數(shù) 學(xué)教學(xué)課件

數(shù)學(xué)

中國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程一、中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展1.

據(jù)《易·系辭下》記載：“上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書契?！痹谝笮娉鐾恋募坠俏牟忿o中有很多記數(shù)的文字。從一到十，及百、千、萬是專用的記數(shù)文字，共有13個(gè)獨(dú)立符號(hào)，記數(shù)用合文書寫，其中有十進(jìn)位制的記數(shù)法，出現(xiàn)最大的數(shù)字為三萬。算籌是中國(guó)古代的計(jì)算工具，而這種計(jì)算方法稱為籌算。算籌的產(chǎn)生年代已不可考，但可以肯定的是籌算在春秋時(shí)代已很普遍。用算籌記數(shù)，有縱、橫兩種方式：表示一個(gè)多位數(shù)字時(shí)，采用十進(jìn)位值制，各位值的數(shù)目從左到右排列，縱橫相間（法則是：一縱十橫，百立千僵，千、十相望，萬、百相當(dāng)），并以空位表示零。算籌為加、減、乘、除等運(yùn)算建立了良好的條件。籌算直到15世紀(jì)元朝末年才逐漸為珠算所取代，中國(guó)古代數(shù)學(xué)就是在籌算的基礎(chǔ)上取得其輝煌成就的。在幾何學(xué)方面，《史記·夏本紀(jì)》中說夏禹治水時(shí)已使用了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖和測(cè)量工具，并早已發(fā)現(xiàn)“勾三股四弦五”（勾股定理）這個(gè)特例。此外，講述陰陽八卦、預(yù)言吉兇的《易經(jīng)》已有了組合數(shù)學(xué)的萌芽，并反映出二進(jìn)制的思想。中國(guó)數(shù)學(xué)體系的形成與奠基2.

這一時(shí)期包括從秦漢到魏晉南北朝約700年的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史。秦漢是中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成時(shí)期，為使不斷豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、理論化，數(shù)學(xué)方面的專著陸續(xù)出現(xiàn)。現(xiàn)傳中國(guó)歷史最早的數(shù)學(xué)專著是1984年在湖北江陵張家山出土的成書于西漢初的漢簡(jiǎn)《算數(shù)書》，與其同時(shí)出土的一本漢簡(jiǎn)歷譜所記乃呂后二年（公元前186年），所以該書的成書年代至晚是公元前186年（應(yīng)該在此前）。西漢末年（公元前1世紀(jì)）編纂的《周髀算經(jīng)》，盡管是談?wù)撋w天說宇宙論的天文學(xué)著作，但包含許多數(shù)學(xué)內(nèi)容，在數(shù)學(xué)方面主要有兩項(xiàng)成就：一是提出勾股定理的特例及普遍形式；二是提出測(cè)太陽高、遠(yuǎn)的陳子測(cè)日法，其為后來重差術(shù)（勾股測(cè)量法）的先驅(qū)。此外，還有較復(fù)雜的開方問題和分?jǐn)?shù)運(yùn)算等?！毒耪滤阈g(shù)》是一部經(jīng)幾代人整理、刪補(bǔ)和修訂而成的古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，約成書于東漢初年（公元1世紀(jì)）。魏晉時(shí)期，中國(guó)數(shù)學(xué)在理論上有了較大的發(fā)展。其中趙爽（生卒年代不詳）和劉徽（生卒年代不詳）的研究工作被認(rèn)為中國(guó)古代數(shù)學(xué)理論體系的開端。南北朝時(shí)期的社會(huì)長(zhǎng)期處于戰(zhàn)爭(zhēng)和分裂狀態(tài)，但數(shù)學(xué)的發(fā)展依然蓬勃，出現(xiàn)了《孫子算經(jīng)》《夏侯陽算經(jīng)》《張丘建算經(jīng)》等算學(xué)著作。公元5世紀(jì)，祖沖之、祖暅父子的工作在這一時(shí)期最具代表性，他們?cè)凇毒耪滤阈g(shù)注》的基礎(chǔ)上，將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步，成為重視數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)推理的典范。同時(shí)，他們?cè)谔煳膶W(xué)上也有突出的貢獻(xiàn)。其著作《綴術(shù)》已失傳，根據(jù)史料記載，他們?cè)跀?shù)學(xué)上主要有以下三項(xiàng)成就：（1）計(jì)算圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第七位，得到3.1415926＜π＜3.1415927，并求得π的約率為22/7，密率為355/113，其中密率是分子分母在1000以內(nèi)的最佳值，歐洲直到16世紀(jì)德國(guó)人鄂圖（ValentinusOtto）和荷蘭人安托尼茲（A.Anthonisz）才得出同樣的結(jié)果。

