自動控制原理第第四章-線性系統(tǒng)的根軌跡法

自動控制原理第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法1自動控制原理從上一章討論知道，閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能與閉環(huán)極點在S平面上的位置是密切相關(guān)的，分析系統(tǒng)性能時往往要求確定閉環(huán)極點位置。另一方面分析設(shè)計系統(tǒng)時經(jīng)常要研究一個或者多個參量在一定范圍內(nèi)變化時對閉環(huán)極點位及系統(tǒng)性能的影響.W.R.EVAOVS（依萬斯）首先提出了求解特征方程式根的圖解法─根軌跡法。2自動控制原理§4.1根軌跡的基本概念閉環(huán)特征方程：閉環(huán)特征根：（閉環(huán)極點）例：開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)系統(tǒng)兩個極點為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為:3自動控制原理1、當(dāng)k1=0時，s1,2=0,-a，即開環(huán)極點2、當(dāng)時s1,2為不相等的負實根3、當(dāng)時4、當(dāng)時s1,2為共軛復(fù)根，實部為規(guī)定：以“o”表示零點，“×”表示極點，箭頭為k增大時閉環(huán)極點變化方向。4自動控制原理2、K從0→s1,2沿相反方向向移動，閉環(huán)極點均在負實軸上，相當(dāng)于過阻尼情況。1、二階系統(tǒng)根軌跡有兩條，k1=0時分別從開環(huán)極點p1=0，p2=-a開始。3、兩極根軌跡在會合，相當(dāng)于臨界阻尼。4、兩根軌跡離開實軸，變?yōu)楣曹棌?fù)根其實部保持常數(shù)，對應(yīng)于欠阻尼情況。小結(jié)：5自動控制原理繪制根軌跡的相角條件和幅值條件閉環(huán)特征方程

1＋G(S)H(S)=0

即G(S)H(S)=-1幅值條件：|G(s)H(s)|=1相角條件：∠G(S)H(S)=±1800(2q+1)q=1,2,3…上述幅值條件和相角條件是繪制根軌跡的重要依據(jù)，凡滿足上述兩條件的必是特征方程的根，必在根軌跡上。6自動控制原理開環(huán)傳遞函數(shù)的兩種因子形式零極點形式時間常數(shù)形式7自動控制原理顯然k1：零極點形式K：時間常數(shù)形式j(luò)=1,2……mi=1,2……n繪制根軌跡時利用零極點形式比較方便，因為(s-zj)(s-pi)在S平面上可以用相量表示。8自動控制原理繪制根軌跡的幅值條件為或繪制根軌跡的相角條件為q=0,1,2……9自動控制原理用相角條件確定根軌跡上的點。用幅值條件確定根軌跡上某一點所對應(yīng)的增益k1

注意s平面的實軸，虛軸座標(biāo)比例要一致例10自動控制原理實際上要找出根軌跡的一些特征，它們是：根軌跡分支數(shù)。起點，終點。實軸上根軌跡。無窮遠處狀態(tài)。分離點，匯合點。離開復(fù)極點出射角，進入復(fù)零點的入射角。與虛軸交點。按照上述方法逐點找出根軌跡的許多點，實際上非常麻煩，而且易產(chǎn)生錯誤。11自動控制原理4-2根軌跡繪制的基本法則法則1：根軌跡的起點為n個開環(huán)極點(KI=0時)，根軌跡的終點(KI→∞時)有m個趨向開環(huán)零點，n-m個趨向無窮遠處。12自動控制原理13自動控制原理證明：根據(jù)幅值條件KI=0時，只有s=Pi才能滿足幅值條件，故根軌跡起點為開環(huán)極點Pi(i=1,2,…,n)KI→∞時，只有s=zj才能滿足幅值條件，故根軌跡有m條終點是開環(huán)零點，另外n-m條趨向無窮遠處，這是因為（幅值條件又可以表示為）：上式表明：只有當(dāng)s→∞時

KI→∞，故有n-m個根軌跡分支，趨向無窮遠處。14自動控制原理[證明]

