《數字通信原理》課件第7章

第7章數字信號的最佳接收理論7.1數字信號接收的統(tǒng)計表述7.2最小差錯概率接收

7.3最大輸出信噪比接收

7.4最佳接收機性能分析

7.5基帶傳輸系統(tǒng)最佳化7.1數字信號接收的統(tǒng)計表述

數字信號接收的統(tǒng)計模型如圖7-1所示。圖7-1數字信號接收的統(tǒng)計模型

1.消息空間的統(tǒng)計特性

在數字通信系統(tǒng)中，消息是離散狀態(tài)的，設消息的狀態(tài)集合為

X={x1,x2,…,xm}(7-1)

若消息中每一狀態(tài)的發(fā)送是統(tǒng)計獨立的，第i個狀態(tài)xi的出現概率為P(xi)，則消息x的一維概率分布為

(7-2)因為m個消息必定發(fā)送其一，所以下式成立：(7-3)若消息各狀態(tài)x1、x2、…、xm出現的概率相等，則有(7-4)

2.信號空間的統(tǒng)計特性

消息是各種物理量，不能直接在數字通信系統(tǒng)中進行傳輸，因此需要將消息變換為相應的電信號s(t)(用參數s來表示)。將消息變換為信號可以有各種不同的變換關系，通常最直接的方法是建立消息與信號之間一一對應的關系，即消息xi與信號si(i=1,2,…,m)相對應。這樣，信號集合S也由m個狀態(tài)組成，即

S={s1,s2,…,sm}(7-5)

并且信號集合各狀態(tài)出現的概率與消息集合各狀態(tài)出現的概率相等，即

P(s1)=P(x1),P(s2)=P(x2),…,P(sm)=P(xm)(7-6)

同時也有(7-7)若消息各狀態(tài)出現的概率相等，則有(7-8)

3.噪聲空間的統(tǒng)計特性

由于信道是加性高斯噪聲信道，因此噪聲空間n是加性

高斯噪聲。為了更全面地描述噪聲的統(tǒng)計特性，采用噪聲的多維聯合概率密度函數。噪聲n的k維聯合概率密度函數為

fk(n)=f(n1,n2,…,nk)(7-9)

式中，n1、n2、…、nk分別為噪聲n在k個不同時刻的取值。根據隨機信號分析，若隨機信號各樣值是統(tǒng)計獨立的，則其k維聯合概率密度函數等于其k個一維概率密度函數的乘積，即(7-10)式中，f(ni)是噪聲n在ti時刻的取值ni的一維概率密度函數;σ2n是噪聲的方差。根據帕塞瓦爾定理，當k很大時有(7-11)式中，n0=σ2n／fH為噪聲的單邊功率譜密度。將其代入式(7-10)可得(7-12)

4.觀察空間的統(tǒng)計特性

信號通過信道疊加噪聲后到達觀察空間。觀察空間的觀察波形為

y=s+n(7-13)

由于在一個碼元周期TB內，信號集合中各狀態(tài)s1、s2、

…、sm其中之一被發(fā)送，因此在觀察期間TB內觀察的波形為

y(t)=si(t)+n(t)(i=1，2，…，m)

(7-14)由于n(t)是均值為0、方差為σ2n的高斯過程，因此當出現信號si(t)時，y(t)的概率密度函數fsi(y)可表示為

式中,fsi(y)稱為似然函數。它是信號統(tǒng)計檢測的第二數據。(i=1，2，…，m)(7-15)

5.判決空間的統(tǒng)計特性

根據y(t)的統(tǒng)計特性，按照某種準則，即可對y(t)作出判決。判決空間中可能出現的狀態(tài)D1、D2、…、Dm與信號空間中的各狀態(tài)s1、s2、…、sm相對應。

