2.2-全等三角形的判定 帶解析-2023年升初二人教版暑假銜接教材

?2.2全等三角形的判定（1）考點(diǎn)先知考點(diǎn)先知知識(shí)考點(diǎn)“SSS”判定三角形全等1.與“SSS”有關(guān)的添?xiàng)l件問(wèn)題2.“SSS”判定三角形全等“SAS”判定三角形全等3.與“SAS”有關(guān)的添?xiàng)l件問(wèn)題4.“SAS”判定三角形全等題型精析題型精析知識(shí)點(diǎn)一全等三角形的判定原理知識(shí)點(diǎn)一全等三角形的判定原理內(nèi)容全等三角形的判定原理全等三角形的判定實(shí)際上是根據(jù)給定的三個(gè)條件，是否能夠作出唯一的三角形.題型一全等三角形的判定原理題型一全等三角形的判定原理例1例1（1）AB=3，AC=4，BC=5；（2）∠A=40°，AB=5，AC=7；（3）∠A=40°，AB=5，BC=7；（4）∠A=50°，∠B=70°，∠C=60°.變1根據(jù)給定的條件作三角形，并判斷是否只能畫(huà)出一個(gè)三角形：變1（1）∠B=60°，∠C=45°，BC=4；（2）∠A=40°，∠C=50°，AB=3；（3）∠C=90°，AB=5，BC=4；（4）∠A=50°，BC=3，AB=6.例2在△ABC中，若∠B=45°，AB=10，AC=5，求△ABC的面積．請(qǐng)問(wèn)該題的三角形是否唯一？有幾個(gè)解？（不需求解，只需回答后兩個(gè)問(wèn)題即可）例2變2在△ABC中，若∠B=45°，AB=10，BC=5，求△ABC的面積．請(qǐng)問(wèn)該題的三角形是否唯一？有幾個(gè)解？（不需求解，只需回答后兩個(gè)問(wèn)題即可）變2知識(shí)點(diǎn)二“知識(shí)點(diǎn)二“SSS”全等三角形的判定原理內(nèi)容全等三角形的判定（一）兩個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)相等（SSS），則兩個(gè)三角形全等.題型二添?xiàng)l件問(wèn)題題型二添?xiàng)l件問(wèn)題例1如圖，已知AC=BD，要使得△ABC≌△DCB，根據(jù)“SSS”判定方法，需要再添加的一個(gè)條件是例1【分析】要使△ABC≌△DCB，由于BC是公共邊，若補(bǔ)充一組邊相等，則可用SSS判定其全等．【解答】解：添加AB=DC．在△ABC和△DCB中，AB=DCBC=CB∴△ABC≌△DCB（SSS）．∴添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件是AB=DC．故答案為：AB=DC．例2如圖，AB=AC，DB=DC則直接由“SSS例2A．△ABD≌△ACDB．△ABE≌△ACEC．△EBD≌△ECDD．以上答案都不對(duì)【分析】本題已知AB=AC，DB=DC，AD是公共邊，具備了三組邊對(duì)應(yīng)相等，所以即可判定△ABD≌△ACD．【解答】解：在△ABD與△ACD中，AB=ACDB=DC∴△ABD≌△ACD（SSS）．故選：A．變1如圖，已知AC=FE，BC=DE，點(diǎn)A、D、B、F在一條直線上，要利用“SSS”證明△ABC≌△FDE，還可以添加的一個(gè)條件是（）變1A．AD=FBB．DE=BDC．BF=DBD．以上都不對(duì)【分析】由題意AC=FE，BC=DE，根據(jù)SSS即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵AC=EF，BC=DE，∴要根據(jù)SSS證明△ABC≌△FDE，∴需要添加AD=BF即可．故選：A．變2如圖，在△ABC和△FED中，AC=FD，BC=ED，要利用“SSS”來(lái)判定△ABC和△FED全等時(shí)，下面的4個(gè)條件中：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；④BF=BE，可利用的是（）變2A．①或②B．②或③C．①或③D．①或④【分析】要利用SSS進(jìn)行△ABC和△FED全等的判定，還需要條件AB=FE，結(jié)合題意給出的條件即可作出判斷．【解答】解：由題意可得，要用SSS進(jìn)行△ABC和△FED全等的判定，需要AB=FE，若添加①AE=FB，則可得AE+BE=FB+BE，即AB=FE，故①可以；若添加AB=FE，則可直接證明兩三角形的全等，故②可以．若添加AE=BE，或BF=BE，均不能得出AB=FE，不可以利用SSS進(jìn)行全等的證明，故③④不可以．故選：A．題型三“邊邊邊”判定三角形全等題型三“邊邊邊”判定三角形全等例1如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一直線上，，，．求證：．例1【答案】證明見(jiàn)詳解【分析】根據(jù)線段的和差求出，利用即可證明．【詳解】證明：∵，∴，即，在和中，，∴．例2如圖，點(diǎn)A、、、在同一條直線上，，，，求證：．例2【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)，，，利用定理證明，從而得到，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，得證．【詳解】證明：∵∴∴在和中，∴∴∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）變1如圖，在和中，，求證：．變1【答案】見(jiàn)解析【分析】直接利用全等三角形的判定方法：求出即可．【詳解】證明∶在和中，變2如圖，，，，點(diǎn)E、B、D、F在同一條直線上．求證．變2【答案】見(jiàn)詳解【分析】根據(jù)，兩邊同時(shí)減去BD，可得，再由，證明即可．【詳解】證明：∵，∴，∴，∵在和中，∴．例3如圖，在和中，點(diǎn)C在邊上，邊交邊于點(diǎn)F，若，，．求證：．例3【答案】證明見(jiàn)詳解【分析】先根據(jù)SSS定理得出(SSS)，故，再根據(jù)是的外角，可知，可得出，故可得出結(jié)論．【詳解】解：在和中（SSS）；，變3如圖，AB=AC，AD=AE，CD=BE．求證：∠DAB=∠EAC．變3【分析】三角形全等條件中必須是三個(gè)元素，可用SSS判定兩個(gè)三角形全等．