閉環(huán)系統(tǒng)特征方程根的個數(shù)即系統(tǒng)的階數(shù)。由根軌跡的定義知，開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無窮時，閉環(huán)特征方程的根在s平面上變化的軌跡即根軌跡。所以根軌跡的分支數(shù)與特征方程式根的數(shù)目一致，由式知，根軌跡的分支數(shù)必然等于m和n中的大者，亦即系統(tǒng)的階數(shù)法則2根軌跡的分支數(shù)和對稱性：根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)有限零點數(shù)m和開環(huán)有限點數(shù)n中的大者相同。即等于系統(tǒng)的階數(shù)，它們是連續(xù)的，并對稱于實軸。15自動控制原理根軌跡增益K*從零到無窮變化是連續(xù)的，說明系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根應(yīng)該是連續(xù)變化的，那么s平面上的根軌跡也是連續(xù)的。閉環(huán)傳遞函數(shù)是有理分式函數(shù)，所以閉環(huán)特征方程的根只有實數(shù)和復(fù)數(shù)。如果是實數(shù)，則位于實軸上；如果是復(fù)數(shù)，必共軛，所以s平面上的根軌跡對稱于實軸。利用這一性質(zhì)，只需要繪制實軸上部的根軌跡，而實軸下部的根軌跡可由對稱性繪出。16自動控制原理法則3根軌跡的漸近線如果系統(tǒng)的有限開環(huán)零點數(shù)m少于其開環(huán)極點數(shù)n，則當(dāng)根跡增益K*→∞時，趨向無窮遠處根軌跡的漸近線共有n-m條。這些漸近線與實軸上的交點坐標(biāo)為與實軸正方向的夾角為17自動控制原理證明：當(dāng)試驗點sd離原點很遠時，有限零極點到該實險點的相角可以認(rèn)為是相等的(記為φ)，根據(jù)相角條件得：（q=0,1,2……，n-m-1）18自動控制原理a1b119自動控制原理即：根據(jù)二項式定理可以只考慮高次項*20自動控制原理代入*式得把s=σ+jω代入上式得即漸近線方程21自動控制原理漸近線與實軸交點漸近線斜率

q=0,1……,n-m-1即漸近線傾斜角(q=0,1……,n-m-1)推論：22自動控制原理法則4實軸上存在根軌跡的條件——這些段右邊開環(huán)零極點個數(shù)之和為奇數(shù)。證明：根據(jù)相角條件例：sd為實驗點實驗點sd右側(cè)實軸上零極點提供1800相角

實驗點sd左側(cè)實軸上零極點提供00相角

共軛復(fù)零點，復(fù)極點提供的相角和為3600?？梢姰?dāng)sd右側(cè)實軸上有奇數(shù)個零極點時，sd是根軌跡上的點23自動控制原理例.繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為的單位反饋系統(tǒng)的根軌跡開環(huán)極點0，-1，-2為根軌跡起點。解：開環(huán)無零點，故三個分支終點均趨向無窮遠。實軸上根軌跡：(-∞,-2],[-1,0]

漸近線傾斜角：(q=0,1……,n-m-1)漸近線與實軸交點：24自動控制原理根軌跡如圖所示：問題：(1)根軌跡與實軸分離點。(2)根軌跡虛軸交點。25自動控制原理××d1-1-40-3-2jω根軌跡對稱于實軸，分離點要么位于實軸，要么以共軛復(fù)數(shù)對形式出現(xiàn)。如果根軌跡位于實軸上兩個極點之間或兩個零點（一個零點可能位于無窮遠處）之間，在這兩個極點或零點之間必然存在分離點，如右圖所示。法則5根軌跡上的分離點：兩條或兩條以上根軌跡在s平面相遇又分開的點被稱為根軌跡的分離點。分離點坐標(biāo)d是下式解。26自動控制原理[證明]由閉環(huán)特征方程根軌跡在s平面上相遇，說明出現(xiàn)重根。設(shè)重根為d，出現(xiàn)重根的條件為：或

從上式解出s，即分離點d。27自動控制原理式（4-20）除式（4-21）得：28自動控制原理例：求上例分離點。分離點必在0，-1之間,所以s1＝-0.423為分離點。代入得KI=0.38529自動控制原理例單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。解：按下述步驟繪制概略根軌跡：（1）系統(tǒng)開環(huán)有限極點為p1=0，p2=-1，p3=-5，系統(tǒng)無開環(huán)有限零點；（2）實軸上根軌跡區(qū)間為[-，-5]，[-1，0]；（3）漸近線的條數(shù)為3，漸近線與實軸的交點和交角為30自動控制原理（4）分離點方程為:

解上式求得分離點d=-0.472

閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡見下圖(k=0,1,2)31自動控制原理jω-4-3-2-10-5×××32自動控制原理例、確定下列閉環(huán)特征方程式根軌跡的分離點和會合點。解:s1=-1.172，s2＝-6.82833自動控制原理法則6開環(huán)復(fù)數(shù)極點處根軌跡出射角為開環(huán)復(fù)數(shù)零點處根軌跡入射角為：其中（不包括本點）34自動控制原理如圖示，從復(fù)數(shù)極點p4，p5處出發(fā)的根軌跡切線角稱為出射角

在p5附近取一實驗點sd，則∠sd-p5可以認(rèn)為是p5點的出射角近似為35自動控制原理同理可證復(fù)數(shù)極點的入射角為36自動控制原理試?yán)L制該系統(tǒng)概略根軌跡。例設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為解：先將開環(huán)零、極點畫在圖中。按如下典型步驟繪制根軌跡。確定實軸上的根軌跡。本例實軸區(qū)域[0，-1.5]和[-2.5，-∞]為根軌跡。37自動控制原理確定根軌跡的漸近線。本例n=4，m=3，故只有一條1800的漸近線，它正好與實軸上的根軌跡區(qū)域[-2.5，-∞]重合，所以在n-m=1的情況下，不必再去確定根軌跡的漸近線。確定分離點。本例無分離點確定起始角與終止角。本例概略根軌跡如圖所示。為了準(zhǔn)確畫出這一根軌跡圖，應(yīng)當(dāng)確定根軌跡的起始角和終止角。38自動控制原理先求起始角。做各開環(huán)零、極點到復(fù)數(shù)極點（-0.5+j1.5）的向量，并測出相應(yīng)角度，如圖所示。按照式（4-23）算出根軌跡在極點（-0.5+j1.5）處的起始角為θp2=1800+(φ1+φ2+φ3)-(θ1+θ3+θ4)=790根據(jù)對稱性，根軌跡在極點（-0.5-j1.5）處的起始角為-790。用類似方法可算出根軌跡在復(fù)數(shù)零點（-2+j）處的終止角為149.50。39自動控制原理149.5079040自動控制原理θp1θ1θ3θ4φ1φ2φ341自動控制原理法則7根軌跡與虛軸交點可用s=jω代入特征方程求解

[證明]當(dāng)根軌跡與虛軸有交點，說明存在純虛根，此時的K*值使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。根據(jù)勞斯判據(jù)，令表中第一列含K*行為零，就可以求出根軌跡與虛軸交點的K*值；將勞斯表中s2行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程，可求解一對純虛根的ω數(shù)值。假如根軌跡與正虛軸有一個以上的交點，令勞斯表中冪大于2的偶次方行構(gòu)成輔助方程。42自動控制原理例：可用s=jω代入得:即根軌跡與虛軸交點為(0,±j2),此時K1=2043自動控制原理另解:(某行全0，有相反的實根或共軛虛根)s314s25K1s10s0K1當(dāng)時系統(tǒng)有虛根K1=20輔助方程44自動控制原理例、已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)；。要求繪制系統(tǒng)根軌跡，并求臨界狀態(tài)開環(huán)增益。解：開環(huán)極點有3個，無開環(huán)零點，故系統(tǒng)根軌跡有三個分支，起于三重極點，因無開環(huán)零點，三條根軌跡趨向無窮遠零點實軸上根軌跡(-∞，1/τ]漸近線傾角得φ1＝600，φ2＝1800，φ3＝3000漸近線與實軸交點45自動控制原理根軌跡分離點令即分離點為(-1/τ，j0)，分離角為600、1800、3000