7.2最小差錯概率接收

7.2.1最小差錯概率準則

假如判決為s1的事件記為D1，判決為s2的事件記為D2,且

s1和s2對應的先驗概率分別為P(s1)和P(s2)，則在發(fā)s1的條件下出現接收波形y的概率密度函數fs1(y)和在發(fā)s2條件下出現接收波形y的概率密度函數fs2(y)可用圖7-2表示。圖7-2條件概率密度曲線及判決電平設判決門限值為VT，則發(fā)s1錯判為D2的概率為發(fā)s2錯判為D1的概率為(7-16)(7-17)系統(tǒng)的平均錯誤概率為當發(fā)送信號s1、s2的波形確定，先驗概率也確定，信道噪聲為高斯白噪聲時，Pe的大小完全由判決門限值確定。要使Pe最小，必然存在一個最佳判決門限值。令，即(7-19)滿足式(7-19)的門限值為最佳門限值，記為V*T。由式(7-19)求得最佳判決時，有以下等式成立:(7-20)式(7-20)就是最小差錯概率的條件。由此得到結論,如果按如下規(guī)則進行判決，那么能使總差錯概率最小:(7-21)通常將式(7-21)稱為似然比準則，即最小差錯概率準則，也稱最佳接收準則。如果P(s1)=P(s2)，那么式(7-21)可寫為(7-22)式(7-22)所示判決規(guī)則，意味著fs1(y)和fs2(y)哪個值大就判為其對應的D1或D2，常稱為最大似然準則。顯然，最大似然準則是似然比準則的一種特例。7.2.2最小差錯概率接收機設計

設到達接收機輸入端的兩個確知信號為s1(t)和s2(t)，它

們的持續(xù)時間為(0，TB)，且有相等的能量，即輸入噪聲n(t)是均值為0的高斯白噪聲，其單邊功率譜密度為n0。現在設計一個接收機，使它能在噪聲干擾下以最小的差錯概率檢測信號。由前面的分析可知，為了能以最小差錯概率判定是s1(t)

還是s2(t)到達接收機，只需按式(7-21)或式(7-22)的判決準則來進行判斷即可。在觀察時間(0，

TB)內，接收機輸入端的信號為s1(t)或s2(t)，其合成波為(7-24)當出現s1(t)或s2(t)時，觀察空間的似然函數分別為(7-26)(7-25)根據式(7-21)可得(7-27)對式(7-27)兩邊取自然對數，并整理得到(7-28)因為s1(t)和s2(t)具有相等的能量，且令(7-29)所以，式(7-28)可化簡為(7-80)由式(7-30)可得到最小差錯概率接收機的結構方框圖如圖7-3所示。由圖可見，這種最佳接收機的結構是通過比較接

收信號y(t)與發(fā)送信號s1(t)和s2(t)的互相關函數的大小而構成的，因此，該接收機也稱為相關檢測器形式的最佳接收機，簡稱相關接收機。如果y(t)與發(fā)送信號s1(t)的互相關函數比

y(t)與s2(t)的互相關函數大，那么比較器判s1出現；反之，判

s2出現。它的物理意義也很明顯，即互相關函數越大，說明接收到的波形y(t)與該信號越相像，因此正確判決的概率也越大。若先驗等概率，即P(s1)=P(s2)，則有U1=U2，故圖7-3中的相加器可以省掉，最小差錯概率接收機的結構方框圖可進一步簡化,如圖7-4所示。圖7-3最小差錯概率接收機結構方框圖圖7-4先驗等概率時最小差錯概率接收機結構方框圖7.3最大輸出信噪比接收

1.匹配濾波器的傳輸函數

下面從最大輸出信噪比的要求出發(fā)，推導匹配濾波器的傳輸函數H(f)。匹配濾波器方框圖如圖7-5所示。圖7-5匹配濾波器方框圖根據so(t)與So(f)為一對傅里葉變換及So(f)=H(f)S(f)，

可知(7-31)

若在t=t0時刻抽樣，則在抽樣時刻輸出信號so(t0)的表達式為(7-32)設抽樣時刻信號功率為So，則(7-33)設輸出噪聲功率為No，則(7-34)因此匹配濾波器在t0時刻的輸出信噪比ro為(7-35)由式(7-35)可以看出，對于給定的信號S(f)和t0時刻，不同的H(f)將有不同的輸出信噪比ro。許瓦爾茲不等式具有如下形式:(7-36)當X(f)與Y(f)互為共軛，即

