2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)精準(zhǔn)研析2.8函數(shù)與方程文含解析北師大版

PAGE9-函數(shù)與方程核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一推斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間

1.已知實(shí)數(shù)a>1,0<b<1,則函數(shù)f(x)=ax+x-b的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 ()A.(-2,-1) B.(-1,0)C.(0,1) D.(1,2)2.設(shè)函數(shù)f(x)=13x-lnx,則函數(shù)A.在區(qū)間1e,B.在區(qū)間1e,C.在區(qū)間1e,1內(nèi)有零點(diǎn),D.在區(qū)間1e,1內(nèi)無(wú)零點(diǎn),3.(2024·揚(yáng)州模擬)設(shè)函數(shù)y=x2與y=12x-2的圖像交點(diǎn)為(x0,y0),則A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)4.若a<b<c,則函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間 ()A.(a,b)和(b,c)內(nèi) B.(-∞,a)和(a,b)內(nèi)C.(b,c)和(c,+∞)內(nèi) D.(-∞,a)和(c,+∞)內(nèi)【解析】1.選B.因?yàn)閍>1,0<b<1,f(x)=ax+x-b,所以f(-1)=1a-1-b<0,f(0)=1-b>0,由零點(diǎn)存在性定理可知f(x)在區(qū)間(-1,0)上存在零點(diǎn)2.選D.令f(x)=0得13x=lnx.作出函數(shù)y=1明顯y=f(x)在1e3.選B.因?yàn)楹瘮?shù)y=x2與y=12x-2的圖像交點(diǎn)為(x0,y0),則x0是方程x2=12因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(2)=22-1=3>0,f(1)=1-2=-1<0,所以f(1)·f(2)<0.由零點(diǎn)存在性定理可知,方程的解在(1,2)內(nèi).4.選A.因?yàn)閍<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知:在區(qū)間(a,b),(b,c)內(nèi)分別存在零點(diǎn),又函數(shù)f(x)是二次函數(shù),最多有兩個(gè)零點(diǎn);因此函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a,b),(b,c)內(nèi).確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理.(2)數(shù)形結(jié)合法.【秒殺絕技】用特別值法可解T2.考點(diǎn)二確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

【典例】1.函數(shù)f(x)=|x-2|-lnx零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ()A.0 B.1 C.2 D.32.(2024·全國(guó)卷Ⅲ)函數(shù)f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.2 B.3 C.4 D.53.已知函數(shù)y=f(x)是周期為2的周期函數(shù),且當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)=2|x|-1,則函數(shù)F(x)=f(x)-|lgx|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)()A.9 B.10 C.11 D.18【解題導(dǎo)思】序號(hào)聯(lián)想解題1由f(x)=|x-2|-lnx的零點(diǎn),想到|x-2|=lnx.2由f(x)=2sinx-sin2x,想到化簡(jiǎn),令f(x)=0求sinx與cosx的值.3由F(x)=f(x)-|lgx|的零點(diǎn)個(gè)數(shù),想到f(x)=|lgx|.【解析】1.選C.作出函數(shù)y=|x-2|與g(x)=lnx的圖像,如圖所示.由圖像可知兩個(gè)函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn).2.選B.令f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx(1-cosx)=0,則sinx=0或cosx=1,又x∈[0,2π],所以x=0,π,2π,共三個(gè)零點(diǎn).3.選B.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)與y=|lgx|的大致圖像如圖,由圖像可知,它們共有10個(gè)不同的交點(diǎn),因此函數(shù)F(x)=f(x)-|lgx|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是10.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的推斷方法(1)干脆求零點(diǎn).(2)利用零點(diǎn)存在性定理再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).(3)利用函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)推斷.1.函數(shù)f(x)=3x+x3-2在區(qū)間(0,1)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ()A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選B.由題意知f(x)單調(diào)遞增,且f(0)=1+0-2=-1<0,f(1)=3+1-2=2>0,即f(0)·f(1)<0且函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)連綿不斷,所以f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).2.(2024·上饒模擬)已知函數(shù)f(x)=2-|x|,x≤2A.2 B.3 C.4 D.5【解析】選A.由已知條件可得g(x)=3-f(2-x)=|x由圖可知函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖像有2個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.3.已知f(x)=|lgx|,x>0,2|【解析】由2[f(x)]2-3f(x)+1=0得f(x)=12或f(x)=1,作出函數(shù)y=f(x)的圖像由圖像知y=12因此函數(shù)y=2[f(x)]2-3f(x)+1的零點(diǎn)有5個(gè).答案:5考點(diǎn)三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用

