2025年中考數(shù)學幾何模型歸納訓練專題06三角形中的倒角模型之平行線+拐點模型解讀與提分精練（全國版）

專題06三角形中的倒角模型之平行線+拐點模型近年來各地中考中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。平行線+拐點模型在初中數(shù)學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就平行線+拐點模型（豬蹄模型(M型)、鉛筆頭模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉化。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.豬蹄模型（M型與鋸齒型） 2模型2.鉛筆頭模型 3模型3.牛角模型 4模型4.羊角模型 4模型5.蛇形模型（“5”字模型） 5 6模型1.豬蹄模型（M型與鋸齒型）先說說這個名字的由來，為什么叫豬蹄模型呢？因為它長得像豬蹄，也有叫M模型或鋸齒模型的，都是根據(jù)外形來取的，只要你喜歡，叫什么都無所謂，掌握其中的核心才是關鍵。。①注意：拐角為左右依次排列；②若出現(xiàn)不是依次排列的，應進行拆分。圖1圖2圖3條件：如圖1，①已知：AM∥BN，結論：∠APB=∠A+∠B；②條件：∠APB=∠A+∠B，結論：AM∥BN.證明：如圖1，過點P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．條件：如圖2，已知：AM∥BN，結論：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.證明：根據(jù)圖1中結論可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，條件：如圖3，已知：AM∥BN，結論：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.證明：由圖2的規(guī)律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2024·山西·二模）如圖是一種衛(wèi)星接收天線的軸截面示意圖，衛(wèi)星波束與平行射入接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點處，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例2．（2024九年級下·遼寧·學業(yè)考試）如圖，，，則的度數(shù)為．例3．（2023春·河南駐馬店·九年級專題練習）已知，，，若，則為（

）A．23° B．33° C．44° D．46°例4．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預測）北京冬奧會掀起了滑雪的熱潮，谷愛凌的勵志故事也激勵著我們青少年，很多同學紛紛來到滑雪場，想親身感受一下奧運健兒在賽場上風馳電掣的感覺，但是第一次走進滑雪場的你，如果不想體驗人仰馬翻的感覺，學會正確的滑雪姿勢是最重要的，正確的滑雪姿勢是上身挺直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，，當人腳與地面的夾角時，求出此時上身與水平線的夾角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例5．（23-24七年級下·廣東云浮·期末）小明學習了角平分線的定義以及平行線的判定與性質的相關知識后，對角之間的關系進行了拓展探究．如圖，直線，直線是直線，的第三條截線，，分別是，的平分線，并且相交于點K．問題解決：（1），的平分線，所夾的的度數(shù)為______；問題探究：（2）如圖2，，的平分線相交于點，請寫出與之間的等量關系，并說明理由；拓展延伸：（3）在圖3中作，的平分線相交于點K，作，的平分線相交于點，依此類推，作，的平分線相交于點，求出的度數(shù)．

例6．（2024·上海·八年級?？计谥校┮阎?，直線AB∥CD。（1）如圖（1），點G為AB、CD間的一點，聯(lián)結AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（2）如圖（2），點G為AB、CD間的一點，聯(lián)結AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（3）如圖（3），寫出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關系？直接寫出結論．模型2.鉛筆頭模型（子彈模型）因為它長得像鉛筆頭或，也有叫子彈模型的，都是根據(jù)外形來取的，叫什么都無所謂，掌握其中的核心才是關鍵。①注意拐角朝同一方向②若出現(xiàn)拐角不朝同一方向的，應進行拆分.圖1圖2圖3條件：如圖1，已知：AM∥BN，結論：∠1+∠2+∠3=360°；（該結論和條件互換結果任然成立）。證明：在圖2中，過P作AM的平行線PF，∵AB∥CD，∴PF∥CD，∴∠1+∠APF＝180°，∠3+∠CPF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；條件：如圖2，已知：AM∥BN，結論：∠1+∠2+∠3+∠4=540°證明：在圖2中，過P1作AM的平行線P1E，過點P2作AM的平行線P2F，∵AB∥CD，∴P1E∥BN∥P2F，∴∠1+∠AP1E＝180°，∠P2P1E+∠P1P2F＝180°，∠FP2B+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；條件：如圖3，已知：AM∥BN，結論：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.證明：在圖3中，過各角的頂點依次作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補以及上述規(guī)律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．例1．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，平行于主光軸的光線和經(jīng)過凸透鏡的折射后，折射光線和折射光線交主光軸于點P，若，，則°．例2．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，直線，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例3．（2023下·江蘇南通·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，點E，F(xiàn)分別是直線上的兩點，點P在直線和之間，連接和的平分線交于點Q，下列等式正確的是（）

A． B． C． D．例4．（2023上·廣東廣州·八年級?？奸_學考試）如圖①所示，四邊形為一張長方形紙片．如圖②所示，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（、、），則（度）；（1）如圖③所示，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（、、、），則（度）；（2）如圖④所示，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（、、、、），則（度）；（3）根據(jù)前面的探索規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個角，那么這個角的和是（度）．

例5．（2023下·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期中）從特殊到一般是數(shù)學研究的常用方法，有助于我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探索問題的解．

(1)如圖1，，點E為、之間的一點．求證：．(2)如圖2，，點E、F、G、H為、之間的四點．則______．(3)如圖3，，則______．模型3.牛角模型因為它長得像犀牛角，故取名牛角模型。圖1圖2條件：如圖1，已知：AB∥CD，且∠E＝，∠ABE＝，∠CDE＝，結論：.證明：如圖，延長AB交DE于點F，∵AB∥CD，∴∠BFE＝∠CDF＝，∵∠ABE＝∠BFE+∠E（外角定理），∴∠ABE＝∠CDF+∠E，∴；條件：如圖2，已知：AB∥CD，且∠E＝，∠ABE＝，∠CDE＝，結論：.證明：如圖，延長AB交DE于點F，∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠CDF＝，∴∠BFE＝180°-∠BFD＝180°-，∵∠ABE＝∠E+∠BFE（外角定理），∴∠ABE＝∠E+180°-∠BFD，∴；例1．（2024·山西·模擬預測）抖空竹是一種傳統(tǒng)雜技節(jié)目，是國家級非物質文化遺產(chǎn)之一．如圖1是某同學“抖空竹”的一個瞬間，若將其抽象成圖2的數(shù)學問題：在平面內(nèi)，已知，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例2．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考二模）如圖，若，則（