X(f)=KY＊(f)(K為比例常數)(7-37)時，式(7-36)取等號，即不等式的左邊取得最大值。將許瓦爾茲不等式應用于式(7-35)的分子中，令(7-38)則許瓦爾茲不等式中取最大值的條件X(f)=KY*(f)對應于(7-39)式中，S*(f)是輸入信號頻譜S(f)的共軛復數。在滿足式(7-39)的條件下，有(7-40)并且此時它的值最大。于是得到最大信噪比(7-41)對式(7-39)兩邊求模得到式中，|H(f)|是匹配濾波器的幅度特性;|S(f)|是信號的振幅譜。

2.匹配濾波器的沖激響應

根據H(f)與h(t)是一對傅里葉變換可知可得可見，匹配濾波器的沖激響應是輸入信號的鏡像信號在時間上時延t0(t0是抽樣時刻)。從提高傳輸速度的角度考慮，希望t0的值盡量小。但h(t)是沖激響應，從物理可實現性考慮，當t<0時h(t)=0，即h(t)在時間為負時不應有值。h(t)為信號的鏡像,同時又要保證其物理可實現，則必須把該鏡像波形右移到t>0范圍內，右移的時間便是t0。那么t0取多少比較合適呢？下面用例子加以說明。設信號s(t)如圖7-6(a)所示，s(t)的鏡像信號s(－t)如圖7-6(b)所示，t0為最小的物理可實現的h(t)如圖7-6(c)所示。從圖7-6(c)可以看到t0=t2，t2是信號s(t)的結束時間。這就是說，輸入信號剛剛結束就立即抽樣，顯然它的速率是最高的，同時它對應的h(t)也是物理可實現的。若抽樣時間先于信號結束的時間，即t0<t2，則顯然是不正確的。圖7-6匹配濾波器的沖激響應實例(a)原始信號;(b)鏡像信號;(c)匹配濾波器的沖激響應由以上分析可知,匹配濾波器獲得其最大輸出信噪比時刻t0必須在輸入信號全部結束之后。其物理意義很明顯，如果輸入信號尚未結束，那么就無法得到輸入信號的全部能量E，從而也就不能獲得romax。但是一般又希望t0盡量小，故通常把t0取在輸入信號持續(xù)時間的末尾，即輸入信號消失的

時刻。

3.匹配濾波器的輸出響應

匹配濾波器的輸出響應so(t)是輸入信號s(t)與沖激響應h(t)的卷積，即(7-47)式中，rs(t0－t)是s(t)的自相關函數。根據自相關函數是偶函數的特性，得

so(t)=Krs(t－t0)(7-48)

可見，匹配濾波器的輸出響應是輸入信號的自相關函數的K倍。當抽樣時刻t=t0時，有

so(t0)=Krs(0)(7-49)

式中，rs(0)是自相關函數在時間間隔為0時的值。該值為最大值。故抽樣時刻的輸出信號也為最大值，此時進行信號的判決最為有利，因此也說匹配濾波器是輸入信號的自相關器。白噪聲通過匹配濾波器后的響應為

no(t)=n(t)＊h(t)=Krns(t0－t)(7-50)

式中，

rns(t0－t)是輸入噪聲與輸入信號的互相關函數。在抽樣時刻t=t0，則no(t0)=Krns(0)。rns(0)是互相關函數在時間間隔為0時的值，它表示n(t)與s(t)相乘并積分。由于n(t)與s(t)是不相關的，因此積分值較小，故輸出的噪聲較小。由此可見，匹配濾波器是輸入信號與噪聲的互相

關器。正是由于匹配濾波器對輸入信號是自相關器，對輸入噪聲是互相關器，才使得輸出信噪比明顯提高。

根據匹配濾波器的上述特性，匹配濾波器可用圖7-7所示的相關器來實現。圖7-7匹配濾波器的相關器實現方框圖當輸入端加入信號s(t)時，則輸出端(7-51)當輸入為噪聲n(t)時，則輸出端(7-52)

4.匹配濾波器的性能

(1)匹配濾波器的傳輸函數H(f)=KS*(f)e－j2πft0，因此若信號不同，則對應的匹配濾波器也不同。這一概念也可以這樣理解：某個給定的濾波器對某個信號是匹配濾波器，但對其他的信號就不是匹配濾波器了。