【解答】證明：在△ADC與△AEB中，AB=ACAD=AE∴△ADC≌△AEB（SSS），∴∠DAC=∠EAB，∴∠DAC﹣∠BAC=∠EAB﹣∠BAC，∴∠DAB=∠EAC例4如圖，已知：AB=AC，BD=CD，E為AD例4（1）求證：△ABD≌△ACD；（2）若∠BED=50°，求∠CED的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)SSS即可證明△ABD≌△ACD；（2）只要證明△EDB≌△EDC（SAS），即可推出∠BED=∠CED，進(jìn)而得到答案．【詳解】（1）證明：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）；（2）解：∵△ABD≌△ACD，∴∠ADB=∠ADC，在△EDB和△EDC中，，∴△EDB≌△EDC（SAS），∴∠BED=∠CED，∵∠BED=50°，∴∠CED=∠BED=50°．變4已知：如圖，點(diǎn)A，D，C，B在同一條直線上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求證：變4（1）△AEC≌△BFD；（2）DE=CF.【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由線段的和差可得AC=BD，繼而利用“SSS”即可求證結(jié)論；（2）由（1）可知∠A=∠B，繼而利用“SAS”求證△AED≌△BFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵AD=BC，∴AD+DC=BC+DC，即AC=BD，在△AEC和△BFD中，

∴△AEC≌△BFD（SSS），（2）由（1）可知△AEC≌△BFD，∴∠A=∠B，在△AED和△BFC中，,∴△AED≌△BFC（SAS），∴DE=CF知識(shí)點(diǎn)三“知識(shí)點(diǎn)三“SAS”全等三角形的判定原理內(nèi)容全等三角形的判定（二）兩個(gè)三角形的兩條邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等（SAS），則兩個(gè)三角形全等.題型四添?xiàng)l件問(wèn)題題型四添?xiàng)l件問(wèn)題例1如圖，AD與BC交于點(diǎn)O，，添加一個(gè)條件后能使用“邊角邊”基本事實(shí)判定的是（）例1A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的判定對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行依次判定即可.【詳解】已知A，時(shí)不構(gòu)成全等的條件，故錯(cuò)誤，不符題意；B，時(shí)，在△AOC和△BOD中∴(SAS)，使用了“邊角邊”，故符合題意；C，時(shí)，在△AOC和△BOD中∴(AAS)，使用了“角角邊”，故不符合題意；D，時(shí)，在△AOC和△BOD中∴(ASA)，使用了“角邊角”，故不符合題意，故選B例2如圖，若已知，用“”說(shuō)明，還需要的一個(gè)條件是（）例2A．B．C．D．【答案】B【分析】找到根據(jù)“”判定需要條件，作出證明即可．【詳解】解：還需添加的條件是，理由是：在和中，，∴，故選：B．變1如圖，與相交于點(diǎn)，，若用“”證明，還需添加的條件是（）變1A．B．C．D．【答案】B【分析】利用對(duì)頂角相等，則要根據(jù)“”證明，需要添加對(duì)應(yīng)邊與相等即可．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，可利用“”判斷，故選：B．變2如圖，B、A、D、E在同一直線上，，，利用“”使得，則只需添加的一個(gè)條件是．變2【答案】【分析】由平行線的性質(zhì)得出，由的判定方法求解即可．【詳解】解：添加條件：，理由如下：∵，∴，在和中，，∴；故答案為：．題型五“邊角邊”判定三角形全等題型五“邊角邊”判定三角形全等例1如圖，，，，，求證：．例1【答案】見(jiàn)解析【分析】如圖，先證明再利用證明即可．【詳解】證明：又，，在與中，∴．例2如圖，點(diǎn)、、、在同一條直線上，，，．求證：．例2【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)“”證即可．【詳解】證明：∵，∴，即，在和中，，∴．變1已知：如圖，A、C、F、D在同一直線上，，，，求證：變1【答案】見(jiàn)解析【分析】由“SAS”可證．【詳解】證明：∵∴即∴在和中，，∴（SAS）變2如圖，已知EC=BF，AC=DF，∠C=∠F，求證：．變2【答案】見(jiàn)解析【分析】先證得，再利用證明．【詳解】證明：∵，∴，即，在和中∴．例3如圖，已知，，，求證：．例3【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)證明，即可得出結(jié)論；【詳解】解：∵∴即：在和中∴∴例4已知△ABC和△ADE均為等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE例4（1）如圖1，點(diǎn)E在BC上，求證：BC=BD+BE；（2）如圖2，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，求證：BC=BD﹣BE．【分析】（1）先證∠DAB=∠EAC，再證△DAB≌△EAC（SAS），得出BD=CE，則可得出結(jié)論；（2）證明△DAB≌△EAC（SAS），得出BD=CE，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，即∠DAB=∠EAC，又∵AB=AC，AD=AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD=CE，∴BC=BE+CE=BD+BE；（2）證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠EAB=∠DAE+∠EAB，即∠DAB=∠EAC，又∵AB=AC，AD=AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD=CE，∴BC=CE﹣BE=BD﹣BE．