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安徽省黃山市2023年高考最后一卷:數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論:()①是偶函數(shù);②在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù);③在上的最大值為2;④在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn).其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A.①②④ B.①③ C.①④ D.②④2.函數(shù)的圖像大致為()A. B.C. D.3.已知集合A={0,1},B={0,1,2},則滿足A∪C=B的集合C的個(gè)數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.14.已知直線過(guò)圓的圓心,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.45.設(shè)(是虛數(shù)單位),則()A. B.1 C.2 D.6.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的表面積是()A. B. C. D.7.設(shè)全集U=R,集合,則()A.{x|-1<x<4} B.{x|-4<x<1} C.{x|-1≤x≤4} D.{x|-4≤x≤1}8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn),連接與y軸交于點(diǎn)M,若(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.9.在直角坐標(biāo)系中,已知A(1,0),B(4,0),若直線x+my﹣1=0上存在點(diǎn)P,使得|PA|=2|PB|,則正實(shí)數(shù)m的最小值是()A. B.3 C. D.10.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別是,雙曲線的右焦點(diǎn)為,點(diǎn)在過(guò)且垂直于軸的直線上,當(dāng)?shù)耐饨訄A面積達(dá)到最小時(shí),點(diǎn)恰好在雙曲線上,則該雙曲線的方程為()A. B.C. D.11.達(dá)芬奇的經(jīng)典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖,畫(huà)中女子神秘的微笑,,數(shù)百年來(lái)讓無(wú)數(shù)觀賞者人迷.某業(yè)余愛(ài)好者對(duì)《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進(jìn)行了粗略測(cè)繪,將畫(huà)中女子的嘴唇近似看作一個(gè)圓弧,在嘴角處作圓弧的切線,兩條切線交于點(diǎn),測(cè)得如下數(shù)據(jù):(其中).根據(jù)測(cè)量得到的結(jié)果推算:將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角大約等于()A. B. C. D.12.如圖是二次函數(shù)的部分圖象,則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在長(zhǎng)方體中,,,,為的中點(diǎn),則點(diǎn)到平面的距離是______.14.在中,角,,的對(duì)邊長(zhǎng)分別為,,,滿足,,則的面積為_(kāi)_.15.已知向量,,若向量與向量平行,則實(shí)數(shù)___________.16.某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品.已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元,每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元.公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中,要求每天消耗原料都不超過(guò)12千克.通過(guò)合理安排生產(chǎn)計(jì)劃,從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中,公司共可獲得的最大利潤(rùn)是__________元.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知奇函數(shù)的定義域?yàn)椋耶?dāng)時(shí),.(1)求函數(shù)的解析式;(2)記函數(shù),若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知,且的解集為.(1)求實(shí)數(shù),的值;(2)若的圖像與直線及圍成的四邊形的面積不小于14,求實(shí)數(shù)取值范圍.19.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形,,,,是正三角形,,是的中點(diǎn).(1)證明:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)已知中,,,是上一點(diǎn).(1)若,求的長(zhǎng);(2)若,,求的值.21.(12分)如圖,在三棱錐中,平面平面,,.點(diǎn),,分別為線段,,的中點(diǎn),點(diǎn)是線段的中點(diǎn).(1)求證:平面.(2)判斷與平面的位置關(guān)系,并證明.22.(10分)如圖,在直角中,,,,點(diǎn)在線段上.(1)若,求的長(zhǎng);(2)點(diǎn)是線段上一點(diǎn),,且,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn)對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一分析,由此得出正確結(jié)論的編號(hào).【詳解】的定義域?yàn)?由于,所以為偶函數(shù),故①正確.由于,,所以在區(qū)間上不是單調(diào)遞增函數(shù),所以②錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí),,且存在,使.所以當(dāng)時(shí),;由于為偶函數(shù),所以時(shí),所以的最大值為,所以③錯(cuò)誤.依題意,,當(dāng)時(shí),,所以令,解得,令,解得.所以在區(qū)間,有兩個(gè)零點(diǎn).由于為偶函數(shù),所以在區(qū)間有兩個(gè)零點(diǎn).故在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn).所以④正確.綜上所述,正確的結(jié)論序號(hào)為①④.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值和零點(diǎn),考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.2.A【解析】