）A． B． C． D．例3．（2022·湖北洪山·七年級期中）如圖，已知AB∥CD，P為直線AB，CD外一點，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延長線交DE于點E，若∠FED＝a，試用a表示∠P為______．例4．（2023春·廣東深圳·九年級校?？计谥校┮阎本€，點為直線，所確定的平面內(nèi)的一點，(1)問題提出：如圖1，，．求的度數(shù)：(2)問題遷移：如圖2，寫出，，之間的數(shù)量關系，并說明理由：(3)問題應用：如圖3，，，，求的值．例5．（2023下·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）如圖，．

(1)如圖，求證；(2)如圖，點在上，平分，交于點，探究的數(shù)量關系，并證明你的結論；(3)在（2）的條件下，如圖交延長線于點，求的度數(shù)．模型4.羊角模型因長像酷似山羊角，故取名羊角模型。圖1圖2條件：如圖1，已知：AB∥DE，且∠C＝，∠B＝，∠D＝，結論：.證明：∵AB∥DE，∴∠AFC＝∠D＝，∵∠AFC＝∠B+∠C（外角定理），∴∠D＝∠B+∠C，∴；條件：如圖2，已知：AB∥DE，且∠C＝，∠B＝，∠D＝，結論：.證明：∵AB∥CD，∴∠BFD+∠D＝180°∴∠BFD＝180°-∠D＝180°-，∵∠BFD＝∠B+∠C（外角定理），∴180°-∠D＝∠B+∠C，∴；例1．（2024·重慶江津·模擬預測）如圖，已知，如果，，那么的度數(shù)為．

例2．（2024·山東濟南·中考真題）如圖，已知，是等腰直角三角形，，頂點分別在上，當時，．例3．（2023·河南·統(tǒng)考三模）如圖，已知，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例4．（23-24七年級下·湖北武漢·期末）如圖，的角平分線交的角平分線的反向延長線于點P，直線交于點N，若，則°例5．（2023七年級下·江蘇·專題練習）已知．(1)如圖1，求證：；(2)若F為直線、之間的一點，，平分交于點G，交于點C．①如圖2，若，且，求的度數(shù)；②如圖3，若點K在射線上，且滿足，若，，直接寫出的度數(shù)．模型5.蛇形模型（“5”字模型）因模型像一條彎曲的水蛇，故取名蛇形模型。圖1圖2條件：如圖1，已知：AB∥DE，∠C＝，∠B＝，∠D＝，結論：.證明：在圖2中，過C作AB的平行線CF，∴∠BCF＝∠B，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD+∠D＝180°，∴∠BCF+∠FCD+∠D＝∠B+180°，∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴.條件：如圖2，已知：AB∥DE，∠C＝，∠B＝，∠D＝，結論：.證明：在圖2中，過C作AB的平行線CF，∴∠B+∠BCF＝180°，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＝∠D，∴∠B+∠BCF+∠FCD＝∠D+180°，∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴.例1．（2023·四川廣元·統(tǒng)考三模）珠江流域某江段江水流向經(jīng)過B、C、D三點，拐彎后與原來方向相同，如圖，若，則等于（

）A．50° B．40° C．30° D．20°例2．（23-24七年級下·遼寧葫蘆島·期末）如圖，，的角平分線的反向延長線和的角平分線交于點F，，則．例3．（23-24七年級下·湖北鄂州·期中）如圖，已知點，，不在同一條直線上，．(1)求證；(2)如圖2，，分別為三等分、所在直線，，，試探究與的數(shù)量關系；(3)如圖3，在（2）的前提下，且有，直線、交于點，，請直接寫出_________．例4．（23-24七年級下·廣東廣州·期末）如圖，，．(1)如果，求的度數(shù)；設，，直接寫出、之間的數(shù)量關系：；(2)如圖，、的角平分線交于點，當?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若，點為射線上的一個動點，過點作交直線于點，連接．已知，求的度數(shù)．1．（2023·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期中）如圖，若，，，則的度數(shù)是（）A．115° B．130° C．140° D．150°2．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預測）如圖，這是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行若，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．3．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，直線．若，，則（

）A． B． C． D．4．（2024·廣東深圳·模擬預測）抖空竹是我國的傳統(tǒng)體育，也是國家級非物質文化遺產(chǎn)之一．明代《帝京景物略》一書中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見抖空竹在民間流行的歷史至少在年以上．如圖，通過觀察抖空竹發(fā)現(xiàn)，可以將某一時刻的情形抽象成數(shù)學問題：，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（2023·廣東佛山·模擬預測）如圖，若，，，，那么的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．6．（24-25九年級上·湖北·課后作業(yè)）①如圖①，，則；②如圖②，，則；③如圖③，，則；④如圖④，直線，點在直線上，則．以上結論正確的是（

）A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．②③④7．（2024·江蘇徐州·模擬預測）如圖，是某款嬰兒車的幾何示意圖，若，，，則的度數(shù)是°．8．（23-24七年級下·浙江杭州·期中）如圖，，的角平分線的反向延長線和的角平分線交于點，，則．9．（23-24七年級下·江蘇無錫·期中）如圖，，為上方一點，、分別為、上的點，、的角平分線交于點，的角平分線與的延長線交于點，若，，則的度數(shù)等于．10．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，兩直線、平行，則．11．（2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·七年級?？计谥校﹩栴}探究：如下面四個圖形中，ABCD．（1）分別說出圖1、圖2、圖3、圖4中，∠1與∠2、∠3三者之間的關系．（2）請你從中任選一個加以說明理由．解決問題：（3）如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面，從位于O點的燈泡發(fā)出兩束光線OB、OC經(jīng)燈碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．12．（2023春·湖北黃岡·七年級?？计谥校┤鐖D，已知：點A、C、B不在同一條直線，

