2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)高考專題突破三高考中的數(shù)列問題講義理蘇教版

高考專題突破三

高考中的數(shù)列問題考點自測課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引考點自測1.(2017·蘇州月考)數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且a1，a3，a7為等比數(shù)列{bn}中連續(xù)的三項，則數(shù)列{bn}的公比為____.答案解析設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，由

＝a1a7，得(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2d，22.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a5＝5，S5＝15，則數(shù)列

的前100項和為_____.答案解析設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d.∴an＝a1＋(n－1)d＝n.∵a5＝5，S5＝15，3.(2016·南通、淮安模擬)在等比數(shù)列{an}中，a2＝1，公比q≠±1.若a1，4a3，7a5成等差數(shù)列，則a6的值是____.答案解析因為{an}為等比數(shù)列，且a2＝1，所以a1＝

，a3＝q，a5＝q3，由a1，4a3，7a5成等差數(shù)列得8q＝

＋7q3，解得q2＝1(舍去)或q2＝

，故a6＝a2q4＝.4.(2015·課標(biāo)全國Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝____.答案解析由題意，得S1＝a1＝－1，又由an＋1＝SnSn＋1，得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，因為Sn≠0，所以

＝1，所以

＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝.5.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N*都有Sn＝

，若1<Sk<9(k∈N*)，則k的值為____.答案解析4由題意，Sn＝

，當(dāng)n≥2時，Sn－1＝

，兩式相減，得an＝

，∴{an}是以－1為首項，以－2為公比的等比數(shù)列，∴an＝－(－2)n－1，由1<Sk<9，得4<(－2)k<28，又k∈N*，∴k＝4.∴an＝－2an－1，又a1＝－1，題型分類深度剖析題型一等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題例1

(2016·蘇州暑假測試)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，其前n項和Sn＝pn2＋2n，n∈N*.(1)求實數(shù)p的值及數(shù)列{an}的通項公式；解答Sn＝na1＋

＝na1＋n(n－1)＝n2＋(a1－1)n，又Sn＝pn2＋2n，n∈N*，所以p＝1，a1－1＝2，即a1＝3，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.(2)在等比數(shù)列{bn}中，b3＝a1，b4＝a2＋4，若{bn}的前n項和為Tn.求證：

數(shù)列{Tn＋}為等比數(shù)列.證明因為b3＝a1＝3，b4＝a2＋4＝9，所以q＝3.所以bn＝b3qn－3＝3×3n－3＝3n－2，所以b1＝.所以數(shù)列{Tn＋}是以

為首項，3為公比的等比數(shù)列.等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題的解題策略(1)分析已知條件和求解目標(biāo)，為最終解決問題設(shè)置中間問題，例如求和需要先求出通項、求通項需要先求出首項和公差(公比)等，確定解題的順序.(2)注意細節(jié)：在等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，如果等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能，在數(shù)列的通項問題中第一項和后面的項能否用同一個公式表示等，這些細節(jié)對解題的影響也是巨大的.思維升華跟蹤訓(xùn)練1在等差數(shù)列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解答設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d，由a10＝30，a20＝50，得方程組解得

所以an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10.(2)令bn＝

，證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；證明由(1)，得bn＝2an－10＝22n＋10－10＝22n＝4n，所以{bn}是首項為4，公比為4的等比數(shù)列.(3)求數(shù)列{nbn}的前n項和Tn.解答由nbn＝n×4n，得Tn＝1×4＋2×42＋…＋n×4n，

①4Tn＝1×42＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，

②①－②，得－3Tn＝4＋42＋…＋4n－n×4n＋1題型二數(shù)列的通項與求和例2

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，在數(shù)列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)設(shè)cn＝an－1，求證：{cn}是等比數(shù)列；證明∵an＋Sn＝n，

①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1. ②②－①，得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴{an－1}是等比數(shù)列.∵首項c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.又cn＝an－1，∴{cn}是以

