2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第10章-第7節(jié) 離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征【課件】

第十章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第7節(jié)離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念.2.理解并會求離散型隨機變量的數(shù)字特征.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.離散型隨機變量一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω，都有________________與之對應(yīng)，我們稱X為隨機變量；可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量稱為離散型隨機變量.唯一的實數(shù)X(ω)2.離散型隨機變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P(X＝xi)＝____(i＝1，2，…，n)為X的概率分布列，簡稱分布列.pi3.離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)(1)pi≥0(i＝1，2，…，n)；(2)_______________

＝1.p1＋p2＋…＋pn4.離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平偏離程度5.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝__________.(2)D(aX＋b)＝_______

(a，b為常數(shù)).aE(X)＋ba2D(X)1.若X是隨機變量，Y＝aX＋b，a，b是常數(shù)，則Y也是隨機變量.2.E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)；D(X)＝E(X2)－(E(X))2.常用結(jié)論與微點提醒1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)離散型隨機變量的概率分布列描述了由這個隨機變量所刻畫的隨機現(xiàn)象.(

)(2)離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1.(

)(3)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的.(

)(4)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量的平均程度越小.(

)√×√√解析對于(2)，離散型隨機變量所有取值的并事件是必然事件，故各個概率之和等于1，故不正確.2.(選修三P63例1改編)在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運動員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球1次的得分X的均值為(

) A.0.2 B.0.4 C.0.8 D.1C解析某運動員罰球1次的得分為X，X的取值可能為0，1，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝1)＝0.8，E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8.

3.(選修三P59例1改編)設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X表示一次試驗的成功次數(shù)，則P(X＝0)＝________.解析設(shè)P(X＝1)＝p，則P(X＝0)＝1－p，解析設(shè)P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一分布列的性質(zhì)例1(1)設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列為則q＝________.解析由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)得解析由已知得隨機變量X的分布列為感悟提升離散型隨機變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值.(2)利用“在某個范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率.(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確.C解析由隨機變量X的分布列知，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，故當P(X<a)＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是(1，2].考點二離散型隨機變量的數(shù)字特征(1)求乙總得分為10分的概率；解由題意知，乙得10分的樣本點有乙搶到2題且1道回答正確、1道回答錯誤或沒有回答，甲、乙各搶到1題且都回答正確，甲搶到2題都回答錯誤或沒有回答，所以乙總得分為10分的概率(2)記X為甲的總得分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解由題意得，甲的總得分X的可能取值為0，5，10，15，20，感悟提升求離散型隨機變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義，寫出ξ的所有可能取值；(2)求ξ取每個值的概率；(3)寫出ξ的分布列；(4)由均值、方差的定義求E(ξ)，D(ξ).訓(xùn)練2(2024·石家莊調(diào)研)在一次班級聯(lián)歡晚會上，某班設(shè)計了一個摸球表演節(jié)目的游戲：在一個紙盒中裝有紅球、黃球、白球、黑球各1個，這些球除顏色外完全相同，同學(xué)不放回地每次摸出1個球，若摸到黑球，則停止摸球，否則就要將紙盒中的球全部摸出才停止.規(guī)定摸到紅球表演兩個節(jié)目，摸到白球或黃球表演1個節(jié)目，摸到黑球不用表演節(jié)目.(1)求a同學(xué)摸球三次后停止摸球的概率；(2)記X為a同學(xué)摸球后表演節(jié)目的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望、方差.解隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，4.考點三均值與方差中的決策問題解設(shè)“操作成功”為事件S，“選擇M型AED”為事件A，“選擇N型AED”為事件B，(2)為激發(fā)師生學(xué)習(xí)并正確操作AED的熱情，學(xué)校選擇一名教師代表進行連續(xù)兩次設(shè)備操作展示，下面是兩種方案：方案甲：在第一次操作時，隨機等可能地選擇M或N型AED中的一種，若第一次對某類型AED操作成功，則第二次繼續(xù)使用該類型設(shè)備；若第一次對某類型AED操作不成功，則第二次使用另一類型AED進行操作.方案乙：在第一次操作時，隨機等可能地選擇M或N型AED中的一種，無論第一次操作是否成功，第二次均使用第一次所選擇的設(shè)備.假定方案選擇及操作不相互影響，以成功操作累積次數(shù)的期望值為決策依據(jù)，分析哪種方案更好？解