命題精解讀1.考什么:(1)由函數(shù)的零點(diǎn)有無(wú)、個(gè)數(shù)求參數(shù)值或范圍、圖像的交點(diǎn)、解方程、解不等式等問題.(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).2.怎么考:多以選擇、填空題的形式考查.3.新趨勢(shì):以函數(shù)圖像與性質(zhì)為載體,圖像與性質(zhì)、數(shù)與形、求參數(shù)值或范圍交匯考查.學(xué)霸好方法已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)值或取值范圍常用的方法和思路:(1)干脆法:干脆依據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式,再通過(guò)解不等式確定參數(shù)的取值范圍.(2)分別參數(shù)法:將參數(shù)分別,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域的問題加以解決.(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)的圖像,然后數(shù)形結(jié)合求解.由零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)值或范圍【典例】已知函數(shù)f(x)=ex,x≤0,lnx,x>0,g(x)=f(x)+x+a.A.[-1,0) B.[0,+∞)C.[-1,+∞) D.[1,+∞)【解析】選C.畫出函數(shù)f(x)的圖像,y=ex在y軸右側(cè)的圖像去掉,再畫出直線y=-x,并上下移動(dòng),可以發(fā)覺當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)(0,1)時(shí),直線與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn),并且向下可以無(wú)限移動(dòng),都可以保證直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),即方程f(x)=-x-a有兩個(gè)解,也就是函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),此時(shí)滿意-a≤1,即a≥-1.已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題的關(guān)鍵是什么?提示:關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù),或兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題,再去求解.由函數(shù)有無(wú)零點(diǎn)求參數(shù)【典例】若函數(shù)f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零點(diǎn),所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解,即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解.方程a=4x-2x可變形為a=2x-1因?yàn)閤∈[-1,1],所以2x∈12令2x=t,t∈12,2,a=t-122-14,0≤t-12≤32,0≤t所以a=t-122-所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1答案:-函數(shù)有(或無(wú))零點(diǎn)如何求參數(shù)的范圍?提示:先分別參數(shù),再依據(jù)有(或無(wú))零點(diǎn)得出等式(或不等式),最終得出結(jié)論.與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的比較大小【典例】(2024·承德模擬)已知a是函數(shù)f(x)=2x-log12x的零點(diǎn),若0<x0<a,則f(x0)世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)A.f(x0)=0 B.f(x0)>0C.f(x0)<0 D.f(x0)的符號(hào)不確定【解析】選C.在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=2x,y=log12x的圖像,由圖像可知,當(dāng)0<x0<a時(shí),有2x0<log12x與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的函數(shù)值如何比較大小?提示:在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出圖像,依據(jù)圖像所處的上下位置確定.1.若函數(shù)f(x)=|2x-4|-a存在兩個(gè)零點(diǎn),且一個(gè)為正數(shù),另一個(gè)為負(fù)數(shù),則a的取值范圍為 ()A.(0,4) B.(0,+∞)C.(3,4) D.(3,+∞)【解析】選C.令g(x)=|2x-4|,其圖像如圖所示,若f(x)=|2x-4|-a存在兩個(gè)零點(diǎn),且一個(gè)為正數(shù),另一個(gè)為負(fù)數(shù),則a∈(3,4).2.已知函數(shù)f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零點(diǎn)分別為a,b,c,則a,b,c的大小依次為 ()A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.b>a>c【解析】選B.在同始終角坐標(biāo)系中畫出y=2x,y=log2x,y=x3與y=-x的圖像,前3個(gè)圖像與y=-x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為a,b,c.如圖,可知b>c>a.故選B.3.已知函數(shù)f(x)=2x,0≤x≤1,1x,x>1.A.54,9C.54,94∪{1} 【解析】選D.作出函數(shù)f(x)=2x,以及直線y=-14關(guān)于x的方程f(x)=-14x+a(a∈R)恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解,即為y=f(x)和y=-14x+a(a兩個(gè)交點(diǎn),平移直線y=-14x,考慮直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2)和(1,1)時(shí),有兩個(gè)交點(diǎn),可得a=94或a=考慮直線y=-14x+a(a∈R)與y=1x在x>1時(shí)相切,ax-14x2=1,由Δ所以a的取值范圍是54,91.(2024·包頭模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx+3x-8的零點(diǎn)x0∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N*,則a+b= ()A.0 B.2 C.5 D.7【解析】選C.因?yàn)閒(2)=ln2+6-8=ln2-2<0,f(3)=ln3+9-8=ln3+1>0,