第07講-平面向量奔馳定理與三角形四心問題(高階拓展)(教師版)

第07講平面向量奔馳定理與三角形四心問題（高階拓展）（核心考點(diǎn)精講精練）平面向量問題是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)熱點(diǎn)，在高考中考查比重不會(huì)很大，一般以選擇填空形式出現(xiàn)，難度一般也會(huì)控制在中等，有時(shí)也會(huì)以壓軸題命題。平面向量中有很多重要的應(yīng)用，比如系數(shù)和（等和線）、極化恒等式、本節(jié)我們繼續(xù)學(xué)習(xí)另一個(gè)重要的結(jié)論-奔馳定理。它將三角形的四心與向量完美地融合到一起，高中的同學(xué)們可以將這個(gè)內(nèi)容當(dāng)成課外拓展知識(shí)，同時(shí)也是加強(qiáng)對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解。奔馳定理”揭示的是平面向量與三角形面積之間所蘊(yùn)含的一個(gè)優(yōu)美規(guī)律并因其圖形與奔馳的logo相似而得名“奔馳定理”，會(huì)提升解題效率，可強(qiáng)化學(xué)習(xí)。知識(shí)講解奔馳定理如圖，已知P為內(nèi)一點(diǎn)，則有.由于這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖象和奔馳車的標(biāo)志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”.奔馳定理的證明如圖：延長與邊相交于點(diǎn)則奔馳定理的推論及四心問題推論是內(nèi)的一點(diǎn),且,則有此定理可得三角形四心向量式（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1.（2）三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心，垂心和頂點(diǎn)的連線與對(duì)邊垂直.（3）三角形的內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，也就是內(nèi)切圓的圓心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于內(nèi)切圓半徑r.（4）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做三角形的外心，也就是三角形外接圓的圓心，它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.奔馳定理對(duì)于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關(guān)的問題，有著決定性的基石作用.已知點(diǎn)在內(nèi)部，有以下四個(gè)推論：①若為的重心，則；②若為的外心，則；或③若為的內(nèi)心，則；備注：若為的內(nèi)心，則也對(duì).④若為的垂心，則，或研究三角形“四心”的向量表示，我們就可以把與三角形“四心”有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為向量問題，充分利用平面向量的相關(guān)知識(shí)解決三角形的問題，這在一定程度上發(fā)揮了平面向量的工具作用，也很好地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.考點(diǎn)一、奔馳定理與四心問題綜合1．（寧夏·高考真題）已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的（注：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)為三角型的垂心）A．重心外心垂心 B．重心外心內(nèi)心C．外心重心垂心 D．外心重心內(nèi)心【答案】C【詳解】試題分析：因?yàn)?，所以到定點(diǎn)的距離相等，所以為的外心，由，則，取的中點(diǎn)，則，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以點(diǎn)為的垂心，故選C.

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用.2．（江蘇·高考真題）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定通過的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】根據(jù)是以為始點(diǎn)，向量與為鄰邊的菱形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量，可知點(diǎn)軌跡，據(jù)此可求解.【詳解】，令，則是以為始點(diǎn)，向量與為鄰邊的菱形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量，即在的平分線上，，共線，故點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心，故選：B1．（2023春·上海長寧·高三上海市延安中學(xué)?？计谀┤羰莾?nèi)一點(diǎn)，，則是的（

）A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心【答案】D【分析】利用向量的加法法則，結(jié)合重心定義判斷作答.【詳解】取線段的中點(diǎn)，連接，則，而，

因此，即三點(diǎn)共線，線段是的中線，且是靠近中點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以是的重心.故選：D2．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）在中，若，則點(diǎn)H是的（

）A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心【答案】A【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算結(jié)合向量垂直分析判斷.【詳解】因?yàn)?，則，所以，即點(diǎn)H在邊的高線所在直線上，同理可得：，所以點(diǎn)H為的三條高線的交點(diǎn)，即點(diǎn)H是的垂心.故選：A.3．（2023春·山東泰安·高三新泰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定通過的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】由題設(shè)條件得到，從而判斷出點(diǎn)P在的平分線上，由此得到點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心.【詳解】分別表示方向的單位向量，令，，則，即，又，以為一組鄰邊作一個(gè)菱形，則點(diǎn)P在該菱形的對(duì)角線上，所以點(diǎn)P在，即的平分線上，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過的內(nèi)心.故選：B.