根軌跡與虛軸交點與虛軸交點：46自動控制原理47自動控制原理例、設(shè)一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制K1變化時系統(tǒng)特征方程根軌跡解：根軌跡有4個分支，分別從開環(huán)極s=0，-3，-1±j出發(fā)，趨勢向無窮遠。實軸上根軌跡為[0，3]漸近線傾角：漸近線與實軸交點根軌跡分離點48自動控制原理高階方程較難求解，介紹分離點的另外一種求法復(fù)平面根軌跡分離點及會合點必須滿足方程：可以證明，分離點處根軌跡離開，實軸相角為±1800/r(r為離開實軸根軌跡支路數(shù))。證明：設(shè)根軌跡有兩個分支分別從p1=0，p2=-1出發(fā)，隨KI增大移到b點，當(dāng)KI=Kb時兩分支會合于b點；當(dāng)K*繼續(xù)增大，兩分支離開實軸進入復(fù)平面。由此可見，對應(yīng)實軸上根軌跡，KI的值在b點取極大值而對應(yīng)于復(fù)根，則KI值在b點取極小值。∴由求出該點，可能是分離點(該條件并不是充分條件)49自動控制原理∴s=-2.3，為實軸上分離點分離角根軌跡與虛軸交點令得輔助方程為：令s=-2.3，s=-0.725±j0.36550自動控制原理根軌跡在復(fù)數(shù)極點處出射角26.6060051自動控制原理法則8閉環(huán)極點之和：繪制系統(tǒng)的根軌跡，或利用根軌跡分析系統(tǒng)性能時，可以利用閉環(huán)極點和的性質(zhì)。

設(shè)n＞m，并設(shè)閉環(huán)極點為si（i=1，2，……n），閉環(huán)特征方程為:當(dāng)n-m≥2時，閉環(huán)極點的和并等于開環(huán)極點的和和K*無關(guān)，，即：上式說明，K*變化時，一些特征根增大，另一些特征根必減小，極點的重心不變。

52自動控制原理解：根據(jù)繪制根軌跡法則 （1）系統(tǒng)的開環(huán)有限極點為p1=0，p2=-1，p3=-3.5，p4、5=-3±j2，沒有開環(huán)有限零點;（2）實軸上根軌跡區(qū)間為[-∞，-3.5]，[-1，0];（3）漸近線條數(shù)為n-m=5，漸近線與實軸的交點以及與正實軸的夾角為，±108°，180°例設(shè)單位負反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試?yán)L制系統(tǒng)的概略根軌跡。53自動控制原理（4）求分離點,由分離點方程

用試探法求得d≈-0.4。（5）根軌跡起始角為（6）根軌跡與虛軸的交點可以列寫勞斯表求取，也可以將s=jω代入特征方程求解，特征方程為54自動控制原理將s=jω代入，并令I(lǐng)m[D(s)]=0，Re[D(s)]=0得：由虛部為零解得：ω1=0，ω2,3=±1.034，ω

4,5=±6.514將結(jié)果代入實部，解得

ω2,3=±1.034時，K*=73.04，

ω4,5=±6.514時，K*=-15505顯然K*＜0不是所求結(jié)果。得到根軌跡與虛軸的交點為ω1和ω2，3

55自動控制原理56自動控制原理閉環(huán)極點的確定以上我們用相角條件介紹了繪制根軌跡的基本規(guī)則，根據(jù)幅值條件，可以求出對應(yīng)根軌跡的點（閉環(huán)極點）的增益K1（或K）。例：利用P47例繪制的根軌跡圖，若給定閉環(huán)主導(dǎo)極點的阻尼比為ζ＝0.5，試求增益K1以及其他閉環(huán)極點。解：繪制φ＝600(即ζ＝0.5)線根據(jù)它與根軌跡交點得，閉環(huán)共軛極點為

-0.4±j0.757自動控制原理相角條件驗證∴-0.4±j0.7確實是根軌跡上的點對應(yīng)的K1|s-p1||s-p2||s-p3||s-p4|=2.63用試探法可求得其它兩個閉環(huán)極點用驗證58自動控制原理另解：已知兩根59自動控制原理4.3廣義根軌跡參數(shù)根軌跡繪制除K*以外的其它參數(shù)的根軌跡稱為系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡。參數(shù)根軌跡的繪制方法同常規(guī)根軌跡完全相同，但繪圖之前，要對系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程進行簡單處理。設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：

1+G(s)H(s)=0(*)

對上式進行等效變換，可寫成：60自動控制原理其中A為除K*以外，系統(tǒng)任意的變化參數(shù),而P(s)、Q(s)為不含參數(shù)A的多項式。顯然式（*）和式（☆）相等，即：

