第二章邏輯函數(shù)及其簡化

第2章邏輯函數(shù)及其簡化

2.1邏輯代數(shù)

2.2邏輯函數(shù)的簡化

邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)是英國數(shù)學(xué)家喬治.布爾（Geroge.Boole）于1849年首先進(jìn)行系統(tǒng)論述的，也稱布爾代數(shù)；由于被用在開關(guān)電路的分析和設(shè)計(jì)上，所以又稱開關(guān)代數(shù)。邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，用大寫字母表示。邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1。0和1并不表示數(shù)值的大小，而是表示兩種對(duì)立的邏輯狀態(tài)。功能描述方法有：1）真值表：即將自變量和因變量（輸入變量和輸出變量）的所有組合對(duì)應(yīng)的值全部列出來形成的表格。2）邏輯符號(hào)：用規(guī)定的圖形符號(hào)來表示。邏輯運(yùn)算：兩個(gè)表示不同邏輯狀態(tài)的二進(jìn)制數(shù)碼之間按照某種因果關(guān)系進(jìn)行的運(yùn)算。一、概述二、基本邏輯運(yùn)算1.與運(yùn)算（邏輯乘）（AND）只有決定事件結(jié)果的全部條件同時(shí)具備時(shí)，結(jié)果才發(fā)生。ABY

ABY斷開斷開不亮斷開閉合不亮閉合斷開不亮閉合閉合燈亮與運(yùn)算功能表1表示開關(guān)閉合，燈亮0表示開關(guān)斷開，燈不亮

ABY

000010100111與運(yùn)算真值表與運(yùn)算符，也有用“∧”、“∩”、“&”表示與運(yùn)算表達(dá)式

Y=A·B=AB與邏輯功能口訣：有“0”出“0”；全“1”出“1”。

與門邏輯符號(hào)&AYBYABAYB2.或運(yùn)算（邏輯加）（OR）決定事件結(jié)果的諸條件中只要有任何一個(gè)滿足，結(jié)果就會(huì)發(fā)生。BYA

ABY斷開斷開不亮斷開閉合燈亮閉合斷開燈亮閉合閉合燈亮或運(yùn)算功能表1表示開關(guān)閉合，燈亮0表示開關(guān)斷開，燈不亮或運(yùn)算符，也可用“∨”、“∪”表示或邏輯功能口訣：有“1”出“1”；全“0”出“0”。

ABY

000011101111或運(yùn)算真值表或運(yùn)算表達(dá)式

Y=A+B或門邏輯符號(hào)≥1

ABYYAB+

ABY3.非運(yùn)算（邏輯反）（NOT）只要條件具備了，結(jié)果就不會(huì)發(fā)生；而條件不具備時(shí)，結(jié)果一定發(fā)生。AY

AY

斷開燈亮閉合不亮非運(yùn)算功能表1表示開關(guān)閉合，燈亮0表示開關(guān)斷開，燈不亮“－”非邏輯運(yùn)算符

AY

0110

非運(yùn)算真值表非運(yùn)算表達(dá)式

Y=A非門邏輯符號(hào)1AYYAAY三、復(fù)合邏輯運(yùn)算1.與非運(yùn)算（NAND）

ABY

001011101110與非邏輯真值表與非邏輯表達(dá)式與非邏輯功能口訣：有“0”出“1”；全“1”出“0”。

&AYBYAB與非門邏輯符號(hào)AYB或非邏輯功能口訣：有“1”出“0”；全“0”出“1”。

ABY

001010100110或非邏輯真值表2.或非運(yùn)算（NOR）或非邏輯表達(dá)式或非門邏輯符號(hào)≥1

ABYYAB+

ABY與或非門邏輯符號(hào)3.與或非運(yùn)算（AND-OR-NOT）ABCDYYDCAB≥1&與或非邏輯表達(dá)式ABCDY

001010100110與或非邏輯真值表YDCAB+異或邏輯功能口訣：同為“0”；異為“1”。

4.異或運(yùn)算（XOR）

ABY

000011101110異或邏輯真值表異或邏輯表達(dá)式異或門邏輯符號(hào)YAB=1AYBAYB⊕同或邏輯功能口訣：同為“1”；異為“0”。

5.同或運(yùn)算（XNOR）

ABY

001010100111同或邏輯真值表同或邏輯表達(dá)式⊙異或與同或互為反運(yùn)算：⊙⊙同或門邏輯符號(hào)=1AYBYABA⊙YB邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則一、邏輯代數(shù)的基本定律0-1律重疊律互補(bǔ)律還原律分配律結(jié)合律交換律反演律吸收律冗余律