為首項，

為公比的等比數(shù)列.(2)求數(shù)列{bn}的通項公式.解答∴an＝cn＋1＝1－()n.∴當(dāng)n≥2時，bn＝an－an－1又b1＝a1＝

，代入上式也符合，∴bn＝()n.(1)一般求數(shù)列的通項往往要構(gòu)造數(shù)列，此時要從證的結(jié)論出發(fā)，這是很重要的解題信息.(2)根據(jù)數(shù)列的特點選擇合適的求和方法，常用的有錯位相減法，分組求和法，裂項求和法等.思維升華跟蹤訓(xùn)練2已知{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝21，S4＋b4＝30.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；解答設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d.由條件a4＋b4＝21，S4＋b4＝30，所以an＝n＋1，bn＝2n，n∈N*.(2)記cn＝anbn，n∈N*，求數(shù)列{cn}的前n項和.解答由題意知cn＝(n＋1)×2n.記Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn.則Tn＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1＋(n＋1)×2n，2Tn＝2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n＋(n＋1)2n＋1，所以－Tn＝2×2＋(22＋23＋…＋2n)－(n＋1)×2n＋1，即Tn＝n·2n＋1，n∈N*.題型三數(shù)列與其他知識的交匯命題點1數(shù)列與函數(shù)的交匯例3

已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx的圖象過點(－4n,0)，且f′(0)＝2n，n∈N*，數(shù)列{an}滿足

，且a1＝4.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；解答

f′(x)＝2ax＋b，由題意知b＝2n，16n2a－4nb＝0，∴a＝

，則f(x)＝

＋2nx，n∈N*.數(shù)列{an}滿足又f′(x)＝x＋2n，由疊加法可得

＝2＋4＋6＋…＋2(n－1)＝n2－n，化簡可得an＝(n≥2)，當(dāng)n＝1時，a1＝4也符合，∴an＝(n∈N*).(2)記bn＝

，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解答∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn命題點2數(shù)列與不等式的交匯例4

設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn滿足

－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*.(1)求a1的值；令n＝1代入得a1＝2(負值舍去).解答(2)求數(shù)列{an}的通項公式；解答由

－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N*，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋3)＝0.又已知數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，故Sn＝n2＋n.當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，當(dāng)n＝1時，a1＝2也滿足上式，∴an＝2n，n∈N*.證明∵k∈N*，4k2＋2k－(3k2＋3k)＝k2－k＝k(k－1)≥0，∴4k2＋2k≥3k2＋3k，∴不等式成立.命題點3數(shù)列應(yīng)用題例5

(2016·南京模擬)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn).該企業(yè)第一年年初有資金2000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了50%.預(yù)計以后每年年增長率與第一年的相同.公司要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元.(1)用d表示a1，a2，并寫出an＋1與an的關(guān)系式；解答由題意，得a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，a2＝a1(1＋50%)－d＝

a1－d＝4500－

，…an＋1＝an(1＋50%)－d＝

－d.(2)若公司希望經(jīng)過m(m≥3)年使企業(yè)的剩余資金為4000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示).解答由(1)，得an＝

an－1－d＝(an－2－d)－d＝…整理，得an＝()n－1(3000－d)－2d[()n－1－1]＝()n－1(3000－3d)＋2d.由題意，得am＝4000，即()m－1(3000－3d)＋2d＝4000.故該企業(yè)每年上繳資金d的值為

時，經(jīng)過m(m≥3)年企業(yè)的剩余資金為4000萬元.數(shù)列與其他知識交匯問題的常見類型及解題策略(1)數(shù)列與函數(shù)的交匯問題①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形.另外，解題時要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運用函數(shù)的思想方法求解，在問題的求解過程中往往會遇到遞推數(shù)列，因此掌握遞推數(shù)列的常見解法有助于該類問題的解決.思維升華(2)數(shù)列與不等式的交匯問題①函數(shù)方法：即構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實數(shù)的不等式，通過對關(guān)于正實數(shù)的不等式特殊賦值得出數(shù)列中的不等式；②放縮方法：數(shù)列中不等式可以通過對中間過程或者最后的結(jié)果放縮得到；③比較方法：作差或者作商比較.(3)數(shù)列應(yīng)用題①根據(jù)題意，確定數(shù)列模型；②準(zhǔn)確求解模型；③問題作答，不要忽視問題的實際意義.跟蹤訓(xùn)練3設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，點(an，bn)在函數(shù)f(x)＝2x的圖象上(n∈N*).(1)若a1＝－2，點(a8，4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列{an}的前n項和Sn；解答由已知，得b7＝