1+G(s)H(s)=Q(s)+AP(s)=0（★）根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)的具體形式，可得等效單位反饋系統(tǒng)，其等效開環(huán)傳遞函數(shù)為：（☆）61自動控制原理根據(jù)等效開環(huán)傳遞函數(shù)的零點、極點分布，可以繪出A變化時等效系統(tǒng)的根軌跡。這里“等效”的含義僅限閉環(huán)極點相同，而閉環(huán)零點一般不同。如果通過閉環(huán)極點、零點分析系統(tǒng)時，可以采用參數(shù)根軌跡上的閉環(huán)極點，但閉環(huán)零點則必須采用原來的閉環(huán)系統(tǒng)。62自動控制原理例設(shè)位置隨動系統(tǒng)如圖所示。圖中，系統(tǒng)I為比例控制系統(tǒng)，系統(tǒng)II為比例-微分控制系統(tǒng)，系統(tǒng)III為測速反饋控制系統(tǒng)，Ta表示微分器時間常數(shù)或測速反饋系數(shù)。試分析Ta對系統(tǒng)性能的影響，并比較系統(tǒng)II和III在具有相同阻尼比ζ=0.5時的有關(guān)特點。63自動控制原理64自動控制原理兩者具有相同的閉環(huán)極點，（Ta相同時），但是系統(tǒng)II具有閉環(huán)零點（-1/Ta），而系統(tǒng)III不具有閉環(huán)零點。65自動控制原理66自動控制原理67自動控制原理68自動控制原理69自動控制原理由圖可見，對于系統(tǒng)II，由于微分控制反應(yīng)了誤差信號的變化率，能在誤差信號增大之前，提前產(chǎn)生控制作用，因此具有良好的時間響應(yīng)特性，呈現(xiàn)最短的上升時間，快速性較好；對于系統(tǒng)III，由于速度反饋加強了反饋作用，在上述三個系統(tǒng)中，具有最小的超調(diào)量。70自動控制原理如果位置隨動系統(tǒng)承受單位斜坡輸入信號，則同樣可由拉氏反變換法確定它們的單位斜坡響應(yīng)：此時，系統(tǒng)將出現(xiàn)速度誤差，其數(shù)值為和。系統(tǒng)I的速度誤差，可利用終值，系統(tǒng)I~III的斜坡響應(yīng)定理法求出為曲線如下圖所示。71自動控制原理72自動控制原理最后，將位置隨動系統(tǒng)的性能比較結(jié)果，列于下表性能比例式比例-微分式測速反饋式峰值時間3.142.623.62調(diào)節(jié)時間306.16.3超調(diào)量73%24.8%16.3%速度誤差0.20.21.073自動控制原理例：設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為其中開環(huán)增益K可自行選定。試分析時間常數(shù)Ta對系統(tǒng)性能的影響。解：由已知開環(huán)傳遞函數(shù)，可得閉環(huán)特征方程為：，可改寫為：令得等效開環(huán)傳遞函數(shù)