(1)求證：：(2)如圖②，分別為的平分線所在直線，試探究與的數(shù)量關系；(3)如圖③，在（2）的前提下，且有，直線交于點P，，直接寫出．13．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知：，點在上，點、在上，點在、之間，連接、、，，，垂足為點．(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，平分，平分，、交于點，求的度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，平分交于點，若，與所在直線交于點，若射線從射線的位置開始繞著點逆時針以每秒的速度進行旋轉，射線交直線于點，旋轉時間為秒，當為何值時，第一次與平行？并求此時的度數(shù)．14．（24-25八年級上·四川瀘州·開學考試）（1）如圖1，已知，，，則求的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）的條件下，平分，平分，則的度數(shù)．（3）如圖2，已知，平分，平分，．當點P、M在直線AC同側時，直接寫出與的數(shù)量關系：；（4）如圖3，已知，平分，平分．當點P、M在直線異側時，直接寫出與的數(shù)量關系：．15．（23-24七年級下·河北邯鄲·期中）已知，直線，點為平面上一點，連接與．(1)如圖1，點在直線之間，當，時，求的度數(shù)．(2)如圖2，點在直線之間，與的角平分線相交于點，寫出與之間的數(shù)量關系，并說明理由．(3)如圖3，點落在下方，與的角平分線相交于點，請直接寫出與的數(shù)量關系．16．（23-24七年級下·湖北武漢·期中），點E、F分別在、上；點O在直線、之間，且(1)如圖1，①若，求的度數(shù)；②若，請你直接寫出________；(2)如圖2，直線分別交、的角平分線于點M、N，求的值(3)如圖3，在內(nèi)，；在內(nèi)，，直線分別交、分別于點M、N，且，直接寫出m的值17．（23-24七年級下·遼寧大連·期末）【問題初探】（1）數(shù)學活動課上，李老師和同學們共同探究平行線的作用．李老師給出如下問題：，點為下方一點，連接，得到，試探究與的數(shù)量關系．（1）小紅的做法是：如圖2，過點作．（2）小明的做法是：如圖3，設交于點，過點作．請你選擇一名同學的做法，寫出證明過程．【歸納總結】（2）李老師和同學們發(fā)現(xiàn)，在解決題目的過程中，都運用了作平行線的方法，平行線起到了構造等角的作用．為了幫助學生更好的體會平行線的作用，李老師提出了下面問題，請你解答．如圖4，直線，點在之間，點在下方，連．延長至和的角平分線相交于點．探究與的數(shù)量關系；【學以致用】（3）如圖5，和的角平分線相交于點．作平分交的延長線于點，若，求的度數(shù)．18．（22-23七年級下·湖北武漢·階段練習）【問題背景】如圖1，，點P，Q位于兩側，連接，，，，直接寫出①，，的數(shù)量關系為______；②，，的數(shù)量關系為______；【嘗試應用】如圖2，在（1）的條件下，作，的角平分線交于點M，若與互補，試寫出與的數(shù)量關系，并證明：（【問題背景】中相關結論可以直接使用）【拓展創(chuàng)新】如圖3，，點M，N位于左側，作，的角平分線交于點P，；若，直接寫出的度數(shù)是______．19．（23-24七年級下·重慶·期中）已知點A，B，C不在同一條直線上，．(1)如圖①，求證：；(2)如圖②，分別為，的角平分線所在的直線，，求的度數(shù)．(3)如圖③，分別為，的角平分線所在的直線，延長交直線于點P，且，，直接寫出的值為．20．（23-24七年級下·湖北武漢·期中）【問題原型】如圖①和②，，點M在如圖所在位置，請分別寫出圖①和②中、、之間的關系并選擇一個結論進行證明；【推廣應用】（1）如圖，，鄰補角的平分線與的角平分線相交于點N，試探究、的數(shù)量關系并寫出證明過程；（2）如圖，，和的三等分角線交于點M，，，，求的度數(shù)．

專題06三角形中的倒角模型之平行線+拐點模型近年來各地中考中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。平行線+拐點模型在初中數(shù)學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就平行線+拐點模型（豬蹄模型(M型)、鉛筆頭模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉化。TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.豬蹄模型（M型與鋸齒型） 2模型2.鉛筆頭模型 3模型3.牛角模型 4模型4.羊角模型 4模型5.蛇形模型（“5”字模型） 5 6模型1.豬蹄模型（M型與鋸齒型）先說說這個名字的由來，為什么叫豬蹄模型呢？因為它長得像豬蹄，也有叫M模型或鋸齒模型的，都是根據(jù)外形來取的，只要你喜歡，叫什么都無所謂，掌握其中的核心才是關鍵。。①注意：拐角為左右依次排列；②若出現(xiàn)不是依次排列的，應進行拆分。圖1圖2圖3條件：如圖1，①已知：AM∥BN，結論：∠APB=∠A+∠B；②條件：∠APB=∠A+∠B，結論：AM∥BN.證明：如圖1，過點P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．條件：如圖2，已知：AM∥BN，結論：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.證明：根據(jù)圖1中結論可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，條件：如圖3，已知：AM∥BN，結論：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.證明：由圖2的規(guī)律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1例1．（2024·山西·二模）如圖是一種衛(wèi)星接收天線的軸截面示意圖，衛(wèi)星波束與平行射入接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點處，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了利用平行線的性質求角的度數(shù)，作，則，結合得出，推出，最后由，即可得解．【詳解】解：如圖，作，則，，，，，故選：B．例2．（2024九年級下·遼寧·學業(yè)考試）如圖，，，則的度數(shù)為．【答案】/80度【分析】本題考查了平行線的性質、等邊對等角等知識點，作可得；根據(jù)即可求解.【詳解】解：作，如圖所示：∵，∴∵∴∴∵∴故答案為：例3．（2023春·河南駐馬店·九年級專題練習）已知，，，若，則為（