在兩個(gè)乘積項(xiàng)中，若有一個(gè)變量是互反的，那么由這兩個(gè)乘積項(xiàng)中的其它變量組成的乘積項(xiàng)就是多余的，可以消去。公式可推廣：求證:A+BC=(A+B)(A+C)證明:右邊=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;分配律,重疊律=A(1+B+C)+BC;分配律=A?1+BC;0-1律=A+BC;0-1律=左邊證明:右邊=AA+AB+AC+BC;分配律=A(A+B+C)+BC;分配律=A+BC;吸收律例：用真值表證明反演律000101101111000110010101000

證明:=AB+AC+ABC+ABC=AB+AC+(A+A)BC證明:左邊=AB+AC+BC=AB+AC=AB(1+C)+AC(1+B)例：證明冗余律成立；；分配律；分配律；0-1律=右邊練習(xí)：證明成立。證明:二、邏輯代數(shù)的基本規(guī)則1.代入規(guī)則：任何一個(gè)含有某變量的等式，如果等式中所有出現(xiàn)此變量的位置均代之以一個(gè)邏輯函數(shù)式，則此等式依然成立。例：A

B=A+BBC替代B得由此反演律能推廣到n個(gè)變量：利用反演律2.反演規(guī)則：對(duì)于任意一個(gè)邏輯函數(shù)式F，做如下處理：①運(yùn)算符“.”與“+”互換,“

”與“⊙”互換;②常量“0”換成“1”，“1”換成“0”；③原變量換成反變量，反變量換成原變量。那么得到的新函數(shù)式稱為原函數(shù)式F的反函數(shù)式。注意：

Δ遵守“括號(hào)、乘、加”（即括號(hào)－與－或）的運(yùn)算優(yōu)先次序。必要時(shí)適當(dāng)?shù)丶尤肜ㄌ?hào)。

非號(hào)保留，而非號(hào)下面的函數(shù)式按反演規(guī)則變換

將非號(hào)去掉，而非號(hào)下的函數(shù)式保留不變?chǔ)?/p>

不屬于單個(gè)變量上的非號(hào)處理兩種辦法：法1：利用反演規(guī)則直接得到，求。例：法2：利用反演律3.對(duì)偶規(guī)則：對(duì)于任意一個(gè)邏輯函數(shù)式F，做如下處理：①運(yùn)算符“.”與“+”互換,“

”與“⊙”互換；②常量“0”換成“1”，“1”換成“0”；那么得到的新函數(shù)式稱為原函數(shù)式F的對(duì)偶式F′。對(duì)偶規(guī)則:若兩邏輯式相等，則它們對(duì)應(yīng)的對(duì)偶式也相等。即若F1=F2,

則F1′=F2′。注意：

Δ運(yùn)算順序不變；Δ只變換運(yùn)算符和常量，其變量是不變的。如：邏輯函數(shù)及其描述方法邏輯函數(shù)與普通代數(shù)中的函數(shù)相似，它是隨自變量的變化而變化的因變量。因此，如果用自變量和因變量分別表示某一事件發(fā)生的條件和結(jié)果，那么該事件的因果關(guān)系就可以用邏輯函數(shù)來描述。數(shù)字電路的輸入、輸出量一般用高、低電平來表示，高、低電平也可以用二值邏輯1和0來表示。同時(shí)數(shù)字電路的輸出與輸入之間的關(guān)系是一種因果關(guān)系，因此它可以用邏輯函數(shù)來描述，并稱為邏輯電路。對(duì)于任何一個(gè)電路，若輸入邏輯變量A、B、C、…的取值確定后，其輸出邏輯變量F的值也被惟一地確定了，則可以稱F是A、B、C、…的邏輯函數(shù)，并記為邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)的描述BYAC一、真值表描述：A、B、C----輸入變量

Y----

輸出變量1表示開關(guān)閉合，燈亮0表示開關(guān)斷開，燈不亮ABCY00000101001110010111011100010101二、邏輯式描述：1.一般形式：任何一個(gè)邏輯函數(shù)式都可以通過邏輯變換寫成以下五種形式：與或式或與式與非－與非式或非－或非式與或非式分析得：2.邏輯式兩種標(biāo)準(zhǔn)形式1）最小項(xiàng)之和式－－標(biāo)準(zhǔn)與或式