設(shè)方案甲和方案乙成功操作累計次數(shù)分別為X，Y，則X，Y可能取值均為0，1，2，決策一：因為E(X)>E(Y)，故方案甲更好.決策二：因為E(X)與E(Y)差距非常小，所以兩種方案均可.感悟提升隨機變量的均值和方差從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.解若按“項目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元，X1的所有可能取值為300，－150.則X1的分布列為若按“項目二”投資，設(shè)獲利X2萬元，X2的所有可能取值為500，－300，0.則X2的分布列為：所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，這說明雖然項目一、項目二獲利的期望值相等，但項目一更穩(wěn)妥.綜上所述，建議該投資公司選擇項目一投資.課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIAN1.已知下列隨機變量：①10件產(chǎn)品中有2件次品，從中任選3件，取到次品的件數(shù)X；②一位射擊選手對目標進行射擊，擊中目標得1分，未擊中目標得0分，該射擊選手在一次射擊中的得分X；③一天內(nèi)的溫度X；④在體育彩票的抽獎中，一次搖號產(chǎn)生的號碼數(shù)X.其中X是離散型隨機變量的是(

)A.①②③ B.①②④C.②③④ D.③④B解析①中，X的可能取值為0，1，2，符合要求；②中，X的可能取值為0，1，符合要求；③中，一天的溫度變化是連續(xù)的，所以X不是離散型隨機變量；④中，在體育彩票的抽獎中，一次搖號產(chǎn)生的號碼數(shù)是離散且隨機的，符合要求.CAC解析設(shè)P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝q，DABAC解析記未使用過的乒乓球為A，已使用過的為B，任取3個球的所有可能是1A2B，2A1B，3A，A使用后成為B，故X的所有可能取值是3，4，5，故A正確；8.已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個紅球和3個黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個紅球和4個黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒內(nèi)各任取2個球.設(shè)ξ為取出的4個球中紅球的個數(shù)，

則P(ξ＝2)＝________.解析∵a，b，c成等差數(shù)列，∴2b＝a＋c，2解析設(shè)P(X＝1)＝P(X＝3)＝a，P(X＝2)＝b，則2a＋b＝1.于是E(X)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.11.設(shè)箱子里裝有同樣大小的3個紅球及白球、黑球、黃球、綠球各1個.(1)若甲從中一次性摸出2個球，求兩個球顏色不相同的概率；(2)若乙從中一次性取出3個球，設(shè)3個球中的紅球個數(shù)為X，求隨機變量X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望值.解隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，12.某游樂場設(shè)置了迷宮游戲，有三個造型相同的門可供選擇，參與者進入三個門的結(jié)果分別是3分鐘走出去，6分鐘走出去，3分鐘返回出發(fā)點.游戲規(guī)定：不重復(fù)進同一個門，若返回出發(fā)點立即重新選擇，直到走出迷宮游戲結(jié)束. (1)求一名游戲參與者走出迷宮所用時間的均值；解設(shè)一名游戲參與者走出迷宮所用時間為X(單位：分鐘)，則X的所有可能取值為3，6，9，(2)甲、乙2人相約玩這個游戲.2人商量了兩種方案.方案一：2人共同行動；方案二：2人分頭行動.分別計算兩種方案2人都走出迷宮所用時間和的均值.AC∴E(ξ)＝0.5＋2a，0≤a≤0.5.14.(2021·新高考Ⅰ卷)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.

已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān). (1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；解由題意得X的所有可能取值為0，20，100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.解當小明先回答A類問題時，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.當小明先回答B(yǎng)類問題時，記Y為小明的累計得分，則Y