）A．23° B．33° C．44° D．46°【答案】C【分析】如圖（見解析），先根據(jù)平行線的性質、角的和差可得，同樣的方法可得，再根據(jù)角的倍分可得，由此即可得出答案．【詳解】如圖，過點E作，則，∴，，同理可得：，，∴，，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質、角的和差倍分，熟練掌握平行線的性質是解題關鍵．例4．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預測）北京冬奧會掀起了滑雪的熱潮，谷愛凌的勵志故事也激勵著我們青少年，很多同學紛紛來到滑雪場，想親身感受一下奧運健兒在賽場上風馳電掣的感覺，但是第一次走進滑雪場的你，如果不想體驗人仰馬翻的感覺，學會正確的滑雪姿勢是最重要的，正確的滑雪姿勢是上身挺直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，，當人腳與地面的夾角時，求出此時上身與水平線的夾角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】延長交直線于點，利用平行線的性質得出，再由兩直線平行，內(nèi)錯角相等即可得出結果．【詳解】解：延長交直線于點，，，

根據(jù)題意得，，故選：A．【點睛】題目考查平行線的性質，理解題意，熟練掌握運用平行線的性質是解題關鍵．例5．（23-24七年級下·廣東云浮·期末）小明學習了角平分線的定義以及平行線的判定與性質的相關知識后，對角之間的關系進行了拓展探究．如圖，直線，直線是直線，的第三條截線，，分別是，的平分線，并且相交于點K．

問題解決：（1），的平分線，所夾的的度數(shù)為______；問題探究：（2）如圖2，，的平分線相交于點，請寫出與之間的等量關系，并說明理由；拓展延伸：（3）在圖3中作，的平分線相交于點K，作，的平分線相交于點，依此類推，作，的平分線相交于點，求出的度數(shù)．【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）【分析】本題考查利用平行線的性質和平行公理的推論探究角的關系(拐點問題)，角平分線的相關計算等知識，掌握平行線的性質是解題的關鍵．（1）證明過點K作，則，利用平行線的性質推出，繼而推出，從而得到；（2）與（1）同理可得：，繼而得解；（3）由（2）得，同理得，，繼而總結規(guī)律得，從而得解．【詳解】解：（1）如圖，過點K作，則，∴，

∵，分別是，的平分線，并且相交于點K，∴，∴，∴，故答案為：．（2）．理由：如圖，過點作．，，，，．，的平分線相交于點，，，．由（1），知，．（3）由（2），可知．同理，可得，，……．當時，．例6．（2024·上海·八年級?？计谥校┮阎本€AB∥CD。（1）如圖（1），點G為AB、CD間的一點，聯(lián)結AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（2）如圖（2），點G為AB、CD間的一點，聯(lián)結AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，則∠AGC的度數(shù)是多少？（3）如圖（3），寫出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關系？直接寫出結論．【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【分析】（1）過點G作GE∥AB，利用平行線的性質即可進行轉化求解．（2）過點G作GF∥AB，利用平行線的性質即可進行轉化求解．（3）過點E作EM∥AB，過點F作FN∥AB，過點G作GQ∥CD，利用平行線的性質即可進行轉化找到角的關系．【詳解】解：（1）如圖，過點G作GE∥AB，∵AB∥GE，∴∠A+∠AGE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．∵∠A=140°，∴∠AGE=40°．∵AB∥GE，AB∥CD，∴GE∥CD．∴∠C+∠CGE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．∵∠C=150°，∴∠CGE=30°．∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°．（2）如圖，過點G作GF∥AB∵AB∥GF，∴∠A=AGF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．∵AB∥GF，AB∥CD，∴GF∥CD．∴∠C=∠CGF．∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C．∵∠A=x°，∠C=y°，∴∠AGC=（x+y）°．（3）如圖所示，過點E作EM∥AB，過點F作FN∥AB，過點G作GQ∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD．∴∠BAE=∠AEM，∠MEF=∠EFN，∠NFG=∠FGQ，∠QGC=∠GCD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．∴∠AEF=∠BAE+∠EFN，∠FGC=∠NFG+GCD．∵∠EFN+∠NFG=∠EFG，∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【點睛】本題考查平行線的判定與性質，本題構造輔助線利用平行線的傳遞性結合平行線性質是解題關鍵．模型2.鉛筆頭模型（子彈模型）因為它長得像鉛筆頭或，也有叫子彈模型的，都是根據(jù)外形來取的，叫什么都無所謂，掌握其中的核心才是關鍵。①注意拐角朝同一方向②若出現(xiàn)拐角不朝同一方向的，應進行拆分.圖1圖2圖3條件：如圖1，已知：AM∥BN，結論：∠1+∠2+∠3=360°；（該結論和條件互換結果任然成立）。證明：在圖2中，過P作AM的平行線PF，∵AB∥CD，∴PF∥CD，∴∠1+∠APF＝180°，∠3+∠CPF＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；條件：如圖2，已知：AM∥BN，結論：∠1+∠2+∠3+∠4=540°證明：在圖2中，過P1作AM的平行線P1E，過點P2作AM的平行線P2F，∵AB∥CD，∴P1E∥BN∥P2F，∴∠1+∠AP1E＝180°，∠P2P1E+∠P1P2F＝180°，∠FP2B+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；條件：如圖3，已知：AM∥BN，結論：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.證明：在圖3中，過各角的頂點依次作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補以及上述規(guī)律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．例1．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，平行于主光軸的光線和經(jīng)過凸透鏡的折射后，折射光線和折射光線交主光軸于點P，若，，則°．【答案】45【分析】根據(jù)平行線的性質和對頂角的性質即可得到結論．此題主要考查了平行線的性質，準確識圖，熟練掌握平行線的性質是解決問題的關鍵．【詳解】解：，，，又，，，，，．故答案為：45．例2．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，直線，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質，根據(jù)，得出，結合，代入數(shù)值進行計算，即可作答．【詳解】解：如圖：∵∴則∵∴故選：D例3．（2023下·江蘇南通·七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，點E，F(xiàn)分別是直線上的兩點，點P在直線和之間，連接和的平分線交于點Q，下列等式正確的是（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過點P作，過點Q作，可得，從而得到，，，進而得到，再由角平分線的定義可得，即可求解．【詳解】解：如圖，過點P作，過點Q作，