在n變量邏輯函數(shù)中，由所有n個(gè)變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次而組成的乘積項(xiàng)（與項(xiàng)）。－－－最小項(xiàng)（Minterm）

n變量邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)有2n個(gè)。最小項(xiàng)通常用符號(hào)mi來表示。下標(biāo)i的確定：把最小項(xiàng)中的原變量記為1，反變量記為0，當(dāng)變量順序確定后，按順序排列成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，則與這個(gè)二進(jìn)制數(shù)相對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是這個(gè)最小項(xiàng)的下標(biāo)i。在一個(gè)與或邏輯式中，若所有的乘積項(xiàng)均為最小項(xiàng)，則該邏輯式稱為最小項(xiàng)之和式。ABCm0m1m2m3m4m5m6m701234567000001010011100101110111編號(hào)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)使最小項(xiàng)為1的變量取值最小項(xiàng)三變量邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)只有一種輸入組合使對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)為1，而其他的組合都使它為0。例：寫出的最小項(xiàng)之和式。最小項(xiàng)之和式為：解：2）最大項(xiàng)之積式－－標(biāo)準(zhǔn)或與式

在n變量邏輯函數(shù)中，由所有n個(gè)變量以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次而組成的或項(xiàng)（和項(xiàng)）。－－－最大項(xiàng)（Maxterm）

n變量邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)有2n個(gè)。最大項(xiàng)通常用符號(hào)Mi來表示。下標(biāo)i的確定：把最大項(xiàng)中的原變量記為0，反變量記為1，當(dāng)變量順序確定后，按順序排列成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，則與這個(gè)二進(jìn)制數(shù)相對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是這個(gè)最大項(xiàng)的下標(biāo)i。在一個(gè)或與邏輯式中，若所有的或項(xiàng)均為最大項(xiàng)，則該邏輯式稱為最大項(xiàng)之積式。ABCM0M1M2M3M4M5M6M701234567000001010011100101110111編號(hào)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)使最大項(xiàng)為0的變量取值最大項(xiàng)三變量邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)只有一種輸入組合使對(duì)應(yīng)的最大項(xiàng)為0，而其他的組合都使它為1。3）最小項(xiàng)和最大項(xiàng)的性質(zhì)①n變量的全部最小項(xiàng)之和恒為1，全部最大項(xiàng)的之積恒為0。

②任意兩個(gè)最小項(xiàng)之積恒為0，任意兩個(gè)最大項(xiàng)之和恒等于1

。③n變量的每一個(gè)最?。ù螅╉?xiàng)有n個(gè)相鄰項(xiàng)（相鄰項(xiàng)是指兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)因子互為反變量，其余因子均相同，又稱為邏輯相鄰項(xiàng)）。若給定則4）最小項(xiàng)和最大項(xiàng)的關(guān)系－－互為反函數(shù)則－－求反函數(shù)－－求對(duì)偶式－－求最大項(xiàng)之積式例：已知

利用最小項(xiàng)表達(dá)式求其反函數(shù)和對(duì)偶式。解：例：寫出的最大項(xiàng)之積式。解：已知?jiǎng)t三、卡諾圖描述：

將n變量的全部最小項(xiàng)各用一個(gè)小方塊表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰地排列起來，所得到的圖形叫做n變量的卡諾圖（KarnaughMap）。1.卡諾圖的構(gòu)成AB00011011m0m1m2m3AABBABAB1010m0m1m2m3miABABABAB10100123二變量K圖

建立多于二變量的卡諾圖，則每增加一個(gè)邏輯變量就以原卡諾圖的右邊線（或底線）為對(duì)稱軸作一對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸左面（或上面）原數(shù)字前增加一個(gè)0，對(duì)稱軸右面（或下面）原數(shù)字前增加一個(gè)1。∴卡諾圖是上下，左右閉合的圖形。ABC0100011110m0m1m2m3m4m5m6m700011110000111100123456712131415

891011ABCDABC010001111001234567幾何相鄰：一是相接，即緊挨著；二是相對(duì)，即任意一行或一列的兩端；三是相重，即對(duì)折起來位置重合。三變量K圖四變量K圖2.卡諾圖描述邏輯函數(shù)①給出真值表將真值表的每一行的取值填入卡諾圖即可。填入Y＝1的項(xiàng)即可。ABCY00000101001110010111011100010101例：ABC010001111000010101ABC0100011110