（2）祖暅在劉徽工作的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出球體體積的正確公式，并提出“冪勢(shì)既同，則積不容異”的體積原理，即二立體等高處截面積均相等則二體體積相等的定理。歐洲17世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利（BonaventuraCavalieri）才提出同一定理。（3）發(fā)展了二次與三次方程的解法。同時(shí)代的天文歷學(xué)家何承天創(chuàng)“調(diào)日法”，以有理分?jǐn)?shù)逼近實(shí)數(shù)，發(fā)展了古代的不定分析與數(shù)值逼近算法。中國(guó)數(shù)學(xué)教育制度的建立3.

隋朝大興土木，客觀上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。唐初王孝通撰《緝古算經(jīng)》，主要是通過土木工程中計(jì)算土方、工程的分工與驗(yàn)收及倉庫和地窖計(jì)算等實(shí)際問題，討論如何以幾何方式建立三次多項(xiàng)式方程，發(fā)展了《九章算術(shù)》中的少?gòu)V、勾股章中的開方理論。隋唐時(shí)期是中國(guó)封建官僚制度建立時(shí)期，隨著科舉制度與國(guó)子監(jiān)制度的確立，數(shù)學(xué)教育有了長(zhǎng)足的發(fā)展。南北朝時(shí)期的一些重大天文發(fā)現(xiàn)在隋唐之交開始落實(shí)到歷法編算中，使唐代歷法中出現(xiàn)了一些重要的數(shù)學(xué)成果。600年，隋代劉焯在制定《皇極歷》時(shí)，在世界上最早提出了等間距二次內(nèi)插公式，這在數(shù)學(xué)史上是一項(xiàng)杰出的創(chuàng)造，唐代僧一行在其《大衍歷》中將這一公式發(fā)展為不等間距二次內(nèi)插公式。唐朝后期，計(jì)算技術(shù)有了進(jìn)一步的改進(jìn)和普及，出現(xiàn)了很多種實(shí)用算術(shù)書，對(duì)于乘除算法力求簡(jiǎn)捷。中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的高峰4.唐朝亡后，五代十國(guó)仍是割據(jù)混戰(zhàn)的時(shí)期，直到北宋王朝統(tǒng)一了中國(guó)，農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)迅速繁榮，科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)。從公元11世紀(jì)到14世紀(jì)（宋、元兩代），籌算數(shù)學(xué)達(dá)到極盛，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)空前繁榮、碩果累累的全盛時(shí)期。這一時(shí)期出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作。1050年左右，北宋賈憲（生卒年代不詳）在《黃帝九章算法細(xì)草》（已佚）中創(chuàng)造了開任意高次冪的“增乘開方法”，1819年英國(guó)人霍納（WilliamGeorgeHorner）才得出同樣的方法。賈憲還列出了二項(xiàng)式定理系數(shù)表，歐洲到17世紀(jì)才出現(xiàn)類似的“巴斯加三角”。1088—1095年間，北宋沈括從“酒家積罌”數(shù)與“層壇”體積等生產(chǎn)實(shí)踐問題提出了“隙積術(shù)”，開始對(duì)高階等差級(jí)數(shù)的求和進(jìn)行研究，并創(chuàng)立了正確的求和公式。1247年，南宋秦九韶在《數(shù)書九章》中推廣了“增乘開方法”，敘述了高次方程的數(shù)值解法，他列舉了二十多個(gè)來自實(shí)踐的高次方程的解法，最高為十次方程。1248年，李冶（1192—1279年）著的《測(cè)圓海鏡》是第一部系統(tǒng)論述“天元術(shù)”（一元高次方程）的著作，這在數(shù)學(xué)史上是一項(xiàng)杰出的成果。