2025年滬科版七年級數(shù)學寒假預習 第05講 一元一次不等式組

第05講一元一次不等式組模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測會用數(shù)軸確定兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集；知識點1一元一次不等式組的概念類似于方程組，把幾個具有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起來，就組成一元一次不等式組，如注意：判斷一個不等式組是否為一元一次不等式組的關(guān)鍵是：①組成不等式組的每個不等式必須是一元一次不等式；②整個不等式組中只含有一個未知數(shù)；③不等式組中不等式至少有兩個.知識點2一元一次不等式組的解集1.一元一次不等式組的解集一般地，幾個不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.2.一元一次不等式組的解集的數(shù)軸表示(1)求幾個一元一次不等式的解集的公共部分通常是利用數(shù)軸來確定的.公共部分是指數(shù)軸上被各個不等式解集的區(qū)域都覆蓋的部分.(2)一元一次不等式組解集的4種基本類型知識點3一元一次不等式組的解法解一元一次不等式組的一般步驟(1)求分解：分別解不等式組中的每一個不等式，求出它們的解集.(2)畫公解：將每一個不等式的解集畫在同一數(shù)軸上，并確定其公共部分.(3)寫組解：將第二步中所確定的公共部分用不等式表示出來，就是原不等式組的解集.如果這些不等式的解集沒有公共部分，則這個不等式組無解.考點01：求一元一次不等式組的解集例題1.解不等式(組)，并把解集在數(shù)軸上表示出來

【變式1-1】若關(guān)于的不等式組的解集為，則關(guān)于的不等式組的解集為（

）A． B．C． D．【變式1-2】等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．【變式1-3】（24-25七年級上·吉林長春·期末）解不等式組：(1)；(2)．考點02：求一元一次不等式組的整數(shù)解例題2．解下列不等式組，并寫出其整數(shù)解．【變式2-1】若關(guān)于x的不等式的整數(shù)解共有3個．則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2-2】不等式組的正整數(shù)解為．【變式2-3】解不等式組，并寫出該不等式組的整數(shù)解．考點03：由一元一次不等式組的解集求參數(shù)例題3.已知關(guān)于x的不等式組整數(shù)解有4個，則b的取值范圍是．【變式3-1】已知關(guān)于的不等式的解集如圖所示，則的值是（

）A．0 B．1 C． D．2【變式3-2】不等式組的解集是，則的取值范圍是．【變式3-3】（23-24七年級下·黑龍江牡丹江·期末）如果關(guān)于x的不等式組只有兩個整數(shù)解，則a的取值范圍為．考點04：由不等式組解集的情況求參數(shù)例題4.若關(guān)于的不等式組的整數(shù)解共有4個，則的取值范圍是．【變式4-1】若關(guān)于x的不等式組有且僅有個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為【變式4-2】若不等式組無解，則a的取值范圍是．【變式4-3】若關(guān)于的不等式組的所有整數(shù)解的和是，則的取值范圍是．考點05：不等式組與方程組結(jié)合的問題例題5．（23-24七年級下·新疆巴音郭楞·期末）已知關(guān)于x，y的方程組的解都為負數(shù)，則整數(shù)a的值為．【變式5-1】已知方程組的解x為正數(shù)，y為非負數(shù)，給出下列結(jié)論：①；②當時，；③當時，方程組的解也是方程的解．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【變式5-2】（23-24七年級下·北京·期末）已知關(guān)于，的二元一次方程組的解滿足，則的取值范圍是．【變式5-3】關(guān)于x，y的二元一次方程組的解x是非負數(shù)，y的值不大于，試求a的取值范圍．考點06：列一元一次不等式組例題6.某城區(qū)出租車起步價為5元（行駛距離在3千米內(nèi)），超過3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米計算，小明某次花費14.6元．若設他行駛的路程為千米，則應滿足的關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【變式6-1】（23-24七年級下·廣西百色·期中）“雙減”政策實施之后，某校為豐富學生的課外生活，現(xiàn)決定增購籃球和排球共30個，購買資金不超過3600元，且購買籃球的數(shù)量不少于排球數(shù)量的一半，若每個籃球150元，每個排球100元．求共有幾種購買方案？設購買籃球個，可列不等式組為（

