2024-2025學(xué)年山東省臨沭市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省臨沭市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．已知直線，，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件4．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．5．在中，、分別在邊、上，且，，在邊上（不包含端點）．若，則的最小值是（

）A． B． C． D．6．過點作圓的兩條切線，切點為、，若，則四邊形（為圓的圓心）的面積是（

）A． B． C． D．7．已知某正四面體玩具可以在棱長為6的正方體玩具盒（不考慮玩具盒的厚度）內(nèi)任意轉(zhuǎn)動（繞正四面體外接球的球心轉(zhuǎn)動，且為正方體的中心），則該正四面體玩具的表面積的最大值是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．在一個等邊三角形中，連接各邊的中點，得到四個小三角形，然后去掉中間的那個小三角形，這樣就剩下三個小的三角形，對剩下的小三角形不斷重復(fù)上述步驟，得到如圖所示的一系列三角形圖案，我們稱這一系列三角形圖案是謝爾賓斯基三角形．記經(jīng)過次操作后，剩余三角形的個數(shù)為，數(shù)列的前項和為，則（

）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，則（

）A．對任意的的最小正周期為B．存在，使得的圖象關(guān)于某條直線對稱C．對任意的是偶函數(shù)D．當(dāng)時，的最小值為11．已知為定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)為，，且的圖象關(guān)于直線對稱，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知、是橢圓的兩個焦點，在橢圓上，且，則．13．已知，且，則的最大值是．14．如圖，、是某水域的兩直線型岸邊，，是的角平分線，且．某養(yǎng)殖戶準(zhǔn)備經(jīng)過點安裝一直線型隔離網(wǎng)（、分別在、上），圍成△養(yǎng)殖區(qū)．若、都不超過，則隔離網(wǎng)長度的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．(1)求、的值；(2)求在上的值域．16．設(shè)數(shù)列的前項和為，且當(dāng)時，．(1)求的通項公式；(2)若求數(shù)列的前項和．17．如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，△，△均為等邊三角形，．(1)證明：平面平面．(2)若點到平面的距離為，求四棱錐的體積．18．已知橢圓的離心率是，且點在橢圓上．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點，、分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓上的動點，是△的內(nèi)心，求的最大值．19．若存在一個數(shù)，使得函數(shù)定義域內(nèi)的任意，都有，則稱有下界，是的一個下界．(1)求函數(shù)的下界的取值范圍；(2)判斷是否是下界為的函數(shù)，并說明理由；(3)若函數(shù)，是的一個整數(shù)下界，求的最大值．（參考數(shù)據(jù)：，）

答案1．【正確答案】C【詳解】因為，因此，.故選：C.2．【正確答案】D【詳解】因為，，因此，.故選：D.3．【正確答案】A【詳解】若，則，解得，所以，“”是“”的充要條件.故選：A.4．【正確答案】B【詳解】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，則，且該函數(shù)在上為增函數(shù)，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.因為，當(dāng)時，即時，，則或，此時，；當(dāng)時，即時，，則或，此時，.綜上所述，不等式的解集是.故選：B.5．【正確答案】A【詳解】因為在邊上（不包含端點），不妨設(shè)，其中，即，所以，，又因為，則，，其中、均為正數(shù)，且有，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故則的最小值是.故選：A.6．【正確答案】C【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，如下圖所示：由圓的幾何性質(zhì)可得，，，，所以，，所以，，設(shè)，則，因為。易知為銳角，則，，所以，，因此，.故選：C.7．【正確答案】D【詳解】如圖，設(shè)四面體的棱長為，外接球圓心為，半徑為，為底面三角形的外心，則，，由，得，解得，又該正四面體玩具可以在該正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則正四面體外接球最大是正方體的內(nèi)切球，此時，解得，所以正四面體的表面積為故選：D8．【正確答案】B【詳解】由可得，其中，令，其中，則，令，其中，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，，所以存在，使得，即，且當(dāng)時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，因為，則，則，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，所以，可得，故，因此實數(shù)的取值范圍是.故選：B.9．【正確答案】BC【詳解】由題設(shè)每次操作，前一個圖形中的每一個黑色三角形均可以得到下一個圖形中的3個小黑色三角形，故，而，故為等比數(shù)列，故；所以故選：BC.10．【正確答案】BCD【詳解】.A：當(dāng)時，函數(shù)的最小正周期均為，故A錯誤；B：當(dāng)時，，圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；C：，則，，得，所以為偶函數(shù)，故C正確；D：當(dāng)時，，當(dāng)時，函數(shù)和同時取到最小值，分別為和0，所以的最小值為，故D正確.故選：BCD.11．【正確答案】AC【詳解】由，則①，又②，①②得③，則④，則④③可得，即，故是周期為的函數(shù)，則，由的圖象關(guān)于直線對稱，則⑤，由③，故可得，所以，故A正確；由⑤可得，即，由③可得，可得，故B錯誤；由②可得，又，則兩式相減可得，，則可得，即，故C正確；由，則，又，則，由，則，又，則，由，則，又，則，則由，則，由，則，則，則，由，則是周期為的函數(shù)，故，故選：AC.12．【正確答案】【詳解】在橢圓中，，因為、是橢圓的兩個焦點，在橢圓上，由橢圓的定義可得，故.故答案為.13．【正確答案】/【詳解】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以的最大值為.故14．【正確答案】【詳解】設(shè)，，，由題意可得，且，因為，即，可得，由題意可知，，，所以，，由，解得，所以，，令，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，則，由余弦定理可得，故，因此，的長的取值范圍是.故答案為.15．【正確答案】(1)，(2)【詳解】（1）因為，則，因為曲線在點處的切線方程為，則，所以，，解得.（2）由（1）可得，則，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的極大值為，極小值為，又因為，，所以，當(dāng)時，，，因此，在上的值域為.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時，，得①.當(dāng)時，，得，得，符合①式，所以數(shù)列是以1為公差，1為首項的等差數(shù)列，故，所以.當(dāng)時，，又符合上式，所以.（2）由（1）得，當(dāng)為奇數(shù)，，當(dāng)為偶數(shù)，，所以.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)16【詳解】（1）設(shè)，取的中點，連接，如圖，則，且，在中，，在中，有，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，由，得，所以，解得，即，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，即，所以點到平面的距離為，解得，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，所以，所以點到平面的距離為，又平行四邊形的面積為，所以四棱錐的體積為.18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因為橢圓的離心率是，且點在橢圓上，則，解得，故橢圓的方程為.（2）設(shè)點、，則，又因為，由圖可知，，所以，即點，由橢圓的范圍可知，，又，則，所以，設(shè)圓分別切、、于點、、，則軸，由切線長定理可得，，，因為，又因為，所以，，可得，即點，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最大值為.19．【正確答案】(1)(2)是，理由見解析(3)【詳解】（1）因為函數(shù)的定義域為，對任意的，，則，因為，令，可得，列表如下：減極小值增所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，則，所以，，因此，函數(shù)的下界的取值范圍為.（2）令，其中，，因為函數(shù)、在上均為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，且，當(dāng)時