4．（2023春·四川南充·高三四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)滿足則點(diǎn)一定的（

）A．外心 B．重心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】C【分析】表示與的角平分線垂直的向量，因?yàn)榕c垂直，所以平行于的角平分線，即點(diǎn)位于的角平分線上，同理可得，點(diǎn)位于的角平分線上以及的角平分線上，即點(diǎn)是的角平分線的交點(diǎn)，因此點(diǎn)是的內(nèi)心.【詳解】因?yàn)?，所以，即，即可得，即是的角平分線；同理可得是的角平分線，是的角平分線,所以點(diǎn)為三條角平分線的交點(diǎn)，即點(diǎn)是的內(nèi)心.故選：C考點(diǎn)二、奔馳定理與其他問題綜合1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是內(nèi)的一點(diǎn)，若的面積分別記為，則.這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】延長CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點(diǎn)P，M，N，利用同底的兩個(gè)三角形面積比推得即可求解作答.【詳解】是的垂心，延長CO，BO，AO分別交邊AB，AC，BC于點(diǎn)P，M，N，如圖，則，，因此，，同理，于是得，又，即，由“奔馳定理”有，則，而與不共線，有，，即，所以.故選：A2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知點(diǎn)O是內(nèi)的一點(diǎn)，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長交于點(diǎn)P，則利用垂心的性質(zhì)結(jié)合三角形面積的求法可得，再利用和可得，不妨設(shè)，利用可求出的值，從而可求出的值.【詳解】延長交于點(diǎn)P，是的垂心，，．同理可得，．又，．又，．不妨設(shè)，其中．，，解得．當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則A，B，C都是鈍角，不合題意，舍掉．故，則，故C為銳角，∴，解得，故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查向量的線性運(yùn)算，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用垂心的性質(zhì)得，再結(jié)合已知條件得，設(shè)，再利用兩角和的正切公式可得，從而可求得結(jié)果，考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.3．（2023春·湖南株洲·高三炎陵縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）（多選）如圖.為內(nèi)任意一點(diǎn)，角的對(duì)邊分別為，總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酯似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.則以下命題是真命題的有（

）A．若是的重心，則有B．若成立，則是的內(nèi)心C．若，則D．若是的外心，，，則【答案】AB【分析】對(duì)于A：利用重心的性質(zhì)，代入即可；對(duì)于B：利用三角形的面積公式結(jié)合與可知點(diǎn)到的距離相等.對(duì)于C：利用將表示出來，代入，化簡即可表示出的關(guān)系式，用將表示出來即可得處其比值.對(duì)于D：利用三角形的圓心角為圓周角的兩倍，再將兩邊平方，化簡可得，結(jié)合的取值范圍可得出答案.【詳解】對(duì)于A：如圖所示：因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，，同理可得、，所以，又因?yàn)?，所?正確；對(duì)于B：記點(diǎn)到的距離分別為，，因?yàn)?，則，即，又因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)是的內(nèi)心，正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，化簡得：，又因?yàn)椴还簿€，所以，所以，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)槭堑耐庑?，，所?，所以，因?yàn)?，則，化簡得：，由題意知同時(shí)為負(fù)，記，，則，因?yàn)?，所以，所以，所以，錯(cuò)誤.故答案為：AB.1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，則有．設(shè)O是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題不正確的有（