1261年，南宋楊輝（生卒年代不詳）在《詳解九章算法》中用“垛積術(shù)”求出幾類高階等差級(jí)數(shù)之和。1274年，他在《乘除通變本末》中還敘述了“九歸捷法”，介紹了籌算乘除的各種運(yùn)算法。1280年，元代王恂、郭守敬等制定《授時(shí)歷》時(shí)，列出了三次差的內(nèi)插公式。郭守敬還運(yùn)用幾何方法求出相當(dāng)于現(xiàn)在球面三角的兩個(gè)公式。1303年，元代朱世杰（生卒年代不詳）著《四元玉鑒》，他把“天元術(shù)”推廣為“四元術(shù)”（四元高次聯(lián)立方程），并提出消元的解法，歐洲到1775年法國(guó)人別朱（EtienneBezout）才提出同樣的解法。公元14世紀(jì)我國(guó)人民已使用珠算盤。在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之前，珠算盤是世界上簡(jiǎn)便而有效的計(jì)算工具。中國(guó)數(shù)學(xué)的衰落與日用數(shù)學(xué)的發(fā)展5.這一時(shí)期指14世紀(jì)中葉明王朝建立到明末的1582年，中國(guó)數(shù)學(xué)除珠算外出現(xiàn)全面衰弱的局面。13世紀(jì)的考試制度中已刪減數(shù)學(xué)內(nèi)容，明代大興八股考試制度等。而一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，不少中外數(shù)學(xué)家仍在探討研究。明代最大的成就是珠算的普及，出現(xiàn)了許多珠算讀本，及至程大位的《直指算法統(tǒng)宗》（1592年）問世，珠算理論已成系統(tǒng)，標(biāo)志著從籌算到珠算轉(zhuǎn)變的完成。但由于珠算流行，籌算幾乎絕跡，建立在籌算基礎(chǔ)上的古代數(shù)學(xué)也逐漸失傳，數(shù)學(xué)發(fā)展出現(xiàn)長(zhǎng)期停滯。西方初等數(shù)學(xué)的傳入與中西合璧6.

16世紀(jì)末開始，西方傳教士開始到中國(guó)活動(dòng)，由于明清王朝制定天文歷法的需要，傳教士開始將與天文歷算有關(guān)的西方初等數(shù)學(xué)知識(shí)傳入中國(guó)，中國(guó)數(shù)學(xué)家在“西學(xué)中源”思想的支配下，使數(shù)學(xué)研究出現(xiàn)了一個(gè)中西融合貫通的局面。16世紀(jì)末，西方傳教士和中國(guó)學(xué)者合譯了許多西方數(shù)學(xué)專著。其中，第一部且有重大影響的是意大利傳教士利馬竇和徐光啟合譯的《幾何原本》（前6卷，1607年），其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系和演繹方法深受徐光啟推崇。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的整理與復(fù)興7.乾嘉年間形成一個(gè)以考據(jù)學(xué)為主的干嘉學(xué)派，編成《四庫全書》，其中數(shù)學(xué)著作有《算經(jīng)十書》和宋元時(shí)期的著作，為保存瀕于湮沒的數(shù)學(xué)典籍做出了重要貢獻(xiàn)。在研究傳統(tǒng)數(shù)學(xué)時(shí)，許多數(shù)學(xué)家還有發(fā)明創(chuàng)造，例如有“談天三友”之稱的焦循、汪萊及李銳做出不少重要的貢獻(xiàn)。李善蘭在《垛積比類》（約1859年）中得到三角自乘垛求和公式，現(xiàn)在稱之為“李善蘭恒等式”。這些工作較宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)進(jìn)了一步。阮元、李銳等人編寫了一部天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家傳記《疇人傳》（46卷，1795—1799年），開數(shù)學(xué)史研究之先河。西方數(shù)學(xué)再次東漸8.