）A． B．C． D．【變式6-2】將一箱蘋果分給若干個小朋友，若每位小朋友分5個蘋果，則還剩個蘋果；若每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友所分蘋果不到8個，若小朋友的人數(shù)為x，則下列正確的是（）A． B．C． D．【變式6-3】一本書共98頁，張力讀了一周(7天)還沒讀完，而李永不到一周就已讀完．李永平均每天比張力多讀3頁．若設張力平均每天讀x頁，則由題意列出不等式組為()A． B．C． D．考點07：一元一次不等式組的應用例題7．（23-24七年級下·河南信陽·期末）某大型企業(yè)為了保護環(huán)境，準備購A、B兩種型號的污水處理設備共10臺，一臺A型設備的單價為12萬，一臺B型設備的單價為10萬元，經(jīng)了解，一臺A型設備每月可處理污水220噸，一臺B型設備每月可處理污水190噸，如果該企業(yè)計劃用不超過106萬元的資金購買這兩種設備，而且使這兩種設備每月的污水處理量不低于2005噸，請通過計算說明這種方案是否可行．【變式7-1】（24-25七年級上·山西忻州·期中）如果把一個非負實數(shù)“四舍五入”到個位的值記為．那么當為非負整數(shù)時，若，則．如：，．根據(jù)以上材料，解決下列問題：(1)若，則滿足的條件：_____；(2)若，則應滿足的條件：_____；【變式7-2】（23-24七年級下·湖北隨州·期末）“保護好環(huán)境，拒絕冒黑煙”，某市公交公司將淘汰某一條線路上“冒黑煙”較嚴重的公交車，計劃購買型和型兩種環(huán)保節(jié)能公交車共10輛，若購買型公交車輛，型公交車輛，共需萬元：若購買型公交車輛，型公交車輛，共需萬元．(1)求購買型和型公交車每輛各需多少萬元？(2)預計在該線路上型和型公交車每輛年均載客量分別為萬人次和萬人次，若該公司購買型和型公交車的總費用不超過萬元，且確保這10輛公交車在該線路的年均載客總和不少于萬人次，則該公司有哪幾種購車方案？哪種購車方案總費用最少？最少總費用是多少？【變式7-3】某工廠計劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共60件，需購買甲、乙兩種材料，生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需甲種材料4千克，乙種材料1千克；生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需甲、乙兩種材料各3千克，經(jīng)測算，購買甲、乙兩種材料各1千克共需資金70元；購買甲種材料2千克和乙種材料3千克共需資金180元．(1)甲、乙兩種材料每千克分別是多少元？(2)現(xiàn)工廠用于購買甲、乙兩種材料的資金不超過12100元，且生產(chǎn)B產(chǎn)品不少于48件，問符合生產(chǎn)條件的生產(chǎn)方案有哪幾種？一、單選題1．（23-24七年級下·安徽亳州·期末）不等式組的最大整數(shù)解是（

）A．2 B．1 C．0 D．-12．（23-24七年級下·安徽黃山·期末）關(guān)于x的不等式組只有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·江蘇南通·二模）已知x，y滿足，且，．若，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（22-23七年級下·安徽合肥·期末）若不等式組無解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題5．（23-24七年級下·安徽安慶·期末）不等式組的解集為．6．（23-24七年級下·安徽亳州·期末）關(guān)于x的不等式組的解集是，則．7．（23-24七年級下·安徽淮北·期末）對x，y定義一種新的運算，規(guī)定，例如．（1）；（2）若關(guān)于正數(shù)的不等式組恰好有2個整數(shù)解，則的取值范圍是．三、解答題8．（23-24七年級下·安徽合肥·期末）解不等式組：．9．（23-24七年級下·安徽安慶·期末）解下列不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來：10．（23-24七年級下·安徽黃山·期末）某旅游商品經(jīng)銷店欲購進A、B兩種紀念品，若用380元購進A種紀念品7件，B種紀念品8件；也可以用380元購進A種紀念品13件，B種紀念品4件．(1)求A、B兩種紀念品的進價分別為多少？(2)若該商店每銷售1件A種紀念品可獲利5元，每銷售1件B種紀念品可獲利7元，該商店準備用不超過900元購進A、B兩種紀念品40件，且這兩種紀念品全部售出后總獲利不低于216元，問共有幾種方案并求出利潤最大值？

