2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第7章-第2節(jié) 與球有關(guān)的切、接問題【課件】

第七章立體幾何與空間向量第2節(jié)與球有關(guān)的切、接問題1.能根據(jù)多面體、旋轉(zhuǎn)體的幾何性質(zhì)確定內(nèi)切、外接球的球心.2.會解決幾何體的內(nèi)切球、外接球相關(guān)問題.目

錄CONTENTS考點聚焦突破01課時分層精練02考點聚焦突破1KAODIANJUJIAOTUPO考點一

外接球A解析設(shè)PA＝PB＝PC＝2x，E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點，角度1

補形法——存在側(cè)棱與底面垂直過點P作PD⊥AC于點D.∵PA＝PC，∴D為AC的中點，又AB＝BC＝AC＝2，∴PA，PB，PC兩兩垂直，即三棱錐P－ABC是以PA，PB，PC為棱的正方體的一部分，角度2

補形法——對棱相等角度3借助三角形外心確定球心位置例3

若半徑為1的球的內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面為正方形，則該正三棱柱的體積為

_______，表面積為_____________．解析如圖，記正三棱柱為三棱柱ABC－DEF，O為外接球的球心，G為底面△DEF的重心，連接OG，則OG⊥底面DEF，連接DG，OD.設(shè)正三棱柱的底面邊長為a，則由題意知，DG2＋OG2＝DO2，感悟提升解析在三棱錐A－BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，將其補成長方體，兩者的外接球是同一個，長方體的體對角線就是球的直徑.設(shè)長方體同一頂點處的三條棱長分別為a，b，c，34π解析根據(jù)題意，三棱錐P－ABC可以嵌入一個長方體內(nèi)，且三棱錐的每條棱均是長方體的面對角線，設(shè)長方體交于一個頂點的三條棱長分別為a，b，c，如圖所示，則a2＋b2＝PA2＝18，a2＋c2＝PB2＝25，b2＋c2＝PC2＝25，解得a＝3，b＝3，c＝4.所以該三棱錐的外接球的半徑8π解析如圖所示，取BD，CD中點M，N，連接AM，MN，AN，BN.∴AM⊥BD，AM＝BM＝DM＝1，又平面ABD⊥平面CBD，∴AM⊥MN，則四面體ABCD外接球的表面積為4πR2＝8π.考點二

內(nèi)切球感悟提升訓(xùn)練2

如圖所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一塊石材，測量可得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若將該石材切削、打磨，加工成幾個大小相同的健身手球，則一個加工所得的健身手球的最大體積及此時加工成的健身手球的個數(shù)分別為(

)D解析依題意知，當健身手球與直三棱錐的三個側(cè)面均相切時，健身手球的體積最大.則健身手球的最大直徑為4.因為AA1＝13，所以最多可加工3個健身手球.課時分層精練KESHIFENCENGJINGLIAN2C解析設(shè)正方體的外接球的半徑為R，內(nèi)切球的半徑為r，棱長為1，則正方體的外接球的直徑為正方體的體對角線長，2.若圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球的半徑為1，則圓錐的體積為(

) A.π

B.2π C.3π D.4πC解析過圓錐的旋轉(zhuǎn)軸作軸截面，得△ABC及其內(nèi)切圓⊙O1和外接圓⊙O2，且兩圓同圓心，即△ABC的內(nèi)心與外心重合，易得△ABC為正三角形，由題意得⊙O1的半徑為r＝1，CAA6.(2024·福建聯(lián)合測評)已知在正三棱錐P－ABC中，O為△ABC的中心，AB＝6，∠APB＝2∠PAO，則該正三棱錐的外接球的表面積為(

) A.49π B.36π C.32π D.28πA解析設(shè)正三棱錐P－ABC的側(cè)棱長為x.因為∠APB＝2∠PAO，所以cos∠APB＝cos2∠PAO，設(shè)外接球球心為M，半徑為R，則MP＝MA＝R，MO＝|3－R|.因為MA2＝MO2＋OA2，AC解析由題意可知，BC＝AB＝8，且CD為球的直徑，所以BD⊥BC，AC⊥AD.9.在三棱錐A－BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD＝BD＝2，CD＝4，點A，B，C，D在同一個球面上，則該球的表面積為________.20π解析根據(jù)題意得，BC⊥平面ABD，則BC⊥BD，即AD，BC，BD三條線兩兩垂直，所以可將三棱錐A－BCD放置于長方體內(nèi)，如圖所示，該三棱錐的外接球即為長方體的外接球，球心為長方體體對角線的中點，即外接球的半徑為長方體體對角線長的一半，此時AC為長方體的體對角線，即為外接球的直徑，所以該球的表面積S＝4πR2＝π·AC2＝π·(22＋42)＝20π.10.如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn).我們來重溫這

個偉大發(fā)現(xiàn)，圓柱的體積與球的體積之比為________，圓柱的表

面積與球的表面積之比為________.解析由題意，知圓柱底面半徑為r，球的半徑為R，11.(2024·寶雞質(zhì)檢)如圖，在正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，O，O1分別是正方形ABCD，A1B1C1D1的中心.若以O(shè)1為球心，O1A1為半徑的球與平面ABCD相切，且O是該四棱臺的外接球的球心，則該四棱臺的體積與其外接球的體

積之比為________.解析連接OA1(圖略)，設(shè)A1B1＝a，AB＝b，OO1＝h，因為以O(shè)1為球心，O1A1為半徑的球與平面ABCD相切，因為O是該四棱臺外接球的球心，解析如圖所示，在△ABC中，由余弦定理得所以AB2＋BC2＝16＝AC2，即△ABC為直角三角形.故△ABC外接圓的圓心為斜邊AC的中點.取AC的中點為O1，連接PO1，則PO1⊥AC.由平面PAC⊥平面ABC，得PO1⊥平面ABC.該三棱錐外接球的球心在線段PO1上.C解析該四棱錐的體積最大，即以底面外接圓和頂點O組成的圓錐體積最大，設(shè)圓錐的高為h(0<h<1)，底面半徑為r，32π解析∵BD⊥平面ABC，故可將三棱錐補為直三棱柱，如圖所示，故三棱柱的上、下底面三角形的外接圓圓心在底邊中線的延長線上，設(shè)為O1，O2，易得∠O1BC＝60°，故O1B＝O1C＝BC＝2，∴三棱柱外接球球心為上、下底面外心所連線段的中點O，即為三棱錐D－ABC外接球球心，15.如圖，已知平行四邊形ABCD中，AC＝AB＝m，∠BAD＝120°，將△ABC沿對角線AC翻折至△AB1C所在的位置，若二面角B1－AC－D的大小為120°，

則過A，B1，C，D四點的外接球的表面積為________.解析由已知得△B1AC與△DAC均為邊長是m的正三角形，取AC中點G，連接DG，B1G，如圖，則有DG⊥AC，B1G⊥AC，于是得∠B1GD是二面角B1－AC－D的平面角，則∠B1GD＝120°，顯然有AC⊥平面B1GD，即有平面B1GD⊥平面B1AC，平面B1GD⊥平面DAC，令正△B1AC與正△DAC的中心分別為E，F(xiàn)，過E，F(xiàn)分別作平面B1AC，平面DAC的垂線，則兩垂線都在平面B1GD內(nèi)，它們交于點O，從而得點O是過A，B1，C，D四點的外接球球心，連接OA，則OA為該外接球半徑，解析如圖，取AB的中點為D，連接PD，CD，因為PA＝PB＝a，所以PD⊥AB.因為平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD?平面PAB，所以PD⊥平面ABC.同