）A．若，則O為的重心B．若，則C．若，，則D．若O為的垂心，則【答案】C【分析】對(duì)于A，假設(shè)為的中點(diǎn)，連接，由已知得在中線上，同理可得在其它中線上，即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B，利用奔馳定理可直接得出B正確；對(duì)于C，根據(jù)奔馳定理可得，再利用三角形面積公式可求得，即可計(jì)算出，可得C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，由垂心的性質(zhì)、向量數(shù)量積的運(yùn)算律，得到，結(jié)合三角形面積公式及角的互補(bǔ)關(guān)系得結(jié)論.【詳解】對(duì)于A：如下圖所示，假設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，故共線，即在中線上，同理可得在另外兩邊的中線上，故O為的重心，即A正確；對(duì)于B：由奔馳定理O是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，則有可知，若，可得，即B正確；對(duì)于C：由可知，，又，所以由可得，；所以，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由四邊形內(nèi)角和可知，，則，同理，，因?yàn)镺為的垂心，則，所以，同理得，，則，令，由，則，同理：，，綜上，，根據(jù)奔馳定理得，即D正確.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量數(shù)量積定義、運(yùn)算律和垂心性質(zhì)得到向量模的比例，結(jié)合三角形面積公式和奔馳定理判斷結(jié)論即可.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，若、、的面積分別記為、、，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】由O是垂心，可得，結(jié)合可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和為π，結(jié)合正切的和差角公式即可求解.【詳解】∵是的垂心，延長交與點(diǎn)，∴，同理可得，∴：，又，∴，又，∴，不妨設(shè)，其中，∵，∴，解得或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則都是鈍角，則，矛盾.故，則，∴是銳角，，于是，解得.故選：A.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)一點(diǎn)，、、的面積分別為、、，則.設(shè)是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，、、分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則B．，，，則C．若為的內(nèi)心，，則D．若為的重心，則【答案】ACD【分析】利用“奔馳定理”可判斷A選項(xiàng)；求出，結(jié)合“奔馳定理”可判斷B選項(xiàng)；利用“奔馳定理”可得出的值，結(jié)合勾股定理可判斷C選項(xiàng)；利用重心的幾何性質(zhì)結(jié)合“奔馳定理”可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)椋伞氨捡Y定理”可知，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由，，可知，又，所以，由可得，，，所以，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，若為的內(nèi)心，，則，又（為內(nèi)切圓半徑），所以，，故，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，如下圖所示，因?yàn)闉榈闹匦模娱L交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，所以，，，且，，所以，，由“奔馳定理”可得，D對(duì).故選：ACD.【能力提升】一、單選題1．（2022·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A?B?C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】C【分析】根據(jù)是以為始點(diǎn)，向量與為鄰邊的菱形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量，可知點(diǎn)軌跡，據(jù)此可求解.【詳解】因?yàn)闉榉较蛏系膯挝幌蛄?，為方向上的單位向量，則的方向與的角平分線一致，由，可得，即，所以點(diǎn)P的軌跡為的角平分線所在直線，故點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過的內(nèi)心.故選：C.2．（2022·高三課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)是所在平面上的一點(diǎn)，的三邊為，若，則點(diǎn)是的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】在，上分別取點(diǎn)，，使得，，以，為鄰邊作平行四邊形，即可得到四邊形是菱形，再根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則及共線定理得到，，三點(diǎn)共線，即可得到在的平分線上，同理說明可得在其它兩角的平分線上，即可判斷.【詳解】在，上分別取點(diǎn)，，使得，，則．以，為鄰邊作平行四邊形，如圖，

則四邊形是菱形，且．為的平分線．

，

即，．，，三點(diǎn)共線，即在的平分線上．同理可得在其它兩角的平分線上，是的內(nèi)心．故選：B．3．（2023春·河南濮陽·高三統(tǒng)考期末）點(diǎn)為所在平面內(nèi)的點(diǎn)，且有，，，則點(diǎn)分別為的（

）A．垂心，重心，外心 B．垂心，重心，內(nèi)心C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心【答案】A【分析】由題中向量的關(guān)系，根據(jù)數(shù)量積轉(zhuǎn)化為位置上的關(guān)系，進(jìn)而可判斷.【詳解】由，得，即，則，得所以，則，同理可得，，即是三邊上高的交點(diǎn)，則為的垂心；由，得，設(shè)的中點(diǎn)為，則，即，，三點(diǎn)共線，所以在的中線上，同理可得在的其余兩邊的中線上，即是三邊中線的交點(diǎn)，故為的重心；由，得，即，又是的中點(diǎn)，所以在的垂直平分線上，同理可得，在，的垂直平分線上，即是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故是的外心，故選：A4．（2023春·四川成都·高三樹德中學(xué)校考期末）已知點(diǎn)，，在所在平面內(nèi)，且，，，則點(diǎn)，，依次是的（