∵，∴，∴，，，∴，∵和的平分線交于點Q，∴，∴，∵，∴．故選：A．【點睛】本題考查平行線的性質，平行公理的推論，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質是解題關鍵．例4．（2023上·廣東廣州·八年級?？奸_學考試）如圖①所示，四邊形為一張長方形紙片．如圖②所示，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（、、），則（度）；（1）如圖③所示，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（、、、），則（度）；（2）如圖④所示，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（、、、、），則（度）；（3）根據(jù)前面的探索規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個角，那么這個角的和是（度）．

【答案】360540720180n【分析】過點作，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到三個角的和等于的倍；（1）分別過、分別作的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到四個角的和等于的三倍；（2）分別過、、分別作的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到四個角的和等于的四倍；（3）根據(jù)前三問個的剪法，剪刀，剪出個角，那么這個角的和是度．【詳解】過作（如圖②）．∵原四邊形是長方形，∴，又∵，∴（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．∵，∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．∵，∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．∴，又∵，∴；

（）分別過、分別作的平行線，如圖③所示，用上面的方法可得；（）分別過、、分別作的平行線，如圖④所示，用上面的方法可得；（）由此可得一般規(guī)律：剪刀，剪出個角，那么這個角的和是度．故答案為：；；；．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是解本題的關鍵，總結規(guī)律求解是本題的難點．例5．（2023下·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期中）從特殊到一般是數(shù)學研究的常用方法，有助于我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探索問題的解．

(1)如圖1，，點E為、之間的一點．求證：．(2)如圖2，，點E、F、G、H為、之間的四點．則______．(3)如圖3，，則______．【答案】(1)證明見詳解；(2)；(3)；【分析】（1）過點作，可得，根據(jù)平行線的性質可得，，再計算角度和即可證明；（2）分別過點E、F、G、H作的平行線，在兩相鄰平行線間利用兩直線平行同旁內(nèi)角互補求得兩角度和后，再將所有角度相加即可解答；（3）由（2）解答可知在、之間每有一條線段便可求得一個180°角度和，結合圖3找出n和線段條數(shù)的關系便可解答；【詳解】（1）證明：如下圖，過點作，

∵，，∴，根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補可得：，，∴，∴；（2）解：如下圖，分別過點E、F、G、H作，，，，結合（1）解答在兩相鄰平行線間可得：，，，，，將所有角度相加可得：；（3）解：由（2）解答可知在、之間每有一條線段便可求得一個180°角度和，由圖3可知：當、之間有2條線段時，，當、之間有3條線段時，，當、之間有4條線段時，，當、之間有5條線段時，，…，當、之間有條線段時，，∴；【點睛】本題考查了平行線公理的推論，平行線的性質，歸納總結的解題思路，通過作輔助線將角度按組計算是解題關鍵．模型3.牛角模型因為它長得像犀牛角，故取名牛角模型。圖1圖2條件：如圖1，已知：AB∥CD，且∠E＝，∠ABE＝，∠CDE＝，結論：.證明：如圖，延長AB交DE于點F，∵AB∥CD，∴∠BFE＝∠CDF＝，∵∠ABE＝∠BFE+∠E（外角定理），∴∠ABE＝∠CDF+∠E，∴；條件：如圖2，已知：AB∥CD，且∠E＝，∠ABE＝，∠CDE＝，結論：.證明：如圖，延長AB交DE于點F，∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠CDF＝，∴∠BFE＝180°-∠BFD＝180°-，∵∠ABE＝∠E+∠BFE（外角定理），∴∠ABE＝∠E+180°-∠BFD，∴；例1．（2024·山西·模擬預測）抖空竹是一種傳統(tǒng)雜技節(jié)目，是國家級非物質文化遺產(chǎn)之一．如圖1是某同學“抖空竹”的一個瞬間，若將其抽象成圖2的數(shù)學問題：在平面內(nèi)，已知，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的性質，三角形外角的性質，延長交于F，根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到，再由三角形外角的性質即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，延長交于F，∵，，∴，∵，∴，故選：C．例2．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考二模）如圖，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖所示，過點E作，則，由平行線的性質得到，進一步推出．【詳解】解：如圖所示，過點E作，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故選A．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，熟知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補是解題的關鍵．例3．（2022·湖北洪山·七年級期中）如圖，已知AB∥CD，P為直線AB，CD外一點，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延長線交DE于點E，若∠FED＝a，試用a表示∠P為______．【答案】∠P＝360°﹣2a【分析】根據(jù)角平分線的性質得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行線的性質得出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，進而根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠5、∠FED，再得到∠P和a的關系，然后即可用a表示∠P．【詳解】解：延長AB交PD于點G，延長FE交CD于點H，∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵AB∥CD，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，∵∠PBG＝180°﹣2∠1，∴∠PBG＝180°﹣2∠5，∴∠5＝90°﹣∠PBG，∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°，∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3，∴∠FED＝180°﹣（90°﹣∠PBG）＋∠6＝90°＋（∠PBG＋∠6）＝90°＋（180°﹣∠P）＝180°﹣∠P，∵∠FED＝a，∴a＝180°﹣∠P∴∠P＝360°﹣2a．故答案為：∠P＝360°﹣2a．【點睛】此題考查了角平分線的性質和平行線的性質及三角形內(nèi)角和，有一定的綜合性，認真找出角的關系是關鍵．例4．（2023春·廣東深圳·九年級校?？计谥校┮阎本€，點為直線，所確定的平面內(nèi)的一點，(1)問題提出：如圖1，，．求的度數(shù)：(2)問題遷移：如圖2，寫出，，之間的數(shù)量關系，并說明理由：(3)問題應用：如圖3，，，，求的值．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)【分析】（1）過點作，易得，由平行線的性質可得，，即可求出；（2）過點作，易得，根據(jù)平行線的性質可得；（3）過點作，過點作，易得，，根據(jù)平行線的性質可得，，再由已知等量代換，即可求得的值．【詳解】（1）解：如圖1所示，過點作，，，，，，．，，；（2）解：，理由如下：如圖2，過點作，，，，，，；（3）解：如圖3，過點作，過點作，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質，正確構造輔助線是解題的關鍵．例5．（2023下·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）如圖，．