1

11②給出邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和式－－標(biāo)準(zhǔn)與或式將邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)在卡諾圖上相應(yīng)的方格中填1；其余的方格填0(或不填)。任何一個(gè)邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖上填1的那些最小項(xiàng)之和。

例：用卡諾圖分別描述下列邏輯函數(shù)ABC0100011110

11

11000111100001111011

1

11

1

11

ABCD解：③給出邏輯函數(shù)一般與或式確定使每個(gè)與項(xiàng)為1的所有輸入變量取值，并在卡諾圖上對(duì)應(yīng)方格填1；其余的方格填0(或不填)。也可化為標(biāo)準(zhǔn)與或式，再填入。例：用卡諾圖分別描述下列邏輯函數(shù)ABC0100011110

1

1111解：A：當(dāng)ABC=1××(×表示可以為0，也可以為1)時(shí)該與項(xiàng)為1，在卡諾圖上對(duì)應(yīng)四個(gè)方格(m4，m5，m6，m7)處填1。

：當(dāng)ABC=×10時(shí)該與項(xiàng)為1，在卡諾圖上對(duì)應(yīng)兩個(gè)方格(m2，m6)處填1。00011110000111101111

1

1

1

111ABCD

D

：當(dāng)ABCD=×××1時(shí)該與項(xiàng)為1，對(duì)應(yīng)八個(gè)方格(m1、m3、m5、m7、m9、m11、m13、m15)處填1。

：當(dāng)ABCD=001×?xí)r該與項(xiàng)為1，對(duì)應(yīng)兩個(gè)方格(m2、m3)處填1。：當(dāng)ABCD=101×?xí)r該與項(xiàng)為1，在卡諾圖上對(duì)應(yīng)兩個(gè)方格(m10、m11)處填1。解：AD：當(dāng)ABCD=1××1時(shí)該與項(xiàng)為1，對(duì)應(yīng)四個(gè)方格(m9、m11、m13、m15)處填1。某些最小項(xiàng)重復(fù)，只需填一次即可。④給出邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)之積式－－標(biāo)準(zhǔn)或與式將邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)在卡諾圖上相應(yīng)的方格中填0（或不填）；其余的方格填1。任何一個(gè)邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖上填1的那些最大項(xiàng)之積。

例：用卡諾圖描述邏輯函數(shù)ABC010001111001011011解：⑤給出邏輯函數(shù)一般或與式確定使每個(gè)或項(xiàng)為0的所有輸入變量取值，并在卡諾圖上對(duì)應(yīng)方格填0；其余的方格填1。也可化為標(biāo)準(zhǔn)或與式，再填入。例：用卡諾圖分別描述邏輯函數(shù)ABC010001111000001011解：A：當(dāng)ABC=0××(×表示可以為0，也可以為1)時(shí)該或項(xiàng)為0，在卡諾圖上對(duì)應(yīng)四個(gè)方格(m0，m1，m2，m3)處填0。

：當(dāng)ABC=×01時(shí)該與項(xiàng)為0，在卡諾圖上對(duì)應(yīng)兩個(gè)方格(m1，m5)處填0。四、邏輯圖描述：

將邏輯函數(shù)中各變量之間的與、或、非等邏輯關(guān)系用圖形符號(hào)表示出來，就可畫出表示函數(shù)關(guān)系的邏輯圖。&AB≥1

Y&AC&BD例：用邏輯圖描述函數(shù)1.從真值表、卡諾圖列出邏輯函數(shù)式①找出真值表和卡諾圖中取值為“1”的最小項(xiàng)；②各與項(xiàng)相或，即得與或邏輯函數(shù)式；五、各種描述方法間的相互轉(zhuǎn)換ABCY00000101001110010111011100010111ABC0100011110

1111例：2.從邏輯函數(shù)式列出真值表將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一代入邏輯式求出函數(shù)值，列成表。例:求它對(duì)應(yīng)的真值表。ABCY000001010011100101110111000101113.從邏輯函數(shù)式畫出邏輯圖用圖形符號(hào)代替邏輯式中的運(yùn)算符號(hào)。例：用邏輯圖描述邏輯函數(shù)&C1A≥1