）A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、內(nèi)心C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、內(nèi)心【答案】A【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算逐個(gè)分析判斷即可【詳解】由，得，所以，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，所以，所以點(diǎn)在邊上的中線上，同理可得也在的中線上，所以點(diǎn)是的重心，由，得，所以到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以為的外心，由，得，所以，所以，所以，同理得，所以為的垂心，故選：A5．（2023春·天津·高三天津市第四十七中學(xué)校聯(lián)考期末）已知三個(gè)不共線的向量滿足，則為的（）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】A【分析】根據(jù)題意和向量加法的平行四邊形法則作出幾何圖形，得到四邊形是菱形，根據(jù)菱形性質(zhì)可得在的角平分線上，從而可得出為內(nèi)心．【詳解】如圖所示，在上取點(diǎn)，在延長線上取點(diǎn)，使得，可得，以為鄰邊作平行四邊形，則,因?yàn)?，所以平行四邊形是菱形，所以，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，因?yàn)?，即，所以，所以點(diǎn)在上，因?yàn)?，所以，由菱形的性質(zhì)可得，所以，所以為的角平分線，所以在的角平分線上，同理可得：在的角平分線上，故在的角平分線上，所以為的內(nèi)心.故選：A.6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，，在所在的平面內(nèi)，且，且，則，，分別是的（

）A．重心

外心

垂心 B．重心

外心

內(nèi)心C．外心

重心

垂心 D．外心

重心

內(nèi)心【答案】C【分析】根據(jù)三角形外心、重心和垂心的定義，結(jié)合向量的模、向量的運(yùn)算、數(shù)量積及運(yùn)算律判斷即可.【詳解】因?yàn)椋設(shè)到頂點(diǎn)，，的距離相等，所以為的外心；由得，即，所以，同理可證，所以為的垂心；若，則，取的中點(diǎn)，則，所以，所以是的重心.故選：.二、多選題7．（2023春·湖北武漢·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，在所在的平面內(nèi)，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為的外心B．為的垂心C．為的內(nèi)心D．為的重心【答案】BD【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，線性運(yùn)算及三角形五心的性質(zhì)即可判斷出答案．【詳解】由題意，所以，即＝0，所以，同理可得：，，所以M為的垂心；A錯(cuò)誤,B正確；因?yàn)樗裕?，設(shè)AB的中點(diǎn)D，則，所以，所以C，N，D三點(diǎn)共線，即N為的中線CD上的點(diǎn)，且，所以N為的重心,C錯(cuò)誤,D正確.故選:BD.8．（2023春·河北石家莊·高三校考階段練習(xí)）設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，則正確的是（

）A．為的外心B．為的重心C．為的垂心D．為的內(nèi)心【答案】BCD【分析】由三角形四心的定義，利用向量共線定理、向量垂直的幾何意義和平面幾何的知識(shí)，即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)為三角形的外心，取的中點(diǎn)，，則，，即，反之，若，取的中點(diǎn)，則，即，即，只能得到在的垂直平分線上，不能得到為三角形的外心，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)為三角形的重心，為中線的交點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，可得，所以，.反之，取的中點(diǎn)，若，則，則可得，，三點(diǎn)共線且，即為三角形的重心，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)為三角形的垂心，，同理可證，即，反之也成立，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)為三角形的內(nèi)心，為三角形的角平分線，則，，如圖過A作CF的平行線交BE的延長線于點(diǎn)N，過A作BE的平行線交CF于點(diǎn)M，則四邊形為平行四邊形，，所以，反之也成立，故D正確；故選：BCD9．（2023春·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（