(1)如圖，求證；(2)如圖，點在上，平分，交于點，探究的數(shù)量關系，并證明你的結論；(3)在（2）的條件下，如圖交延長線于點，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)，見解析(3)【分析】（1）證明：延長交于點，則，結合已知即可得出，據(jù)此即可得出結論；（2）設，，由角平分線的定義得，，由（1）可知∥，則，，然后由得，再四邊形的內(nèi)角和等于得，即，據(jù)此可得出，的數(shù)量關系；（3）設，則，，由∥得，而，然后根據(jù)得，據(jù)此可求出，則，最后根據(jù)周角的定義可求出的度數(shù)．【詳解】（1）證明：延長交于點，，

，，∥．（2）解：，的數(shù)量關系是：，理由如下：設，，平分，，，，，由（1）可知：∥，，，，，，由四邊形的內(nèi)角和等于得：，即：，，．（3）解：設，，，由（1）可知：∥，，，，，，，解得：，，，根據(jù)周角的定義得：，．【點睛】此題考查平行線的判定和性質，角平分線的定義等，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌握平行線的判定及性質：兩直線平行同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補．模型4.羊角模型因長像酷似山羊角，故取名羊角模型。圖1圖2條件：如圖1，已知：AB∥DE，且∠C＝，∠B＝，∠D＝，結論：.證明：∵AB∥DE，∴∠AFC＝∠D＝，∵∠AFC＝∠B+∠C（外角定理），∴∠D＝∠B+∠C，∴；條件：如圖2，已知：AB∥DE，且∠C＝，∠B＝，∠D＝，結論：.證明：∵AB∥CD，∴∠BFD+∠D＝180°∴∠BFD＝180°-∠D＝180°-，∵∠BFD＝∠B+∠C（外角定理），∴180°-∠D＝∠B+∠C，∴；例1．（2024·重慶江津·模擬預測）如圖，已知，如果，，那么的度數(shù)為．

【答案】/35度【分析】本題考查平行線的性質，等腰三角形的性質，三角形的外角定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵．先根據(jù)平行線的性質得到，再根據(jù)等邊對等角以及外角定理即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．例2．（2024·山東濟南·中考真題）如圖，已知，是等腰直角三角形，，頂點分別在上，當時，．【答案】/65度【分析】本題考查等腰三角形的性質，平行線的性質，根據(jù)平行線的性質，得到，等邊對等角，得到，再根據(jù)角的和差關系求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵是等腰直角三角形，，∴，∵，∴，∴；故答案為：．例3．（2023·河南·統(tǒng)考三模）如圖，已知，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點作，則，根據(jù)平行線的性質可得到，，即可求得．【詳解】如圖，過點作，∵，，∴．∴，．∵，∴．∴．故選C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，正確作出輔助線，利用平行線的性質求解是解決問題的關鍵．例4．（23-24七年級下·湖北武漢·期末）如圖，的角平分線交的角平分線的反向延長線于點P，直線交于點N，若，則°【答案】36【分析】本題考查了角平分線的性質，三角形的外角定理，平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握相關的性質定理，根據(jù)角平分線的性質和可得，再根據(jù)三角形的外角定理分別求出，，進而可求解【詳解】解：如圖所示：交于點E，由題意可知：平分，平分，，，，即，，，是的一個外角，是的一個外角，,故答案為：36例5．（2023七年級下·江蘇·專題練習）已知．(1)如圖1，求證：；(2)若F為直線、之間的一點，，平分交于點G，交于點C．①如圖2，若，且，求的度數(shù)；②如圖3，若點K在射線上，且滿足，若，，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)①；②或【分析】（1）過E作，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等進行解答即可；（2）①過F作，交于H點，過點作，則，,根據(jù)平行線的性質可得，根據(jù)角平分線的性質結合，從而得出，進而得出答案；②過點F作，設，則，，所以，，然后分當K在上；當K在延長線上兩種情況進行解答即可．【詳解】（1）解：如圖，過E作，∴，又∵，∴，∴，即；（2）①如圖，過F作，交于H點，過點作，則，,∵，∴，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，即，∴，∵，∴，即，∴；②如圖，過點F作，設，則，，∴，∴，，當K在上，，∴，∴，∴；當K在延長線上時，，，∴，∴，綜上所述，或．【點睛】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，角的和差倍分，熟練掌握平行線的性質、作出正確輔助線、運用分類討論的思想解題是關鍵．模型5.蛇形模型（“5”字模型）因模型像一條彎曲的水蛇，故取名蛇形模型。圖1圖2條件：如圖1，已知：AB∥DE，∠C＝，∠B＝，∠D＝，結論：.證明：在圖2中，過C作AB的平行線CF，∴∠BCF＝∠B，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD+∠D＝180°，∴∠BCF+∠FCD+∠D＝∠B+180°，∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴.條件：如圖2，已知：AB∥DE，∠C＝，∠B＝，∠D＝，結論：.證明：在圖2中，過C作AB的平行線CF，∴∠B+∠BCF＝180°，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠FCD＝∠D，∴∠B+∠BCF+∠FCD＝∠D+180°，∴∠BCD+∠D＝∠B+180°，∴.例1．（2023·四川廣元·統(tǒng)考三模）珠江流域某江段江水流向經(jīng)過B、C、D三點，拐彎后與原來方向相同，如圖，若，則等于（