根據(jù)排除,,利用極限思想進(jìn)行排除即可.【詳解】解:函數(shù)的定義域?yàn)?,恒成立,排除,,?dāng)時(shí),,當(dāng),,排除,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷,利用函數(shù)值的符號(hào)以及極限思想是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.3.A【解析】
由可確定集合中元素一定有的元素,然后列出滿足題意的情況,得到答案.【詳解】由可知集合中一定有元素2,所以符合要求的集合有,共4種情況,所以選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】考查集合并集運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題.4.D【解析】
圓心坐標(biāo)為,代入直線方程,再由乘1法和基本不等式,展開(kāi)計(jì)算即可得到所求最小值.【詳解】圓的圓心為,由題意可得,即,,,則,當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)取等號(hào),故選:.【點(diǎn)睛】本題考查最值的求法,注意運(yùn)用乘1法和基本不等式,注意滿足的條件:一正二定三等,同時(shí)考查直線與圓的關(guān)系,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5.A【解析】
先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則求出,即可根據(jù)復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式求出.【詳解】∵,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用,以及復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式的應(yīng)用,屬于容易題.6.D【解析】
根據(jù)三視圖判斷出幾何體為正四棱錐,由此計(jì)算出幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可知,該幾何體為正四棱錐.底面積為.側(cè)面的高為,所以側(cè)面積為.所以該幾何體的表面積是.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查由三視圖判斷原圖,考查錐體表面積的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】
解一元二次不等式求得集合,由此求得【詳解】由,解得或.因?yàn)榛?,所?故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查集合補(bǔ)集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】
利用三角形與相似得,結(jié)合雙曲線的定義求得的關(guān)系,從而求得雙曲線的漸近線方程?!驹斀狻吭O(shè),,由,與相似,所以,即,又因?yàn)?,所以,,所以,即,,所以雙曲線C的漸近線方程為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、漸近線方程求解,考查數(shù)形結(jié)合思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力。9.D【解析】
設(shè)點(diǎn),由,得關(guān)于的方程.由題意,該方程有解,則,求出正實(shí)數(shù)m的取值范圍,即求正實(shí)數(shù)m的最小值.【詳解】由題意,設(shè)點(diǎn).,即,整理得,則,解得或..故選:.【點(diǎn)睛】本題考查直線與方程,考查平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式,屬于中檔題.10.A【解析】
點(diǎn)的坐標(biāo)為,,展開(kāi)利用均值不等式得到最值,將點(diǎn)代入雙曲線計(jì)算得到答案.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由于為定值,由正弦定理可知當(dāng)取得最大值時(shí),的外接圓面積取得最小值,也等價(jià)于取得最大值,因?yàn)?,,所以,?dāng)且僅當(dāng),即當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,此時(shí)最大,此時(shí)的外接圓面積取最小值,點(diǎn)的坐標(biāo)為,代入可得,.所以雙曲線的方程為.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了求雙曲線方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.11.A【解析】
由已知,設(shè).可得.于是可得,進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】解:依題意,設(shè).則.,.設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為.則,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性、切線的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.12.B【解析】
根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸得出范圍,軸截距,求出的范圍,判斷在區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù),即可求出結(jié)論.【詳解】∵,結(jié)合函數(shù)的圖象可知,二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為,,,∵,所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)?,所以函?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