第05講一元一次不等式組模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測會用數(shù)軸確定兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集；知識點1一元一次不等式組的概念類似于方程組，把幾個具有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起來，就組成一元一次不等式組，如注意：判斷一個不等式組是否為一元一次不等式組的關(guān)鍵是：①組成不等式組的每個不等式必須是一元一次不等式；②整個不等式組中只含有一個未知數(shù)；③不等式組中不等式至少有兩個.知識點2一元一次不等式組的解集1.一元一次不等式組的解集一般地，幾個不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集.解不等式組就是求它的解集.2.一元一次不等式組的解集的數(shù)軸表示(1)求幾個一元一次不等式的解集的公共部分通常是利用數(shù)軸來確定的.公共部分是指數(shù)軸上被各個不等式解集的區(qū)域都覆蓋的部分.(2)一元一次不等式組解集的4種基本類型知識點3一元一次不等式組的解法解一元一次不等式組的一般步驟(1)求分解：分別解不等式組中的每一個不等式，求出它們的解集.(2)畫公解：將每一個不等式的解集畫在同一數(shù)軸上，并確定其公共部分.(3)寫組解：將第二步中所確定的公共部分用不等式表示出來，就是原不等式組的解集.如果這些不等式的解集沒有公共部分，則這個不等式組無解.考點01：求一元一次不等式組的解集例題1.解不等式(組)，并把解集在數(shù)軸上表示出來

