2023年八年級第一學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題帶解析

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題(每小題3分，共24分)1.下列四個數(shù)中，最大的一個數(shù)是（）A.2 B. C.0 D.﹣2【答案】A【解析】【詳解】根據(jù)實(shí)數(shù)比較大小的方法，可得：﹣2＜0＜＜2，故四個數(shù)中，最大的一個數(shù)是2．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的大小比較，無理數(shù)與有理數(shù)比較大小可平方后再比較大小.2.下列圖形中，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；B．是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；C．既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；D．是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．3.化簡的結(jié)果是A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】解：故選D．4.下列各式計算正確的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式的加、減、乘、除法分別進(jìn)行計算即可得.【詳解】A.與不是同類二次根式，不能合并，故錯誤；B.，故錯誤；C.，故錯誤；D.，正確，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加、減、乘、除法，熟練掌握各運(yùn)算的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.5.已知△ABC的三個角是∠A，∠B，∠C，它們所對的邊分別是a，b，c.①c2－a2＝b2；②∠A＝∠B＝∠C；③c＝a＝b；④a＝2，b＝2，c＝.上述四個條件中，能判定△ABC為直角三角形的有()A.1個 B.2個C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理逆定理、三角形的內(nèi)角和逐一進(jìn)行判斷即可得.【詳解】①由c2－a2＝b2，可得c2=a2+b2，故可判斷三角形ABC是直角三角形；②∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，∴△ABC是直角三角形；③∵c＝a＝b，∴a=b，∴a2+b2=2a2=c2，∴△ABC是直角三角形；④∵a＝2，b＝2，c＝，∴a2+b2=12≠c2，∴△ABC不直角三角形，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的判定，主要涉及勾股定理的逆定理、三角形的內(nèi)角和等，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.6.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接BE，則∠CBE的度數(shù)為（）A.30° B.40° C.70° D.80°【答案】A【解析】【分析】由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度數(shù)，又由線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，繼而求得∠ABE的度數(shù)，則可求得答案．【詳解】∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=（180°?∠A）÷2=70°，∵線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．7.△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，點(diǎn)P是BC邊上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，則PD+PE的長是（）A.4.8 B.4.8或3.8 C.3.8 D.5【答案】A【解析】【分析】過A點(diǎn)作AF⊥BC于F，連結(jié)AP，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和勾股定理可得AF的長，由圖形得SABC＝SABP+SACP，代入數(shù)值，解答出即可．【詳解】解：過A點(diǎn)作AF⊥BC于F，連結(jié)AP，∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，∴BF＝4，∴△ABF中，AF＝3，∴，12＝×5×（PD+PE）PD+PE＝4.8．故選A．【點(diǎn)睛】考查了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，解答時注意，將一個三角形的面積轉(zhuǎn)化成兩個三角形的面積和；體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．8.如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP=5cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動點(diǎn)，△PMN周長的最小值是5cm，則∠AOB的度數(shù)是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】作點(diǎn)P關(guān)于OA對稱的點(diǎn)P1，作點(diǎn)P關(guān)于OB對稱的點(diǎn)P2，連接P1P2，與OA交于點(diǎn)M，與OB交于點(diǎn)N，由線段垂直平分線性質(zhì)可得出△PMN的周長就是P1P2的長，此時△PMN的周長最?。逴P=5，△PMN周長的最小值是5cm，∴OP2=OP1=OP=5．又∵P1P2=5，∴OP1=OP2=P1P2，∴△OP1P2是等邊三角形，∴∠P2OP1=60°，∴2（∠AOP+∠BOP）=60°，∠AOP+∠BOP=30°，即∠AOB=30°，故選：B．二、填空題(每小題4分，共24分)9.如果分式有意義，那么的取值范圍是____________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：分式有意義的條件是分母不為零，故，解得．考點(diǎn)：分式有意義的條件．10.計算（+）（﹣）的結(jié)果為__________．【答案】﹣1【解析】【分析】此題用平方差公式計算即可.【詳解】11.等腰三角形的一個外角是60°，則它的頂角的度數(shù)是__．【答案】120°##120度【解析】【詳解】解：等腰三角形一個外角為60°，那相鄰的內(nèi)角為120°，三角形內(nèi)角和為180°，如果這個內(nèi)角為底角，內(nèi)角和將超過180°，所以120°只可能是頂角．故答案為120°．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)．12.已知：，那么a＋b的值為________.【答案】-3【解析】【詳解】解：∴a?2=0，b+5=0，∴a=2，b=?5；a+b=2?5=?3.故答案為：?313.如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點(diǎn)．若AD=6，DE=5，則CD的長等于_______．【答案】8【解析】【分析】由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理來求線段CD的長度即可．