(2)對于匹配濾波器,|H(f)|=K|S(f)|，通常S(f)≠C(C是常

數)，所以信號通過匹配濾波器會產生嚴重的波形失真。

(3)匹配濾波器只用于數字信號接收。因為匹配濾波器的輸出能獲得最大信噪比，有利于抽樣判決，減小誤碼率，但匹配濾波器同時也使輸出波形產生嚴重的失真，所以它不能用于模擬信號的接收或濾波。

(4)根據romax=2E/n0，說明最大輸出信噪比僅與信號的能量及白噪聲的功率譜密度有關，與信號波形無關。提高信號幅度和增大信號作用時間，都能有效地提高信號能量，從而提高匹配濾波器輸出信噪比。

(5)匹配濾波器的重要參數列于表7-1中,以便查找。

【例7-1】已知信號s(t)如圖7-8(a)所示，求對應的匹配濾波器的傳輸函數和輸出響應。圖7-8例7-1圖(a)原始信號;(b)匹配濾波器的沖激響應;(c)匹配濾波器的輸出響應解由圖7-8(a)可知信號s(t)消失的時刻為t0=τ0，因此根據式(7-46)可得匹配濾波器的沖激響應為

h(t)=Ks(t0－t)=Ks(τ0－t)

該式表示h(t)是s(t)鏡像并右移τ0且幅度是s(t)的K倍。h(t)的圖形如圖7-8(b)所示。因為所以匹配濾波器的傳輸函數為so(t)的波形如圖7-8(c)所示。

【例7-2】求如圖7-9(a)所示信號對應的匹配濾波器的傳輸函數及輸出響應。

解

h(t)是s(t)的鏡像再右移τ0，其圖形如圖7-9(b)所示。

h(t)的表達式為圖7-9例7-2圖(a)原始信號;(b)匹配濾波器的沖激響應;(c)匹配濾波器的輸出響應

H(f)是h(t)對應的頻譜，由于h(t)可以看成是幅度為

KA、時間僅存在于0≤t≤τ0的矩形脈沖與cos2πf0t的乘積，因此

輸出響應為當f0較大時，上式中的最右邊一項可忽略，則其波形如圖7-9(c)所示。7.3.2最大輸出信噪比接收機設計

由前面的討論知道，由于匹配濾波器在取樣時刻具有最大輸出信噪比，因此由匹配濾波器構成的接收機就是最大輸出信噪比準則下的最佳接收機，即最大輸出信噪比接收機。用匹配濾波器構成的二進制數字信號最佳接收機的結構方框圖如圖7-10所示。圖7-10匹配濾波器形式的最佳接收機結構方框圖因為匹配濾波器是輸入信號的自相關器，所以圖7-10的接收機結構也可用自相關器形式的模型來實現，如圖7-11所示。由于判決器每個碼元判決一次，因此積分器的積分時間為0~TB。圖7-11用相關器實現的匹配濾波器形式的最佳接收機結構方框圖比較圖7-11和圖7-4，可以發(fā)現兩個模型相同，因此，在高斯白噪聲條件下，最小差錯概率準則和最大輸出信噪比準則是等價的，它們都能獲得最小的差錯概率。由這兩個準則建立起來的相關器形式的最佳接收機與匹配濾波器形式的最佳接收機在性能上也是等效的。

7.4最佳接收機性能分析

7.4.1二進制最佳接收機性能

由式(7-18)可知系統(tǒng)的平均錯誤概率為

Pe=P(s1)P(D2/s1)+P(s2)P(D1/s2)

(7-53)式中，P(s1)、P(s2)分別為發(fā)送s1(t)和s2(t)時的先驗概率；P(D2/s1)、P(D1/s2)分別為發(fā)送s1(t)和s2(t)時的錯誤概率。通常先驗概率是已知的，因此求Pe的問題實際上是求解P(D2/s1)

和P(D1/s2)的問題。因為P(D2/s1)和P(D1/s2)的求解方法相同，所以下面只介紹P(D2/s1)的求解過程。設發(fā)送端發(fā)送s1(t)，則接收端的輸入信號為y(t)=s1(t)+n(t)。

