第10講-冪函數-2022年新高一數學(人教版2019必修第一冊)(原卷版)

第10講冪函數【學習目標】通過具體實例，結合的圖象，理解它們的變化規(guī)律，了解冪函數．【基礎知識】一、冪函數的概念1.一般地，函數y＝xα叫做冪函數(powerfunction)，其中x是自變量，α是常數．2．冪函數的特征(1)xα的系數是1；(2)xα的底數x是自變量；(3)xα的指數α為常數．只有滿足這三個條件，才是冪函數．對于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函數都不是冪函數．二、一些常用冪函數的圖象同一坐標系中，冪函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))的圖象(如圖)．三、冪函數的性質1.所有的冪函數在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)；2.如果α＞0，那么冪函數的圖象過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調遞增；3.如果α＜0，那么冪函數的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上單調遞減，在第一象限內，當x從右邊趨向于原點時，圖象在y軸右方無限接近y軸，當x從原點趨向于＋∞時，圖象在x軸上方無限接近x軸；4.在(1，＋∞)上，隨冪指數的逐漸增大，圖象越來越靠近y軸．【考點剖析】考點一：冪函數的定義例1．（2021-2022學年河北省滄州市高一上學期期末）下列函數是冪函數的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】形如的函數為冪函數，則為冪函數.故選C.考點二：冪函數的圖象及應用例2．（2021-2022學年河北省博野中學高一上學期開學考試）函數和的圖象如圖所示，有下列四個說法：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果時，那么.其中正確的是（

）.A．①④ B．① C．①② D．①③④【答案】A【解析】當三個函數的圖象依和次序呈上下關系時，可得，所以，若，可得，所以①正確；當三個函數的圖象依，和次序呈上下關系時，或，所以，若，可得，所以②錯誤；由于當三個函數的圖象沒有出現和次序的上下關系，所以③錯誤；當三個函數的圖象依和次序呈上下關系時，，所以，若時，可得，所以④正確.故選A．考點三：利用冪函數單調性比較大小例3．比較下列各題中兩個值的大?。海?）和

（2）和.【解析】（1）考察冪函數，因為其在區(qū)間上是增函數，而且，所以.（2）考察冪函數，因為其在區(qū)間上是減函數，而且，所以.考點四：冪函數圖象與性質的綜合應用例4．（多選）（2021-2022學年廣東省普寧市高一上學期期末）已知冪函數的圖象經過點(9,3)，則下列結論正確的有（

）A．為偶函數 B．為增函數C．若，則 D．若，則【答案】BCD【解析】將點代入函數得：，則，所以，∴的定義域為，所以不具有奇偶性，所以A不正確；函數在定義域上為增函數，所以B正確；當時，，即，所以C正確；若時，==.即成立，所以D正確.故選BCD.【真題演練】1.（2021-2022學年廣西憑祥市高級中學高一下學期素質檢測）冪函數在上單調遞減，則實數m的值為（

）A． B．3 C．或3 D．2.（2021-2022學年四川省南充高級中學高一上學期期中）已知冪函數（a是常數），則（

）A．的定義域是R B．在單調遞增C．過定點 D．可能過定點3.（2020-2021學年上海市晉元高級中學高一上學期期中）已知冪函數的圖象經過點，則的大致圖象是（

）A． B．C． D．4.（多選）（2021-2022學年廣東省深圳市光明區(qū)高一上學期期末）已知冪函數，則（

）A． B．定義域為C． D．5.（多選）（2021-2022學年湖北省十堰市區(qū)縣普通高中聯合體高一上學期期中）黃同學在研究冪函數時，發(fā)現有的具有以下三個性質：①是奇函數；②值域是且；③在上是減函數則以下冪函數符合這三個性質的有（

）A． B．C． D．6.（2021-2022學年甘肅省慶陽市寧縣高一上學期期末）已知冪函數的圖象過點，則此函數的解析式為______．7.（2021-2022學年湖北省“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶撁恕备咭幌聦W期期中）已知冪函數的圖象關于y軸對稱，則___________．8.（2021-2022學年廣西十八校高一10月聯考）已知冪函數的圖象經過點．(1)求函數的解析式；(2)設函數，寫出函數的單調區(qū)間和值域．【過關檢測】1.（2021-2022學年安徽省宣城市六校高一上學期期中）已知點（a，2）在冪函數的圖象上，則函數f（x）的解析式是（

）A． B．C． D．2.下列命題中正確的是（

）A．冪函數的圖象一定過點（0，0）和點（1，1）B．若函數f（x）＝xn是奇函數，則它在定義域上單調遞增C．冪函數的圖象上的點一定不在第四象限D．冪函數的圖象不可能是直線3.（2021-2022學年】河北省石家莊市藁城區(qū)第一中學高一上學期月考）已知冪函數的圖象過點，則下列關于說法正確的是（

）A．奇函數 B．偶函數C．在單調遞減 D．定義域為4.（2021-2022學年河南省鄭州市中牟縣高一上學期期中）若冪函數的圖像經過點，則下列結論正確的是（

）A．為奇函數B．若，則C．為偶函數D．若，則5.（多選）下列關于冪函數的性質說法正確的有（

）A．當時，函數在其定義域上遞減B．當時，函數圖象是一條直線C．當時，函數是偶函數D．當時，函數的圖象與軸交點的橫坐標為6.（2021-2022學年福建省漳州市高一上學期期末教學質量檢測）已知幕函數的圖象經過點，則（

）A．函數是偶函數B．函數是增函數C．函數的圖象一定經過點D．函數的最小值為07.（2021-2022學年四川省德陽市什邡市什邡中學高一下學期月考）已知點在冪函數的圖象上，則=_______．8.（2021-2022學年遼寧省名校聯盟高一上學期12月月考）寫出一個同