74自動控制原理。如果的分母為高次多項式，時的閉環(huán)特征方程。對于本例，它應(yīng)是

為了繪制參數(shù)根軌跡，需要求出對于本例而言，等效開環(huán)傳遞函數(shù)的極點為：的極點。則應(yīng)采用根軌跡法確定其極點。此時根軌跡方程就是由于K可自行選定，因此可以取K為不同值75自動控制原理然后將的零、極點畫在s平面上，再令從零變到無窮，便可繪出變化時的參數(shù)根軌跡，見下圖。76自動控制原理此圖實際上是K和均可變化的根軌跡簇。由圖可見，時，開環(huán)增益K應(yīng)小于2，否則閉環(huán)系統(tǒng)時，取任何正實值時系統(tǒng)上圖根軌跡簇還給我們指明了這樣的事實：對于給定的開環(huán)增益K，如果增大具有實數(shù)極點，參數(shù)根軌跡如下不穩(wěn)定；當(dāng)都是穩(wěn)定的。值，這相當(dāng)于使可變開環(huán)極點向坐標(biāo)原點方向移動，那么閉環(huán)極點就會向右半s平面方向移動，從而使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變壞。當(dāng)開環(huán)增益時，圖所示：77自動控制原理在繪制參數(shù)根軌跡的時候，所引入的等效開環(huán)傳遞函數(shù)中，常常會出現(xiàn)零點個數(shù)多于極點個數(shù)的情形。78自動控制原理圖中選取K=0.098。由圖可見，取任何而且有可能使系統(tǒng)過渡過程不發(fā)生振蕩。然而，由于開環(huán)增益太小，系統(tǒng)在單位斜坡輸入函數(shù)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差值將至少等于4。值都不會使閉環(huán)系統(tǒng)失去穩(wěn)定，79自動控制原理附加開環(huán)零點的作用在控制系統(tǒng)設(shè)計中，常用附加位置適當(dāng)?shù)拈_環(huán)零點的方法來改善系統(tǒng)性能，因此研究開環(huán)零點變化時根軌跡的變化有很大的實際意義。例：Z為不同值時常規(guī)根軌跡如下圖所示80自動控制原理附加開環(huán)負實數(shù)零點，使根軌跡圖發(fā)生趨向附加零點方向變曲，且這種影響隨開環(huán)零點接近原點的程度而加強，若附加開環(huán)負實部的開環(huán)共軛零點，效果也一樣。以Z為可變參數(shù)的廣義根軌跡等效傳函（閉環(huán)極點相同）即81自動控制原理可見K一定時Z越小(附加零點越靠近原點)，系統(tǒng)穩(wěn)定性越好。82自動控制原理等效開環(huán)傳遞函數(shù)的意義，只是保證閉環(huán)極點相同，而一般地閉環(huán)零點并不一樣，如本例等效系統(tǒng)無零點而原系統(tǒng)有一零點。附加開環(huán)零點的目的，除了要求改善系統(tǒng)穩(wěn)定性而外，還要求對系統(tǒng)的動態(tài)性能有明限顯改善。然而，穩(wěn)定性和動態(tài)性能對附加開環(huán)零點位置的要求，有時并不一致。以P79圖為例，圖（d）對穩(wěn)定性最有利，但對動態(tài)性能的改善卻不利。83自動控制原理為了更好地說明這一問題，請參看P84圖中所示的兩種情況。圖（a）表示的兩種附加開環(huán)負實數(shù)零點z1位于負實極點p2和p3之間的根軌跡上；圖（b）表示z1位于p1和p2之間的根軌跡上。從穩(wěn)定性觀點來看（指穩(wěn)定裕度，見第五章），圖（b）優(yōu)于圖（a），然而從動態(tài)性能觀點來看，卻是圖（a）優(yōu)于圖（b）。在圖（a）中，當(dāng)根軌跡增為K1*時，復(fù)數(shù)極點s1和s2為閉環(huán)主導(dǎo)極點，實數(shù)極點s3距虛軸較遠，為非主導(dǎo)極點。

84自動控制原理85自動控制原理在這種情況下，閉環(huán)系統(tǒng)近似為一個二階系統(tǒng)，其過渡過程由于阻尼比適中而具有不大的超調(diào)量、較快的響應(yīng)速度和不長的調(diào)節(jié)時間，正是設(shè)計一般隨動系統(tǒng)所希望具備的動態(tài)特性。在圖（b）中，實數(shù)極點s3為閉環(huán)主導(dǎo)極點，此時系統(tǒng)等價于一階系統(tǒng)，其動態(tài)過程雖然可能是單調(diào)的，但卻具有較慢的響應(yīng)速度和較長的調(diào)節(jié)時間。86自動控制原理與第三章有關(guān)零極點對系統(tǒng)動態(tài)性能影響的結(jié)論有矛盾閉環(huán)零點的作用是減少峰值時間tp閉環(huán)零點會減小系統(tǒng)阻尼87自動控制原理閉環(huán)零點靠近虛軸→Q↑→ts↑88自動控制原理前已指出可以用附加零點的方法改善系統(tǒng)性能，在物理上常用一個無源超前網(wǎng)絡(luò)來實現(xiàn)，但這同時又增加了一個極點，這時附加極點對系統(tǒng)性能的影響也是設(shè)計者關(guān)心的問題。因此需要研究開環(huán)極點變化時廣義根軌跡的繪制。89自動控制原理例：，試?yán)L制a為參變量的根軌跡。解：整理得：可見對于固定的K1，當(dāng)a增大到一定值后系統(tǒng)是穩(wěn)定的，可以用勞斯判據(jù)求a臨界穩(wěn)定值