）A．50° B．40° C．30° D．20°【答案】D【分析】過點C作，根據(jù)平行線的性質即可求出的度數(shù)．【詳解】解：過點C作，∴，∵∴；∵，∴；由題意，∴，∴．故選：D【點睛】本題考查平行線的判斷和性質，作出輔助線，靈活運用平行線的性質是解題的關鍵．例2．（23-24七年級下·遼寧葫蘆島·期末）如圖，，的角平分線的反向延長線和的角平分線交于點F，，則．【答案】/104度【分析】本題考查了角平分線的意義，平行線的性質，平角的意義，四邊形內(nèi)角和，先根據(jù)角平分線的意義設，繼而根據(jù)平角的意義得出，再由平行線的性質及四邊形內(nèi)角和得出，結合，求解即可．【詳解】∵的角平分線的反向延長線和的角平分線交于點F，∴設，∴，過點F作，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∵，∴，故答案為：．例3．（23-24七年級下·湖北鄂州·期中）如圖，已知點，，不在同一條直線上，．(1)求證；(2)如圖2，，分別為三等分、所在直線，，，試探究與的數(shù)量關系；(3)如圖3，在（2）的前提下，且有，直線、交于點，，請直接寫出_________．【答案】(1)見解析(2)，見解析(3)【分析】（1）過點作，則，可得，，，即可求解；（2）過點作，則，可得，，再由，，可得，，可得，再由（1）中結論，即可求解；（3）根據(jù)，可得∠ACP=3∠AQB，再由AC∥BQ，可得∠PAC=∠AQB，∠PBQ=∠ACP，從而得到∠PAC=30°，進而得到∠QBP=∠ACP=90°，再由，，可得∠CAD=45°，∠EBC=135°，即可求解．【詳解】（1）解：過點作，則，∵，∴，，，，（2）解：過點作，則，∵，，∴，，∵，，∴，即，由（1）得：，∴．（3）解：∵，∠ACB+∠ACP=180°，∴∠ACP=3∠AQB，∵AC∥BQ，∴∠PAC=∠AQB，∠PBQ=∠ACP，∴∠ACP=3∠CAP，∵，∴∠PAC+∠ACP=120°，即∠PAC+3∠PAC=120°，解得：∠PAC=30°，∴∠QBP=∠ACP=90°，∴∠ACB=90°，∵，∴∠PAC=2∠DAH，∴∠DAH=15°，即∠CAD=45°，∵，∴∠EBQ=45°，∴∠EBC=135°，∴．故答案為：【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質，熟練掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵．例4．（23-24七年級下·廣東廣州·期末）如圖，，．(1)如果，求的度數(shù)；設，，直接寫出、之間的數(shù)量關系：；(2)如圖，、的角平分線交于點，當?shù)亩葦?shù)發(fā)生變化時，的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，若，點為射線上的一個動點，過點作交直線于點，連接．已知，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)不發(fā)生變化；，理由見詳解(3)或【分析】（1）過點作，則有，然后得到，，然后計算解題；過點作，則有，，再根據(jù)直角得到結論；（2）由可得，，然后根據(jù)角平分線的定義得到，，然后利用同的推導過程得到結論；（3）由（2）可得，，，然后分點在點的左側和點在點的右側兩種情況進行解題．【詳解】（1）解：過點作，，，，，又，，；過點作，，，，，又，，，故答案為：；（2）解：不發(fā)生變化；，理由為：由可得，，、的角平分線交于點，，，，過作，，；（3）由（2）得，，，，，過點作，，，，，，當點在點的左側時，如圖，則，，；當點在點的右側時，如圖，則，，．綜上所述，或．【點睛】本題考查了平行線的性質、角的計算、角平分線的性質等知識點．1．（2023·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期中）如圖，若，，，則的度數(shù)是（）A．115° B．130° C．140° D．150°【答案】C【分析】利用平行線的傳遞性作出輔助線，再通過平行線的性質即可解決問題．【詳解】解：過作的平行線，如圖所示；，∴故選C．【點睛】本題考查了平行線的基本性質與平行的傳遞性，兩直線平行，內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補，根據(jù)傳遞性做出輔助線是解決問題的關鍵．2．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預測）如圖，這是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行若，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點作工作籃底部，根據(jù)平行線的性質及角的和差求解即可．【詳解】解：如圖，過點作工作籃底部，，

工作籃底部與支撐平臺平行，工作籃底部支撐平臺，，，，，，故選：．【點睛】此題考查了平行線的性質，熟記“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”、“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”是解題的關鍵．3．（2024·陜西咸陽·模擬預測）如圖，直線．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查三角形外角性質，平行的性質，解題關鍵是熟練掌握并運用相關知識．根據(jù)可得，，根據(jù)三角形外角性質結合可得，即可求得的度數(shù)．【詳解】解：∵，．又∵，，．故選：C．4．（2024·廣東深圳·模擬預測）抖空竹是我國的傳統(tǒng)體育，也是國家級非物質文化遺產(chǎn)之一．明代《帝京景物略》一書中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見抖空竹在民間流行的歷史至少在年以上．如圖，通過觀察抖空竹發(fā)現(xiàn)，可以將某一時刻的情形抽象成數(shù)學問題：，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質，延長交于點，先利用平行線的性質可得，然后利用三角形的外角性質進行計算，即可解答．根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．【詳解】解：延長交于點，∵，∴，∵是的一個外角，∴，故選：．5．（2023·廣東佛山·模擬預測）如圖，若，，，，那么的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了根據(jù)平行線的性質求角的度數(shù)，由平行線的性質得出，，再結合計算即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴，，∴，∴，故選：D．6．（24-25九年級上·湖北·課后作業(yè)）①如圖①，，則；②如圖②，，則；③如圖③，，則；④如圖④，直線，點在直線上，則．以上結論正確的是（

）A．①②③④ B．③④ C．①②④ D．②③④【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質，三角形的外角定理，正確添加輔助線，熟練掌握知識點是解題的關鍵．對于“拐點”類問題，一般是過“拐點”作平行線，根據(jù)平行線的性質和三角形的外角定理即可求解判斷出角度之間的數(shù)量關系．【詳解】解：①，如解圖①，過點作，，，，，，故①正確；②，如解圖②，設與交于點，，，是的一個外角，，，，故②正確；③，由①可得：，，，，故③不正確；④，，，，，，故④正確；所以結論正確的是①②④，故選：C．7．（2024·江蘇徐州·模擬預測）如圖，是某款嬰兒車的幾何示意圖，若，，，則的度數(shù)是°．【答案】【分析】本題考查的是平行線的性質，三角形的外角的性質，先證明，，再利用三角形的外角的性質解答即可．【詳解】∵，，，∴，，∴．故答案為：8．（23-24七年級下·浙江杭州·期中）如圖，，的角平分線的反向延長線和的角平分線交于點，，則．【答案】/度【分析】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，四邊形內(nèi)角和定理等．過作，則，根據(jù)平行線的性質和角平分線的定義，可得，，進而可得，，利用四邊形內(nèi)角和為度，可得，再結合即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過作，

