，∴對于C，∵fx關(guān)于2,1∴f12024∴f12024∴C錯誤.故選ABD.【方法總結(jié)】根據(jù)所給條件，求出周期和對稱中心和對稱軸，進而解得選項。7．【正確答案】BCD【詳解】A：假設(shè)存在點使得平面，由平面平面，得平面平面，又平面平面平面，則，又，平面，所以重合，即點落在上，由，知點落在以為圓心，以為半徑的圓面內(nèi)（不含圓），這與點落在上矛盾，故A錯誤；B：以A為原點，AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，平面，則即為PC與底面所成的角，故，而，所以，則，所以，結(jié)合A的分析，取，所以，又，所以直線PB與AM所成角為，即存在點M使得直線PB與AM所成角為，故B正確；C：當時，當M位于BA的延長線時，的高最大為，此時面積取得最大值，所以三棱錐的體積最大值為，故C正確；D：當時，，以P為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線是以P為圓心，為半徑的圓與側(cè)面展開圖的交線，如下圖，由，有，則，所以，則，所以，根據(jù)對稱性有，所以，故的長為，又球與底面的交線是以P為圓心，為半徑的四分之一圓，其長度為，故P為球心，為半徑的球面與四棱錐各面的交線長，故D正確.故選：BCD8．【正確答案】/【分析】將圓錐側(cè)面積用圓錐底面半徑與母線長的表達式表示出來，再利用外接球半徑為3，建立圓錐底面半徑與母線長的關(guān)系，從而將圓錐側(cè)面積表示為母線長函數(shù)，利用換元，導數(shù)法求出函數(shù)取最大值時的母線長，底面半徑長，從而求出此時的圓錐體積.【詳解】如圖，圓錐頂點為P，底面圓心為C，底面圓周與頂點均在球心為O的球面上，，記則圓錐側(cè)面積為，若相同時，較大才能取得最大值，由截面圓的對稱性知，圓錐側(cè)面積最大時兩點位于球心兩側(cè)，此時，，而,又，故令，，當時，單調(diào)遞增,當時，單調(diào)遞減，故當時，最大，圓錐側(cè)面積最大，此時，此時圓錐體積，故答案為.9．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理得，即，又，所以，又，所以；（2）因為，由正弦定理得，所以，因為為銳角三角形，所以，解得，則，則，故，即的取值范圍為．10．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：∵，分別是，的中點，∴，又平面，平面，∴平面，又平面，平面平面，∴，又，平面平面，平面平