1B&&≥1

Y4.由邏輯圖列出邏輯函數(shù)式從輸入端到輸出端逐級(jí)寫出每個(gè)圖形符號(hào)對(duì)應(yīng)的邏輯式，即可得到對(duì)應(yīng)的邏輯式。&CB1A≥1

Y11&≥1

例：邏輯函數(shù)的化簡

同一個(gè)邏輯函數(shù)可以寫成不同形式的邏輯式，邏輯函數(shù)式越簡單，它所表示的邏輯關(guān)系越明顯，也有利于用最少的電子器件實(shí)現(xiàn)這個(gè)邏輯函數(shù)。最簡“與或”式的標(biāo)準(zhǔn)：１.含的與項(xiàng)最少；－－門最少２.各與項(xiàng)中的變量數(shù)最少。－－門的輸入端最少以后主要討論“與或”式的化簡。其中，最常用的為“與或”邏輯表達(dá)式。一、代數(shù)化簡法：1.并項(xiàng)法

例：用并項(xiàng)法化簡下列邏輯函數(shù)解：利用公式將兩項(xiàng)合并成一項(xiàng)，并消去互補(bǔ)因子。由代入規(guī)則，A和B也可是復(fù)雜的邏輯式。解：⊙解：2.吸收法（消項(xiàng)法）例：用吸收法化簡下列邏輯函數(shù)解：利用公式，將多余項(xiàng)吸收（消去）。3.消元法例：用消元法化簡下列邏輯函數(shù)解：利用公式，將多余因子吸收（消去）。4.配項(xiàng)法例：用配項(xiàng)法化簡下列邏輯函數(shù)解：利用公式，配項(xiàng)或增加多余項(xiàng)，再和其他項(xiàng)合并。解：解：解法1：解法2：代數(shù)化簡法

優(yōu)點(diǎn):不受變量數(shù)目的限制。

缺點(diǎn)：沒有固定的步驟可循；需要熟練運(yùn)用各種公式和定理；在化簡一些較為復(fù)雜的邏輯函數(shù)時(shí)還需要一定的技巧和經(jīng)驗(yàn)；有時(shí)很難判定化簡結(jié)果是否最簡。由上例可知，邏輯函數(shù)的化簡結(jié)果不是唯一的。二、卡諾圖化簡法：在卡諾圖中，凡是幾何位置相鄰的最小項(xiàng)均可以合并。①任何一個(gè)合并圈(即卡諾圈)所含的方格數(shù)為2n個(gè)。②必須按照相鄰規(guī)則畫卡諾圈，幾何位置相鄰包括三種情況：一是相接，即緊挨著的方格相鄰；二是相對(duì)，即一行(或一列)的兩頭、兩邊、四角相鄰；三是相重，即以對(duì)稱軸為中心對(duì)折起來重合的位置相鄰。③2n個(gè)方格合并，消去n個(gè)變量。1.卡諾圖中最小項(xiàng)合并規(guī)律A01111BC10001111011ABC01000111101

1

111100011110000111101111111111

1

ABCD000111100001111011

1

11

11

1

1

1

ABCD000111100001111011111

1

1

1

1111ABCD2.用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)①畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。②圈“1”合并相鄰的最小項(xiàng)。③將每一個(gè)圈對(duì)應(yīng)的與項(xiàng)相或，即得到最簡與或式。①盡量畫大圈，但每個(gè)圈內(nèi)只能含有2n（n=0,1,2,3……）個(gè)相鄰項(xiàng)。要特別注意對(duì)邊相鄰性和四角相鄰性。②圈的個(gè)數(shù)盡量少。③卡諾圖中所有取值為“1”的方格均要被圈過，即不能漏下取值為“1”的最小項(xiàng)。④保證每個(gè)圈中至少有一個(gè)“1格”只被圈過一次，否則該圈是多余的。畫圈原則：1）最簡與或式的求法①畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖。②圈“1”合并相鄰的最小項(xiàng)。③將每一個(gè)圈對(duì)應(yīng)的與項(xiàng)相或，即得到最簡與或式。ABC01000111101

11111ABC01000111101

11111例：用卡諾圖將函數(shù)化為最簡與或式。解：化簡結(jié)果不唯一。00011110000111101111

11

11

1

1

1

1ABCD例：用卡諾圖將下面函數(shù)化為最簡與或式。解：00011110000111101111

11

11

1

1

1

1ABCD2）最