變3如圖，已知，，，求證：．變3【答案】見(jiàn)解析【分析】先證明，從而可以利用來(lái)判定．【詳解】證明：∵，∴，即，在和中，∴．變4如圖，在和中，，點(diǎn)C在上．求證：變4（1）；（2）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)，可得，根據(jù)SAS，可得兩個(gè)三角形全等；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得對(duì)應(yīng)角相等，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得，根據(jù)等量代換，可得證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，即．在和中，，；（2）證明：，例5如圖，大小不同的兩塊三角板和直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)C處，，，連接、，點(diǎn)A恰好在線段上．例5（1）求證：；（2）當(dāng)，則AE的長(zhǎng)度為cm．（3）猜想AE與BD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)8(3)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）求出，根據(jù)證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；（3）如圖，與相交于點(diǎn)O，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合求出即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，在與中，，∴；（2）解：∵，∴，故答案為：8；（3）解：，理由：如圖，與相交于點(diǎn)O，∵，∴，又∵，∴，∴．變5如圖，，，，．變5（1）求證：；（2）圖中、有怎樣的關(guān)系？試證明你的結(jié)論．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)，并結(jié)合圖形可推出，再根據(jù)，，結(jié)論即可得證；（2）如圖，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由（1）的結(jié)論可推出，，由，，可得出，可得，由此即可解決問(wèn)題．（1）證明：∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴．（2）解：結(jié)論：，．理由如下：如圖，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∵，∴，，∵，，∴，∴，∴．課后強(qiáng)化課后強(qiáng)化1.如圖，在四邊形中，，，若連接相交于點(diǎn)，則圖中全等三角形共有（）A．1對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法判斷即可；【詳解】解：由，，可以判定；∴，由，，可以判定；由，，可以判定；共對(duì)全等三角形；故選：C．2.如圖，，若要用“”證明，需要補(bǔ)充一個(gè)條件，這個(gè)條件是．【答案】【分析】由圖形可知為公共邊，則可再加一組邊相等，可求得答案．【詳解】解：∵，，∴可補(bǔ)充，在和中，，∴；故答案為：．3.如圖，已知AB=AC，AD=AE，要證明△ABD≌△ACE，還需要添加條件為（只寫(xiě)一種）．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)已知條件選擇合適的全等三角形的判定方法，添加合適的條件即可．【詳解】解：添加條件為，理由是：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SSS）．故答案為：4.如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，，，．（1）求證：；（2）求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由證明即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出，再由平行線的判定即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：證明：，，即，在和中，，；（2）由（1）知，，．5.如圖，，，相交于點(diǎn)．（1）求證；（2）求證．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析．【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知角相等，再根據(jù)全等三角形的判定可知，進(jìn)而得出線段相等．【詳解】（1）解：在和中，∴，∴，（2）解：∵，∴，∴在和中，∴，∴，∴，6.已知，如圖，在四邊形中，，平分，E為上任意一點(diǎn)，連接，求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】先證明，得出，再證明即可【詳解】證明：∵平分，∴在與中，∴∴在與中，∴7.如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，還需添加兩個(gè)條件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一組條件是（）A．∠B=∠E，BC=ECB．∠B=∠E，AC=DCC．∠A=∠D，BC=ECD．BC=EC，AC=DC【分析】由AB=DE知，由全等三角形的判定定理SAS知，缺少的添加是：一組對(duì)應(yīng)邊相等及其對(duì)應(yīng)夾角相等．【解答】解：A、若AB=DE，∠B=∠E，BC=EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故符合題意．B