【答案】，數(shù)軸表示見解析【解析】解：解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式組的解集為：。不等式組的解集在數(shù)軸上表示如下：【變式1-1】若關(guān)于的不等式組的解集為，則關(guān)于的不等式組的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：根據(jù)題意，得：，解得；故選D．【變式1-2】等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：，解不等式①得，解不等式②得，∴不等式組的解集為，在數(shù)軸上表示為：故選：D．【變式1-3】（24-25七年級上·吉林長春·期末）解不等式組：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為：；（2）解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為：．考點02：求一元一次不等式組的整數(shù)解例題2．解下列不等式組，并寫出其整數(shù)解．【答案】，整數(shù)解為：，【解析】解：由得：，由得：，則不等式組的解集為，其整數(shù)解為，．【變式2-1】若關(guān)于x的不等式的整數(shù)解共有3個．則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：，由①解得：，由②解得：，故不等式組的解集為，由不等式組的整數(shù)解有3個，得到整數(shù)解為3，4，5，則m的范圍為．故選：D．【變式2-2】不等式組的正整數(shù)解為．【答案】1，2，3【解析】解：，解①得解②得∴∴正整數(shù)解為1，2，3．故答案為：1，2，3．【變式2-3】解不等式組，并寫出該不等式組的整數(shù)解．【答案】，整數(shù)解：，，，【解析】解不等式①得，解不等式②得，∴不等式組的解集為：．∴不等式組的整數(shù)解有，，，．考點03：由一元一次不等式組的解集求參數(shù)例題3.已知關(guān)于x的不等式組整數(shù)解有4個，則b的取值范圍是．【答案】【解析】解：解不等式，得，解不等式，得，因為不等式組的整數(shù)解共有4個，所以整數(shù)解為，6，7，8，∴，故答案為：．【變式3-1】已知關(guān)于的不等式的解集如圖所示，則的值是（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】B【解析】解：關(guān)于的不等式，，如圖所示：，則，解得，故選：B．【變式3-2】不等式組的解集是，則的取值范圍是．【答案】【解析】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∵不等式組的解集為，∴，∴，故答案為：．【變式3-3】（23-24七年級下·黑龍江牡丹江·期末）如果關(guān)于x的不等式組只有兩個整數(shù)解，則a的取值范圍為．【答案】【解析】解：解不等式，得：，解不等式，得：，∵不等式組只有兩個整數(shù)解，∴，解得：，故答案為：．考點04：由不等式組解集的情況求參數(shù)例題4.若關(guān)于的不等式組的整數(shù)解共有4個，則的取值范圍是．【答案】【解析】解：由得，，，故原不等式組的解集為：，不等式組的正整數(shù)解有4個，其整數(shù)解應為：3、4、5、6，的取值范圍是．故答案為：．【變式4-1】若關(guān)于x的不等式組有且僅有個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為【答案】【解析】解：解不等式得：，解不等式得：，關(guān)于的不等式組有且僅有個整數(shù)解，整數(shù)解為，，，，．故答案為：．【變式4-2】若不等式組無解，則a的取值范圍是．【答案】【解析】解：解①式得：，解②式得：，∵若不等式組無解，∴，解得：．故答案為：．【變式4-3】若關(guān)于的不等式組的所有整數(shù)解的和是，則的取值范圍是．【答案】【解析】解：，解①得，解②得，∴．因為當時，能取到的負整數(shù)為，且不等組所有整數(shù)解的和是，所以不等式組的整數(shù)解為或和0，所以，解得．故答案為：．考點05：不等式組與方程組結(jié)合的問題例題5．（23-24七年級下·新疆巴音郭楞·期末）已知關(guān)于x，y的方程組的解都為負數(shù)，則整數(shù)a的值為．【答案】0，【解析】解：解關(guān)于x，y的方程組，得，∵該方程組的解都為負數(shù)，∴，即，∴，∴整數(shù)a的值為，，故答案為：0，．【變式5-1】已知方程組的解x為正數(shù)，y為非負數(shù)，給出下列結(jié)論：①；②當時，；③當時，方程組的解也是方程的解．其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】B【解析】解：由得，為正數(shù)，為非負數(shù)，，，故①錯誤；當時，，，，故②正確；當時，，，此時，故③正確，正確的有②③，故選：B．【變式5-2】（23-24七年級下·北京·期末）已知關(guān)于，的二元一次方程組的解滿足，則的取值范圍是．【答案】【解析】解：由①②，得：，∴，當時，，解得：，∴，故答案為：【變式5-3】關(guān)于x，y的二元一次方程組的解x是非負數(shù)，y的值不大于，試求a的取值范圍．【答案】【解析】解：解二元一次方程組得，∵x是非負數(shù)，y的值不大于，∴，解得：．考點06：列一元一次不等式組例題6.某城區(qū)出租車起步價為5元（行駛距離在3千米內(nèi)），超過3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米計算，小明某次花費14.6元．若設他行駛的路程為千米，則應滿足的關(guān)系式為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：設他行駛的路程為千米，∴，故選A【變式6-1】（23-24七年級下·廣西百色·期中）“雙減”政策實施之后，某校為豐富學生的課外生活，現(xiàn)決定增購籃球和排球共30個，購買資金不超過3600元，且購買籃球的數(shù)量不少于排球數(shù)量的一半，若每個籃球150元，每個排球100元．求共有幾種購買方案？