，b8＝

＝4b7，有解得d＝a8－a7＝2.所以Sn＝na1＋

＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.(2)若a1＝1，函數(shù)f(x)的圖象在點(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2－

，求數(shù)列

的前n項和Tn.解答

f′(x)＝2xln2，f′(a2)＝2a2ln2，故函數(shù)f(x)＝2x在(a2，b2)處的切線方程為y－2a2＝2a2ln2(x－a2)，它在x軸上的截距為a2－.解得a2＝2.由題意，得a2－

＝2－

，所以d＝a2－a1＝1.從而an＝n，bn＝2n.所以Tn＝.課時作業(yè)1.(2016·全國甲卷)等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通項公式；解答設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由題意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3.解得a1＝1，d＝.所以{an}的通項公式為an＝.12345(2)設(shè)bn＝[an]，求數(shù)列{bn}的前10項和，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解答由(1)知，bn＝.當(dāng)n＝1,2,3時，1≤<2，bn＝1；當(dāng)n＝4,5時，2≤<3，bn＝2；所以數(shù)列{bn}的前10項和為1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.當(dāng)n＝6,7,8時，3≤<4，bn＝3；當(dāng)n＝9,10時，4≤<5，bn＝4.123452.(2016·山東)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數(shù)列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；解答由題意知，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝11，所以an＝6n＋5.設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d.由即

可解得b1＝4，d＝3，所以bn＝3n＋1.12345(2)令cn＝

，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.解答由(1)知，cn＝

＝3(n＋1)·2n＋1.又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2].兩式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝－3n·2n＋2，所以Tn＝3n·2n＋2.123453.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝

，a3＝

，且當(dāng)n≥2時，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.(1)求a4的值；解答當(dāng)n＝2時，4S4＋5S2＝8S3＋S1，解得：a4＝.12345(2)證明：

為等比數(shù)列；證明因為4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，所以4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)，所以n＝1也滿足此式，當(dāng)n＝1時，4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，所以4an＋2＋an＝4an＋1(n∈N*)，所以數(shù)列{an＋1－

an}是以a2－

a1＝1為首項，公比為

的等比數(shù)列.12345(3)求數(shù)列{an}的通項公式.解答由(2)知：數(shù)列{an＋1－

an}是以a2－

a1＝1為首項，公比為

的等比數(shù)列，所以an＋1－

an＝()n－1.所以數(shù)列

是以

＝2為首項，公差為4的等差數(shù)列，所以

＝2＋(n－1)×4＝4n－2，即an＝(4n－2)×()n＝(2n－1)×()n－1，所以數(shù)列{an}的通項公式是an＝(2n－1)×()n－1.123454.(2016·常州期末)已知等差數(shù)列{an}的公差d為整數(shù)，且ak＝k2＋2，a2k＝(k＋2)2，其中k為常數(shù)且k∈N*.(1)求k及an；解答由題意得②－①，得d＝4＋.因為k∈N*且d為整數(shù)，所以k＝1或k＝2.當(dāng)k＝1時，d＝6，代入①，解得a1＝3，所以an＝6n－3.當(dāng)k＝2時，d＝5，代入①，解得a1＝1，所以an＝5n－4.12345(2)設(shè)a1>1，{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的首項為1，公比為q(q>0)，前n項和為Tn.若存在正整數(shù)m，使得

＝T3，求q.解答因為a1>1，所以an＝6n－3，從而Sn＝3n2.由

＝T3，得

＝1＋q