【詳解】解：∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中點(diǎn)，DE=5，∴DE=AC=5，∴AC=10．直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，則根據(jù)勾股定理，得．故答案為：8．14.如圖所示，在中，，，以A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點(diǎn)M和N再分別以MN為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，連接AP并延長交BC于點(diǎn)D，則下列說法中正確的有________．①AD是的平分線；②；③點(diǎn)D在AB的中垂線上；④【答案】①②③④【解析】【分析】①根據(jù)題目中尺規(guī)作圖的步驟即可判斷出AD是的平分線；②利用直角三角形兩銳角互余求出的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可得出結(jié)論；③通過角平分線定義能夠得出，則然后根據(jù)垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理即可得出結(jié)論；④根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)得出，則，又因?yàn)楹透呦嗤?，則和面積之間的關(guān)系可求．【詳解】由題干可知，AD是的平分線，故①正確；∵，∴∵AD平分∠BAC∴,故②正確；∴點(diǎn)D在AB的中垂線上，故③正確；∵和高相同，∴，故④正確；故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握等腰三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．三、解答題(共52分)15.計算：－(－)×(＋)＋×【答案】＋5【解析】【分析】按順序分別進(jìn)行分母有理化、利用平方差公式進(jìn)行二次根式的乘法、二次根式的乘法，然后再按運(yùn)算順序進(jìn)行計算即可.【詳解】原式＝－[]＋×3＝－(3－2)＋6＝－1＋6＝＋5.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，根據(jù)式子的特征熟練運(yùn)用相關(guān)法則進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵.16.如圖，在長方形中，，在數(shù)軸上，以原點(diǎn)O為圓心，對角線的長為半徑畫弧，交正半軸于點(diǎn)M，它在數(shù)軸上表示的實(shí)數(shù)是a．（1）求出a的值；（2）先化簡，再求值：，其中a是（1）中所求的實(shí)數(shù)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系及直角三角形三邊的關(guān)系（勾股定理）進(jìn)行解答即可求得a的值；（2）括號內(nèi)先通分進(jìn)行分式的加減運(yùn)算，然后再進(jìn)行分式的乘除法運(yùn)算進(jìn)行化簡，然后把（1）中a的值代入進(jìn)行計算即可得．【小問1詳解】解：∵∴，∴；【小問2詳解】解：原式＝==，當(dāng)時，原式=．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，分式的化簡求值，熟練掌握勾股定理、實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系、分式混合運(yùn)算的運(yùn)算順序以及運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．17.如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求證：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）先證∠EAF＝∠ECB，再結(jié)合∠AEF＝∠CEB＝90°且AE＝CE利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；（2）由全等三角形的性質(zhì)得AF＝BC，由等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”得BC＝2CD，等量代換得出結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵CE⊥AB，∴∠AEF＝∠CEB＝90°．∴∠AFE+∠EAF＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CFD+∠ECB＝90°，又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠EAF＝∠ECB．在△AEF和△CEB中，∵，∴△AEF≌△CEB（ASA）；（2）∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC，∵AB＝AC，AD⊥BC∴CD＝BD，BC＝2CD．∴AF＝2CD．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．18.如圖，在東西方向的海岸線MN上有A，B兩港口，海上有一座小島P，漁民每天都乘輪船從A，B兩港口沿AP，BP的路線去小島捕魚作業(yè)．已知小島P在A港的北偏東60°方向，在B港的北偏西45°方向，小島P距海岸線MN的距離為30海里．（1）求AP，BP的長（參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7，≈2.2）；（2）甲、乙兩船分別從A，B兩港口同時出發(fā)去小島P捕魚作業(yè)，甲船比乙船晚到小島24分鐘．已知甲船速度是乙船速度的1.2倍，利用（1）中的結(jié)果求甲、乙兩船的速度各是多少海里/時？【答案】（1）AP＝60海里，BP＝42(海里)；（2）甲船的速度是24海里/時，乙船的速度是20海里/時【解析】【分析】（1）過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，則有PE=30海里，由題意，可知∠PAB=30°，∠PBA=45°，從而可得AP＝60海里，在Rt△PEB中，利用勾股定理即可求得BP的長；(2)設(shè)乙船的速度是x海里/時，則甲船的速度是1.2x海里/時，根據(jù)甲船比乙船晚到小島24分鐘列出分式方程，求解后進(jìn)行檢驗(yàn)即可得.【詳解】(1)如圖，過點(diǎn)P作PE⊥MN，垂足為E，由題意，得∠PAB＝90°－60°＝30°，∠PBA＝90°－45°＝45°，∵PE＝30海里，∴AP＝60海里，∵PE⊥MN，∠PBA＝45°，∴∠PBE＝∠BPE＝45°，∴PE＝EB＝30海里，在Rt△PEB中，BP＝＝30≈42海里，故AP＝60海里，BP＝42(海里)；(2)設(shè)乙船的速度是x海里/時，則甲船的速度是1.2x海里/時，根據(jù)題意，得，解得x＝20，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝20是原方程的解，甲船速度為1.2x＝1.2×20＝24(海里/時).，答：甲船的速度是24海里/時，乙船的速度是20海里/時.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.19.（1）如圖1，與均是頂角為的等腰三角形，分別是底邊，求證：；（2）如圖2，和均為等邊三角形，點(diǎn)在同一直線上，連接．填空：的度數(shù)為；線段與之間的數(shù)量關(guān)系是．（3）拓展探究如圖3，和均為等腰直角三角形，，點(diǎn)在同一直線上，為中邊上的高，連接．請判斷的度數(shù)及線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（