設購買籃球個，可列不等式組為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：設購買籃球x個，則購買排球個，由題意得．故選：C．【變式6-2】將一箱蘋果分給若干個小朋友，若每位小朋友分5個蘋果，則還剩個蘋果；若每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友所分蘋果不到8個，若小朋友的人數(shù)為x，則下列正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：每位小朋友分5個蘋果，則還剩個蘋果，且小朋友的人數(shù)為，這箱蘋果共個，每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友所分蘋果不到8個，，故選：C．【變式6-3】一本書共98頁，張力讀了一周(7天)還沒讀完，而李永不到一周就已讀完．李永平均每天比張力多讀3頁．若設張力平均每天讀x頁，則由題意列出不等式組為()A． B．C． D．【答案】A【解析】解：設張力平均每天讀x頁，由題意得：，故選：A．考點07：一元一次不等式組的應用例題7．（23-24七年級下·河南信陽·期末）某大型企業(yè)為了保護環(huán)境，準備購A、B兩種型號的污水處理設備共10臺，一臺A型設備的單價為12萬，一臺B型設備的單價為10萬元，經(jīng)了解，一臺A型設備每月可處理污水220噸，一臺B型設備每月可處理污水190噸，如果該企業(yè)計劃用不超過106萬元的資金購買這兩種設備，而且使這兩種設備每月的污水處理量不低于2005噸，請通過計算說明這種方案是否可行．【答案】該企業(yè)計劃投入不超過106萬購買這兩種設備不可行．【解析】解：該企業(yè)投入106萬購買這兩種設備不可行，理由：設購買型污水處理設備臺，，解得且，該不等式組無解，∴該企業(yè)計劃投入不超過106萬購買這兩種設備不可行．【變式7-1】（24-25七年級上·山西忻州·期中）如果把一個非負實數(shù)“四舍五入”到個位的值記為．那么當為非負整數(shù)時，若，則．如：，．根據(jù)以上材料，解決下列問題：(1)若，則滿足的條件：_____；(2)若，則應滿足的條件：_____；【答案】(1)(2)【解析】（1）解：，，，故答案為：；（2）解：，，，，，故答案為：．【變式7-2】（23-24七年級下·湖北隨州·期末）“保護好環(huán)境，拒絕冒黑煙”，某市公交公司將淘汰某一條線路上“冒黑煙”較嚴重的公交車，計劃購買型和型兩種環(huán)保節(jié)能公交車共輛，若購買型公交車輛，型公交車輛，共需萬元：若購買型公交車輛，型公交車輛，共需萬元．(1)求購買型和型公交車每輛各需多少萬元？(2)預計在該線路上型和型公交車每輛年均載客量分別為萬人次和萬人次，若該公司購買型和型公交車的總費用不超過萬元，且確保這輛公交車在該線路的年均載客總和不少于萬人次，則該公司有哪幾種購車方案？哪種購車方案總費用最少？最少總費用是多少？【答案】(1)購買型公交車每輛需萬元，購買型公交車每輛需萬元．(2)三種方案：①購買型公交車輛，則型公交車輛；②購買型公交車輛，則型公交車輛；③購買型公交車輛，則型公交車輛；型公交車輛，型公交車輛費用最少，最少總費用為萬元．【解析】（1）解：設購買型公交車每輛需萬元，購買型公交車每輛需萬元，由題意得，解得，即購買型公交車每輛需萬元，購買型公交車每輛需萬元．（2）解：設購買型公交車輛，則型公交車輛，由題意得，解得：，、、；則、、，則有三種方案：①購買型公交車輛，則型公交車輛：萬元；②購買型公交車輛，則型公交車輛：萬元；③購買型公交車輛，則型公交車輛：萬元；，購買型公交車輛，型公交車輛費用最少，最少總費用為萬元．【變式7-3】某工廠計劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共60件，需購買甲、乙兩種材料，生產(chǎn)一件A產(chǎn)品需甲種材料4千克，乙種材料1千克；生產(chǎn)一件B產(chǎn)品需甲、乙兩種材料各3千克，經(jīng)測算，購買甲、乙兩種材料各1千克共需資金70元；購買甲種材料2千克和乙種材料3千克共需資金180元．(1)甲、乙兩種材料每千克分別是多少元？(2)現(xiàn)工廠用于購買甲、乙兩種材料的資金不超過12100元，且生產(chǎn)B產(chǎn)品不少于48件，問符合生產(chǎn)條件的生產(chǎn)方案有哪幾種？【答案】(1)甲種材料每千克30元，乙種材料每千克40元(2)三種，方案1：A產(chǎn)品12個，B產(chǎn)品48個，方案2：A產(chǎn)品11個，B產(chǎn)品49個，方案3：A產(chǎn)品10個，B產(chǎn)品50個．【解析】（1）解：設甲種材料每千克x元，乙種材料每千克y元，依題意得：，解得．答：甲種材料每千克30元，乙種材料每千克40元．（2）解：設生產(chǎn)B產(chǎn)品a件，生產(chǎn)A產(chǎn)品件．根據(jù)題意，得．解得：．∵a的值為非負整數(shù)，∴，則分別等于12、11、10．∴共有三種符合生產(chǎn)條件的方案：方案1：A產(chǎn)品12個，B產(chǎn)品48個；方案2：A產(chǎn)品11個，B產(chǎn)品49個；方案3：A產(chǎn)品10個，B產(chǎn)品50個．一、單選題1．（23-24七年級下·安徽亳州·期末）不等式組的最大整數(shù)解是（

）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】B【解析】解：，解不等式①得：解不等式②得：∴不等式組的解集為：，∴最大整數(shù)解為，故選：B．2．（23-24七年級下·安徽黃山·期末）關(guān)于x的不等式組只有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：，解得：，∵不等式組只有3個整數(shù)解，∴．故選：B3．（2024·江蘇南通·二模）已知x，y滿足，且，．若，則k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解關(guān)于x，y的方程組：，解得：，，，，解得：，的取值范圍為：，故選：C．4．（22-23七年級下·安徽合肥·期末）若不等式組無解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵不等式組