）A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若，，為的外心，則D．若為的垂心，，則【答案】ABD【分析】對(duì)A，取BC的中點(diǎn)D，連接MD，AM，結(jié)合奔馳定理可得到，進(jìn)而即可判斷A；對(duì)B，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，從而可用表示出，，，再結(jié)合奔馳定理即可判斷B；對(duì)C，設(shè)的外接圓半徑為，根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合題意可得，，，從而可用表示出，，，進(jìn)而即可判斷C；對(duì)D，延長AM交BC于點(diǎn)D，延長BO交AC于點(diǎn)F，延長CO交AB于點(diǎn)E，根據(jù)題意結(jié)合奔馳定理可得到，，從而可設(shè)，，則，，代入即可求解，進(jìn)而即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，取BC的中點(diǎn)D，連接MD，AM，由，則，所以，所以A，M，D三點(diǎn)共線，且，設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，同理可得，，所以為的重心，故A正確；對(duì)于B，由為的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則有，，，所以，即，故B正確；對(duì)于C，由為的外心，則可設(shè)的外接圓半徑為，又，，則有，，，所以，，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，延長AM交BC于點(diǎn)D，延長BM交AC于點(diǎn)F，延長CM交AB于點(diǎn)E，由為的垂心，，則，又，則，，設(shè)，，則，，所以，即，所以，所以，故D正確；故選：ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答D選項(xiàng)的關(guān)鍵是通過做輔助線（延長AM交BC于點(diǎn)D，延長BO交AC于點(diǎn)F，延長CO交AB于點(diǎn)E），根據(jù)題意，結(jié)合奔馳定理得到，，再設(shè)，，得到，，進(jìn)而即可求解．10．（2023春·江蘇鹽城·高三江蘇省射陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，則，是內(nèi)的一點(diǎn)，∠，∠，∠分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則B．若，，且，則C．若，則為的垂心D．若為的內(nèi)心，且，則【答案】BCD【分析】根據(jù)題意得到，A錯(cuò)誤，計(jì)算，根據(jù)比例關(guān)系得到B正確，確定得到C正確，根據(jù)面積公式得到，得到D正確，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：，則，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：，，故，，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，即，故，同理可得，，故為的垂心，正確；對(duì)選項(xiàng)D：，故，設(shè)內(nèi)接圓半徑為，，，，即，即，，正確.故選：BCD11．（2023春·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，為內(nèi)任意一點(diǎn)，角的對(duì)邊分別為，則總有優(yōu)美等式成立，此結(jié)論稱為三角形中的奔馳定理．由此判斷以下命題中正確的有（

）A．若是等邊三角形，為內(nèi)任意一點(diǎn)，且點(diǎn)到三邊的距離分別是，則有B．若為內(nèi)一點(diǎn)，且，則是的內(nèi)心C．若為內(nèi)一點(diǎn)，且，則D．若的垂心在內(nèi)，是的三條高，則【答案】ACD【分析】若是等邊三角形，設(shè)其高為，用和表示出，代入奔馳定理，化簡即可判斷A；由及奔馳定理，根據(jù)平面向量基本定理即可得出，即可判斷B；由得出，結(jié)合奔馳定理，根據(jù)平面向量基本定理得出，即可判斷C；點(diǎn)是的垂心，得出，，，代入奔馳定理即可判斷D．【詳解】因?yàn)闉閮?nèi)任意一點(diǎn)，所以兩兩不共線；對(duì)A：是等邊三角形，設(shè)其高為，則，，，代入奔馳定理得，，即，故A正確；對(duì)B：由且，根據(jù)平面向量基本定理得，則是的重心，故B不正確；對(duì)C：，即，又，由平面向量基本定理得，故C正確；對(duì)D：由點(diǎn)是的垂心，則，所以，同理可得，，，代入，得，即，故D正確；故選：ACD．12．（2023春·四川成都·高三成都七中校考階段練習(xí)）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（

）A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若，，為的外心，則D．若為的垂心，，則【答案】ABD【分析】對(duì)A，取BC的中點(diǎn)D，連接MD，AM，結(jié)合奔馳定理可得到，進(jìn)而即可判斷A；對(duì)B，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，從而可用表示出，，，再結(jié)合奔馳定理即可判斷B；對(duì)C，設(shè)的外接圓半徑為，根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合題意可得，，，從而可用表示出，，，進(jìn)而即可判斷C；對(duì)D，延長AM交BC于點(diǎn)D，延長BO交AC于點(diǎn)F，延長CO交AB于點(diǎn)E，根據(jù)題意結(jié)合奔馳定理可得到，，從而可設(shè)，，則，，代入即可求解，進(jìn)而即可判斷D．【詳解】對(duì)于A，取BC的中點(diǎn)D，連接MD，AM，由，則，所以，所以A，M，D三點(diǎn)共線，且，設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，同理可得，，所以為的重心，故A正確；對(duì)于B，由為的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則有，，，所以，即，故B正確；對(duì)于C，由為的外心，則可設(shè)的外接圓半徑為，又，，則有，，，所以，，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，延長AM交BC于點(diǎn)D，延長BM交AC于點(diǎn)F，延長CM交AB于點(diǎn)E，由為的垂心，，則，又，則，，設(shè)，，則，，所以，即，所以，所以，故D正確；故選：ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答D選項(xiàng)的關(guān)鍵是通過做輔助線（延長AM交BC于點(diǎn)D，延長BO交AC于點(diǎn)F，延長CO交AB于點(diǎn)E），根據(jù)題意，結(jié)合奔馳定理得到，，再設(shè)，，得到，，進(jìn)而即可求解．13．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？计谀┢矫嫦蛄恐杏幸粋€(gè)優(yōu)美的結(jié)論，有趣的是，這個(gè)結(jié)論對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo非常相似，該結(jié)論如下：如圖，已知是內(nèi)部一點(diǎn)，將，，的面積分別記為，，，則.根據(jù)上述結(jié)論，下列命題中正確的有（