根據式(7-27)，發(fā)s1錯判為D2的概率應為以下不等式存在的概率，即(7-54)將y(t)=s1(t)+n(t)代入式(7-54)得(7-55)對式(7-55)兩邊取自然對數，并整理得到(7-56)顯然，式(7-56)的右邊是常數，令其為VT，即(7-57)將式(7-56)的左邊用ξ１(t)表示，即(7-58)因此式(7-56)可以簡單地寫成

ξ１(t)<VT(7-59)在式(7-58)中，因為n(t)是高斯噪聲，ξ１(t)僅是n(t)的積分等運算，而積分可以看成連續(xù)求和，所以ξ１(t)仍是高斯分布。ξ１(t)的數學期望為

ξ１(t)的方差為式中，E［n(t)n(τ)］是白噪聲的自相關函數。它與功率譜密度是一對傅里葉變換，因為白噪聲的功率譜密度為n0／2，所以自相關函數為沖激函數，即(7-62)將式(7-62)代入式(7-61)，可得(7-63)

ξ１(t)的數學期望、方差均已求得，則它的一維概率密度函數可表示為因此可以得到發(fā)s1錯判為D2的概率為(7-65)式中,Φ(x)為概率積分函數。用同樣的方法，可以得到發(fā)s２錯判為D1的概率為將式(7-65)和式(7-66)代入式(7-53)，得到系統(tǒng)的平均錯誤概率為(7-67)(7-66)若s1(t)和s2(t)等概率、等能量，即P(s1)=P(s2)，

E1=E2=Es，則有VT=0，m1=(1－ρ)Es，m2=(ρ－1)Es，σ=／n0Es(1－ρ)，將它們代入式(7-67)可得

(7-68)7.4.2二進制信號的最佳形式

對于2PSK信號，有則(7-69)(7-70)代入式(7-68)，得到(7-70)對2FSK信號(7-71)當選擇f1和f2為1/TB的整數倍時，s1(t)和s2(t)是正交的，即

故互相關系數ρ=0，代入式(7-68)，得到(7-72)對于2ASK信號的分析比較麻煩，因為對于2ASK信號,有(7-73)不符合等能量的條件，所以不能直接利用式(7-68)進行計算，而應該用式(7-67)進行計算。若假設“0”和“1”碼等概率，即P(s1)=P(s2)=1/2，且有

E2=0，則(7-74)

對于2ASK信號，互相關系數ρ=0，則m1=E1，m2=0，(7-75)將式(7-74)和式(7-75)代入式(7-67)，得到式(7-76)要求“0”和“1”碼等概率，E1為“1”碼的能量，它與2PSK、2FSK公式中的Es是相等的，這是因為2PSK、2FSK中“0”和“1”碼等能量，即Es=E1=E2。7.4.3實際接收機與最佳接收機的性能比較

將第6章得到的二進制數字調制系統(tǒng)相干接收誤碼率公式與本節(jié)得到的二進制最佳接收機的誤碼率公式作比較，發(fā)現它們在形式上是一樣的，如表7-2所示。在s(t)和n0相同的條件下，對于實際接收機來說，信號要經過帶通濾波，然后進行信號檢測,因此實際接收機的信噪功率比r與帶通濾波器的特性有直接關系。在第6章的分析中，均認為信號能順利通過帶通濾波器，而噪聲僅在帶通濾波器的通帶內通過,于是，信噪功率比r就是信號s(t)的平均功率與帶通濾波器輸出噪聲功率之比。假設帶通濾波器的帶寬為B，則信噪比r可表示為(7-77)對于最佳接收機，由于Es=STB，因此Es/n0可表示為(7-78)由式(7-77)和式(7-78)可見，只要比較一下B和1/TB的大小,就可以得出兩種接收機性能的好壞了。7.5基帶傳輸系統(tǒng)最佳化

7.5.1最佳基帶傳輸系統(tǒng)結構

要使抗噪聲性能最好，則要滿足最小差錯概率準則或最大輸出信噪比準則，由于在白噪聲為背景的條件下，兩個準則是等效的，并且都可以等效為匹配濾波器，因此最佳基帶傳輸系統(tǒng)必須滿足如下的聯立方程

(7-79)式(7-79)中的H(f)應滿足無碼間串擾的要求，即

(7-80)這是在第5章討論中得到的結論，現在需要補充說明的是，當時為了簡化公式，對H(f)