第10講-5-2三維變換

2025/1/151第三節(jié)三維幾何及建模變換三維圖形的幾何變換及其矩陣表示平移變換旋轉(zhuǎn)變換縮放變換反射變換錯(cuò)切變換物體在不同坐標(biāo)系之間的建模變換2025/1/152三維代數(shù)空間定義基底：任意矢量：定理:三維空間中任意矢量可唯一地表示為其基底的線性組合2025/1/153三維幾何變換的代數(shù)表示2025/1/154三維幾何變換的矩陣表達(dá)式引入齊次坐標(biāo)后可表示為：2025/1/155平移變換（1）2025/1/156平移變換（2）記為：其中三維平移變換矩陣：2025/1/157平移變換（3）點(diǎn)的平移圖形的平移2025/1/158縮放變換（1）相對(duì)于原點(diǎn)進(jìn)行的縮放變換矩陣記為：2025/1/159縮放變換（2）相對(duì)于任意點(diǎn)的縮放設(shè)縮放參考點(diǎn)為：則分解為：平移、關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的縮放以及逆平移變換2025/1/1510縮放變換（3）即：2025/1/1511縮放變換（4）2025/1/1512旋轉(zhuǎn)變換（1）由旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角度確定二維旋轉(zhuǎn)變換是三維空間中繞Z軸的旋轉(zhuǎn)記為：XYZ2025/1/1513以X為軸的旋轉(zhuǎn)變換（1）可視作[x,y,z]坐標(biāo)系變換為[y,z,x]坐標(biāo)系,變換矩陣為：2025/1/1514以X為軸的旋轉(zhuǎn)變換（2）記為：YZX2025/1/1515以Y為軸的旋轉(zhuǎn)變換（1）可視作[x,y,z]坐標(biāo)系變換為[z,x,y]坐標(biāo)系，變換矩陣為：2025/1/1516以Y為軸的旋轉(zhuǎn)變換（2）記為：注：相反角度的旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)其逆變換ZXY2025/1/1517繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換（1）旋轉(zhuǎn)軸不與坐標(biāo)軸重合時(shí)變換的實(shí)現(xiàn)：經(jīng)復(fù)合變換使旋轉(zhuǎn)軸與坐標(biāo)軸重合繞指定軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換還原坐標(biāo)系YZXP1P22025/1/1518繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換（2）（1）平移使P1與坐標(biāo)原點(diǎn)重合不妨設(shè)P1P2為方向矢量，P2點(diǎn)為(a,b,c)2025/1/1519XYZOP1P2X′Y′Z′2025/1/1520XYZX′Y′Z′O繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換(3)（2）繞X軸旋轉(zhuǎn)使指定旋轉(zhuǎn)軸落在XZ面上2025/1/1521XYZX′Y′Z′O

2025/1/1522XYZX′Y′Z′O

2025/1/1523XYZX′Y′Z′O

2025/1/1524XYZX′Y′Z′O

2025/1/1525XYZX′Y′Z′O

2025/1/1526XYZX′Y′Z′O

2025/1/1527XYZX′Y′Z′O

此時(shí)P2點(diǎn)為(a,0,d)P22025/1/1528繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換（4）（3）繞Y軸旋轉(zhuǎn)使指定旋轉(zhuǎn)軸與Z軸重合XYZX′Y′Z′O

2025/1/1529XYZX′Y′Z′O2025/1/1530繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換（5）（4）繞Z軸即指定旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)指定角度2025/1/1531繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換（6）（5）坐標(biāo)系還原上述變換的復(fù)合實(shí)現(xiàn)繞任意軸的旋轉(zhuǎn)：2025/1/1532對(duì)稱變換（1）是關(guān)于某個(gè)對(duì)稱軸或?qū)ΨQ平面進(jìn)行的關(guān)于某個(gè)軸進(jìn)行的反射變換等同于關(guān)于該軸做180度的旋轉(zhuǎn)變換例如：關(guān)于Z軸的對(duì)稱變換矩陣為：考慮：關(guān)于任意軸的對(duì)稱變換2025/1/1533對(duì)稱變換（2）當(dāng)反射平面是坐標(biāo)平面時(shí)，等同于進(jìn)行左、右手坐標(biāo)系的互換，相應(yīng)變換矩陣是把第三維坐標(biāo)值取反例如：關(guān)于xy平面的反射變換矩陣為：2025/1/1534對(duì)稱變換（3）關(guān)于任意平面的反射可以分解為平移、旋轉(zhuǎn)（使得指定的反射平面與某坐標(biāo)平面重合）關(guān)于坐標(biāo)平面的反射逆變換2025/1/1535錯(cuò)切變換依賴軸：對(duì)應(yīng)坐標(biāo)保持不變方向軸：對(duì)應(yīng)坐標(biāo)關(guān)于依賴軸坐標(biāo)呈線性變化變換表達(dá)式分別是：2025/1/1536建模變換（1）實(shí)現(xiàn)兩個(gè)不同坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換新坐標(biāo)系定義方式如右圖所示：XYZX’Y’Z’2025/1/1537建模變換（2）可由線性代數(shù)方法得到建模變換公式：（即：新坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸在舊坐標(biāo)系下的表示矩陣的逆矩陣）當(dāng)坐標(biāo)系使用不同的縮放時(shí)，還需定義縮放補(bǔ)償。2025/1/1538建模變換的合成方法（3）可由以下變換復(fù)合得到同樣結(jié)果：平移：使兩坐標(biāo)系原點(diǎn)重合繞X軸旋轉(zhuǎn)：使Z’軸落在XOZ面上；繞Y軸旋轉(zhuǎn)：使Z’軸與Z軸重疊；繞Z