即時系統(tǒng)穩(wěn)定為臨界穩(wěn)定值90自動控制原理91自動控制原理以下用常規(guī)根軌跡分析：引入開環(huán)負數(shù)極點使根軌跡向右半S平面變曲，且隨極點向原點靠近，作用越強，從穩(wěn)定性角度看，負實數(shù)極點應(yīng)遠離原點92自動控制原理零度根軌跡在有些系統(tǒng)中，內(nèi)環(huán)是一個正反饋回路，這時繪制根軌跡的條件與規(guī)則與上述繪制根軌跡的方法有區(qū)別。局部正反饋系統(tǒng)如圖示：93自動控制原理繪制正反饋回路根軌跡條件正反饋回路閉環(huán)傳函：相應(yīng)特征方程為：即則繪制根軌跡的條件為：幅值條件相角條件可見該條件與負反饋系統(tǒng)根軌跡條件區(qū)別是相角條件不同，常稱之為零度根軌跡。94自動控制原理繪制零度根軌跡規(guī)則根軌跡的連續(xù)性和對稱性根軌跡的分支數(shù)，起點和終點實軸上有根軌跡的線段是該線段右邊開環(huán)零極點數(shù)之和為偶數(shù)n-m

條漸近線傾角根軌跡漸近線與實軸交點95自動控制原理根軌跡分離點滿足：根軌跡出射角：根軌跡入射角：根軌跡與虛軸交點96自動控制原理97自動控制原理98自動控制原理99自動控制原理由于K=K*/3，于是臨界開環(huán)增益Kc=1。因此，為了使該正反饋系統(tǒng)穩(wěn)定，開環(huán)增益應(yīng)小于1。100自動控制原理4-4系統(tǒng)性能的分析閉環(huán)零極點與時間響應(yīng)系統(tǒng)閉環(huán)極點如果全部處在S平面的左半面，則系統(tǒng)穩(wěn)定（絕對穩(wěn)定）設(shè)某高階系統(tǒng)有一對共軛閉環(huán)極點Si=-zwn±jwd，它對應(yīng)的階躍響應(yīng)分量為：各參數(shù)之間關(guān)系如右圖如果：Re(Si)=-zwn<0,當(dāng)t→∞時該極點對應(yīng)的階躍響應(yīng)分量將趨于零。101自動控制原理極點在虛軸上（臨界狀態(tài)），其實部為零，階躍響應(yīng)分量呈等幅振蕩,極點離實軸越遠，wd越大，振蕩頻率越大極點在負實軸上，wd=0,該極點對應(yīng)的階躍響應(yīng)分量不會震蕩（單調(diào)）極點離虛軸越遠，|-zwn|越大，衰減越快，反之，極點離虛軸近，|-zwn|小，階躍響應(yīng)中該分量衰減就慢，對過渡過程的時間影響大。102自動控制原理極點離實軸越遠，wd

越大，振蕩頻率越大極點在左半平面但不在負實軸上，wd≠0,該極點對應(yīng)的階躍響應(yīng)分量會振蕩,因為-zwn<0,振蕩幅值隨時間衰減,當(dāng)t→∞時該分量將趨于零主導(dǎo)極點定義:如果高階系統(tǒng)中距離虛軸最近的極點，其實部比其他極點的實部的1/5還要小，并且，該極點附近沒有零點，則可以認(rèn)為系統(tǒng)的響應(yīng)主要由該極點決定。這些對系統(tǒng)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的極點，稱為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點103自動控制原理零極點抵消當(dāng)Zj=Pi時，零極點相消，該極點將不起作用。此時的零極點對稱為偶極子零極點沒有相消，但如果零點很靠近極點，它將影響該響應(yīng)分量的系數(shù)，即，影響該極點所決定的階躍響應(yīng)分量的初始值的大小?？康迷浇?，影響越大。當(dāng)不存在零極點相消時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅由系統(tǒng)的極點決定104自動控制原理例

如下式為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，應(yīng)用閉環(huán)主導(dǎo)極點的概念估算系統(tǒng)性能。

解：系統(tǒng)存在一對共軛復(fù)數(shù)極點，一個負實數(shù)極點s3=-3.53，因為，且S1,2沒有與其它零點構(gòu)成偶極子（此例不存在閉環(huán)零點），所以S1,2被視為閉環(huán)主導(dǎo)極點，忽略非主導(dǎo)極點后,閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

可見原三階系統(tǒng)近似為二階系統(tǒng)，與典型二階系統(tǒng)相比得:105自動控制原理則特征參數(shù):ωn=0.67ξ=0.49

單位階躍響應(yīng)時的超調(diào)