）

A．若，則B．若，則C．若為的內(nèi)心，且，則D．若為的垂心，則【答案】BCD【分析】對(duì)于A，由奔馳定理即可直接判斷；對(duì)于B，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算可得，進(jìn)而由奔馳定理即可直接判斷；對(duì)于C，由奔馳定理可得，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，結(jié)合面積公式可得，進(jìn)而結(jié)合勾股定理即可求解；對(duì)于D，結(jié)合為的垂心，可得，，，進(jìn)而根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義可得，進(jìn)而求解即可.【詳解】對(duì)于A，由奔馳定理可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，即，整理得，由奔馳定理可得，故B正確；對(duì)于C，由，可得，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，即,所以，即，故C正確；對(duì)于D，，，，因?yàn)闉榈拇剐?，所以，，，又，?所以，即，同理可得，所以，所以，由奔馳定理可知D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于理解題意，由得到，進(jìn)而結(jié)合平面向量的數(shù)量積及線性運(yùn)算求解即可.14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.若O是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，A，B，C是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)O滿足.則（

）A．O為的外心 B．C． D．【答案】BCD【分析】由確定出點(diǎn)O是三角形的垂心，判斷A；利用直角三角形角的關(guān)系、邊角關(guān)系計(jì)算判斷B，C；由直角三角形邊角關(guān)系計(jì)算判斷D作答.【詳解】依題意，，同理OA⊥CB，OC⊥AB，則O為的垂心，A錯(cuò)誤；如圖，直線分別交AB，AC于P，Q，由選項(xiàng)A知，，，，則，又，即有，又，因此，B正確；由選項(xiàng)B知，，同理，，同理可得，因此，C正確；，同理可得，所以，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及直角三角形銳角的三角函數(shù)，合理利用直角三角形中邊的比表示是解題的關(guān)鍵.15．（2023春·黑龍江哈爾濱·高三哈九中校考期末）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的三叉車標(biāo)很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為、、，則有，設(shè)O是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，，，分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的是（

）．A．若，則O為的重心B．若，則C．若O為（不為直角三角形）的垂心，則D．若，，，則【答案】ABC【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算結(jié)合三角形重心判斷A；結(jié)合“奔馳定理”即可判斷B；根據(jù)三角形垂心性質(zhì)，推出，結(jié)合“奔馳定理”判斷C；求出，結(jié)合“奔馳定理”可得，從而求得，判斷D.【詳解】對(duì)于A，設(shè)的中點(diǎn)為D，則，

即三點(diǎn)共線，則，設(shè)為的中點(diǎn)，同理可得，故O為的重心，A正確；對(duì)于B，若，結(jié)合，可知，B正確；對(duì)于C，，，，又O為（不為直角三角形）的垂心，設(shè)延長后交與G，則,同理，則，即，同理，

故，同理，又，，又O為（不為直角三角形）的垂心，則，故，即，同理，則，同理，故，又，可得，C正確；對(duì)于D，中，，，則，又，故，則，故，D錯(cuò)誤，故選：ABC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題題意比較新穎，綜合考查了向量知識(shí)的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是能靈活應(yīng)用向量知識(shí)，比如三角形“心”的向量表示，結(jié)合“奔馳定理”進(jìn)行解答.16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知O是內(nèi)的一點(diǎn)，的面積分別為，則有．設(shè)O是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，分別是的三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（

）A．若，則O為的重心B．若，則C．若，，則D．若O為的垂心，則【答案】ABD【分析】A若為的中點(diǎn)，連接，由已知得在中線上，同理可得在其它中線上，即可判斷；B、C將三角形補(bǔ)成一個(gè)以O(shè)為重心的三角形，根據(jù)向量的線性關(guān)系求出相關(guān)三角形面積的數(shù)量關(guān)系，即可得結(jié)論；D由垂心的性質(zhì)、向量數(shù)量積的運(yùn)算律，得到，結(jié)合三角形面積公式及角