利用等體積法求解點(diǎn)到平面的距離【詳解】由題在長(zhǎng)方體中,,,所以,所以,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,解得故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查求點(diǎn)到平面的距離,通過(guò)在三棱錐中利用等體積法求解,關(guān)鍵在于合理變換三棱錐的頂點(diǎn).14..【解析】
由二次方程有解的條件,結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域可求,進(jìn)而可求,然后結(jié)合余弦定理可求,代入,計(jì)算可得所求.【詳解】解:把看成關(guān)于的二次方程,則,即,即為,化為,而,則,由于,可得,可得,即,代入方程可得,,,由余弦定理可得,,解得:(負(fù)的舍去),.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的根的存在條件及輔助角公式及余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用,屬于中檔題.15.【解析】
由題可得,因?yàn)橄蛄颗c向量平行,所以,解得.16.1元【解析】設(shè)分別生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品為桶,桶,利潤(rùn)為元
則根據(jù)題意可得目標(biāo)函數(shù),作出可行域,如圖所示作直線然后把直線向可行域平移,
由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí),目標(biāo)函數(shù)的截距最大,此時(shí)最大,
由可得,即此時(shí)最大,
即該公司每天生產(chǎn)的甲4桶,乙4桶,可獲得最大利潤(rùn),最大利潤(rùn)為1.【點(diǎn)睛】本題考查用線性規(guī)劃知識(shí)求利潤(rùn)的最大值,根據(jù)條件建立不等式關(guān)系,以及利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1);(2)【解析】
(1)根據(jù)奇函數(shù)定義,可知;令則,結(jié)合奇函數(shù)定義即可求得時(shí)的解析式,進(jìn)而得函數(shù)的解析式;(2)根據(jù)零點(diǎn)定義,可得,由函數(shù)圖像分析可知曲線與直線在第三象限必1個(gè)交點(diǎn),因而需在第一象限有2個(gè)交點(diǎn),將與聯(lián)立,由判別式及兩根之和大于0,即可求得的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù),且,故;當(dāng)時(shí),,,則;故.(2)令,解得,畫(huà)出函數(shù)關(guān)系如下圖所示,要使曲線與直線有3個(gè)交點(diǎn),則2個(gè)交點(diǎn)在第一象限,1個(gè)交點(diǎn)在第三象限,聯(lián)立,化簡(jiǎn)可得,令,即,解得,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式,分段函數(shù)圖像畫(huà)法,由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用,屬于中檔題.18.(1),;(2)【解析】
(1)解絕對(duì)值不等式得,根據(jù)不等式的解集為列出方程組,解出即可;(2)求出的圖像與直線及交點(diǎn)的坐標(biāo),通過(guò)分割法將四邊形的面積分為兩個(gè)三角形,列出不等式,解不等式即可.【詳解】(1)由得:,,即,解得,.(2)的圖像與直線及圍成的四邊形,,,,.過(guò)點(diǎn)向引垂線,垂足為,則.化簡(jiǎn)得:,(舍)或.故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值不等式的求法,以及絕對(duì)值不等式在幾何中的應(yīng)用,屬于中檔題.19.(1)見(jiàn)證明;(2)【解析】
(1)設(shè)是的中點(diǎn),連接、,先證明是平行四邊形,再證明平面,即(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S的正方向,建空間直角坐標(biāo)系,分別計(jì)算各個(gè)點(diǎn)坐標(biāo),計(jì)算平面法向量,利用向量的夾角公式得到直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)證明:設(shè)是的中點(diǎn),連接、,是的中點(diǎn),,,,,,,是平行四邊形,,,,,,,,由余弦定理得,,,,平面,,;(2)由(1)得平面,,平面平面,過(guò)點(diǎn)作,垂足為,平面,以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S的正方向,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則,,令,則,,,直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直,線線垂直,利用空間直角坐標(biāo)系解決線面夾角問(wèn)題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.20.(1)(2)【解析】
(1)運(yùn)用三角形面積公式求出的長(zhǎng)度,然后再運(yùn)用余弦定理求出的長(zhǎng).(2)運(yùn)用正弦定理分別表示出和,結(jié)合已知條件計(jì)算出結(jié)果.【詳解】(1)由在中,由余弦定理可得(2)由已知得在中,由正弦定理可知在中,由正弦定理可知故【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、三角形面積公式以及余弦定理,結(jié)合三角形熟練運(yùn)用各公式是解題關(guān)鍵,此類(lèi)題目是??碱}型,能夠運(yùn)用公式進(jìn)行邊角互化,需要掌握解題方法.21.(1)見(jiàn)解析(2)平面.見(jiàn)解析【解析】
(1)要證平面,只需證明,,即可求得答案;(2)連接交于點(diǎn),連接,根據(jù)已知條件求證,即可判斷與平面的位置關(guān)系,進(jìn)而求得答案.【詳解】(1),為邊的中點(diǎn),,平面平面,平面平面,平面,平面,,在內(nèi),,為所在邊的中點(diǎn),,又,,平面
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