1840年鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)后，清朝閉關(guān)鎖國(guó)政策被迫中止。同文館內(nèi)添設(shè)“算學(xué)”，上海江南制造局內(nèi)添設(shè)翻譯館，由此開始第二次翻譯引進(jìn)西方數(shù)學(xué)理論的高潮。主要譯者和著作有：李善蘭與英國(guó)傳教士偉烈亞力合譯的《幾何原本》（后9卷，1857年），使中國(guó)有了完整的《幾何原本》中譯本，《代數(shù)學(xué)》（13卷，1859年），《代微積拾級(jí)》（18卷，1859年）；李善蘭與英國(guó)傳教士艾約瑟合譯《圓錐曲線說》（3卷）；華蘅芳與英國(guó)傳教士傅蘭雅合譯的《代數(shù)術(shù)》（25卷，1872年），《微積溯源》（8卷，1874年），《決疑數(shù)學(xué)》（10卷，1880年）等。在這些譯著中，創(chuàng)造了許多數(shù)學(xué)名詞和術(shù)語，至今仍在應(yīng)用。1898年建立京師大學(xué)堂，同文館并入。1905年廢除科舉，建立西方式學(xué)校教育，使用的課本也與西方其他各國(guó)相仿。

中國(guó)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)二、以算法為中心，屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)1.中國(guó)數(shù)學(xué)不脫離社會(huì)生活與生產(chǎn)的實(shí)際，以解決實(shí)際問題為目標(biāo)，數(shù)學(xué)研究是圍繞建立算法與提高計(jì)算技術(shù)而展開的。具有較強(qiáng)的社會(huì)性2.

中國(guó)傳統(tǒng)文化中，數(shù)學(xué)被儒學(xué)家當(dāng)作培養(yǎng)人的道德與技能的基本知識(shí)——六藝（禮、樂、射、御、書、數(shù)）之一，它的作用在于“通神明、順性命，經(jīng)世務(wù)、類萬物”，所以中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)總是被打上中國(guó)哲學(xué)與古代學(xué)術(shù)思想的烙印，往往與術(shù)數(shù)交織在一起。同時(shí)，數(shù)學(xué)教育與研究往往被封建政府所控制，如唐宋時(shí)代的數(shù)學(xué)教育與科舉制度聯(lián)系在一起；歷代數(shù)學(xué)家往往是政府的天文官員等。這些事例充分反映了這一特點(diǎn)。寓理于算，理論高度概括3.由于中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)注重解決實(shí)際問題，而且因中國(guó)人綜合、歸納思維的影響，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不關(guān)心數(shù)學(xué)理論的形式化，但這并不意味著中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)僅停留在經(jīng)驗(yàn)層次而無理論建樹。其實(shí)中國(guó)數(shù)學(xué)的算法中蘊(yùn)含著建立這些算法的理論基礎(chǔ)，中國(guó)數(shù)學(xué)家習(xí)慣把數(shù)學(xué)概念與方法建立在少數(shù)幾個(gè)不證自明、形象直觀的數(shù)學(xué)原理之上，如代數(shù)中的“率”的理論，平面幾何中的“出入相補(bǔ)”原理，立體幾何中的“陽馬術(shù)”、曲面體理論中的“截面原理”（或稱劉祖原理，即卡瓦列利原理）等。

中國(guó)數(shù)學(xué)對(duì)世界的影響三、數(shù)學(xué)活動(dòng)有兩項(xiàng)基本工作——