∵，∴，∵的角平分線的反向延長線和的角平分線交于點，∴可設，，∴，，∴四邊形中，，即，①又∵，∴，②∴，解得，故答案為：．9．（23-24七年級下·江蘇無錫·期中）如圖，，為上方一點，、分別為、上的點，、的角平分線交于點，的角平分線與的延長線交于點，若，，則的度數(shù)等于．【答案】/164度【分析】此題考查了平行線的性質，角平分線的概念，三角形內(nèi)角和定理和外角的性質，首先根據(jù)角平分線的概念結合平角得到，進而利用三角形內(nèi)角和定理求出，然后由平行線的性質得到，然后根據(jù)三角形外角的性質得到，進而求解即可．【詳解】如圖所示，∵平分，平分∴，∴∵∴∵∴∴∵平分∴∴．故答案為：．10．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，兩直線、平行，則．【答案】900°【詳解】分別過E點,F點,G點,H點作L1,L2,L3,L4平行于AB觀察圖形可知，圖中有5組同旁內(nèi)角，則故答案900°【點睛】本題考查了平行線的性質，添加輔助線是解題的關鍵。11．（2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·七年級?？计谥校﹩栴}探究：如下面四個圖形中，ABCD．（1）分別說出圖1、圖2、圖3、圖4中，∠1與∠2、∠3三者之間的關系．（2）請你從中任選一個加以說明理由．解決問題：（3）如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面，從位于O點的燈泡發(fā)出兩束光線OB、OC經(jīng)燈碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．【答案】(1)圖1：∠1+∠2＝∠3；

圖2：∠1+∠2+∠3＝；圖3：∠1＝∠2+∠3；

圖4：∠1+∠3＝∠2；(2)見解析；(3)【分析】(1)圖1：首先過點P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求得答案；圖2：首先過點P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可求得答案；圖3：由ABCD，根據(jù)兩直線平行，同位角線相等，以及三角形外角的性質，即可求得答案；圖4：由ABCD，根據(jù)兩直線平行，同位角線相等，以及三角形外角的性質，即可求得答案．（2）選圖1，過點P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，即可求得答案；（3）利用圖1結論進行求解【詳解】(1)圖1：∠1+∠2＝∠3；

圖2：∠1+∠2+∠3＝

圖3：∠1＝∠2+∠3；圖4：∠1+∠3＝∠2；(2)選擇圖1，如圖所示：過點P作EP//AB∵ABCD，EPAB∴ABEPCD∴∠1=∠APE，∠2=∠EPC又∵∠3＝∠APE+∠EPC∴∠1+∠2＝∠3；(3)由圖1可得：∠BOC＝∠ABO+∠DCO，又∵∠ABO=57°，∠DCO=44°，∴∠BOC=57°+44°＝101°【點睛】考查了平行線的性質與三角形外角的性質．解題的關鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，內(nèi)錯角相等以及兩直線平行，同位角相等定理的應用與輔助線的作法．12．（2023春·湖北黃岡·七年級?？计谥校┤鐖D，已知：點A、C、B不在同一條直線，

(1)求證：：(2)如圖②，分別為的平分線所在直線，試探究與的數(shù)量關系；(3)如圖③，在（2）的前提下，且有，直線交于點P，，直接寫出．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1）過點C作，則，根據(jù)平行線的性質可得出、，據(jù)此可得；（2）過點Q作，則，根據(jù)平行線的性質、角平分線的定義可得出，結合（1）的結論可得出；（3）由（2）的結論可得出①，由可得出②，聯(lián)立①②可求出的度數(shù)，再結合（1）的結論可得出的度數(shù)，將其代入中可求出結論．【詳解】（1）在圖①中，過點C作，則．

∵，∴，∴．（2）在圖2中，過點Q作，則．∵，∴．∵平分，平分，∴，∴．∵，∴．（3）∵，∴，∴．∵，∴．又∵，∴，即，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查平行線的的判定與性質，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質、添加輔助線構建平行線．13．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知：，點在上，點、在上，點在、之間，連接、、，，，垂足為點．(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，平分，平分，、交于點，求的度數(shù)；(3)如圖3，在（2）的條件下，平分交于點，若，與所在直線交于點，若射線從射線的位置開始繞著點逆時針以每秒的速度進行旋轉，射線交直線于點，旋轉時間為秒，當為何值時，第一次與平行？并求此時的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)，【分析】此題考查了平行線的判定與性質，角分線的性質．解題的關鍵是掌握拐點問題中的輔助線作法．（1）根據(jù)平行線的性質和判定解答即可；（2）過點作，過點作，根據(jù)平行線的判定和性質解答即可；（3）過點作，先利用，設，，結合平行線的性質求出，利用，結合平行線的判定與性質求出，利用，，結合平行線的判定與性質求出，即可求出，即可求解．【詳解】（1）解：，，，，，，，；（2）解：如圖，過點作，過點作，，，，，，，，，平分，，平分，，；（3）解：如圖，過點作，∵，∴設，，∵平分，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，解得：，∴，，由（2）得，∴，∴，∵，，∴，∴，，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∵點逆時針以每秒的速度進行旋轉，∴，綜上，時，第一次與平行，此時．14．（24-25八年級上·四川瀘州·開學考試）（1）如圖1，已知，，，則求的度數(shù)；（2）如圖2，在（1）的條件下，平分，平分，則的度數(shù)．（3）如圖2，已知，平分，平分，．當點P、M在直線AC同側時，直接寫出與的數(shù)量關系：；（4）如圖3，已知，平分，平分．當點P、M在直線異側時，直接寫出與的數(shù)量關系：．【答案】（1）70度；（2）35度；（3）；（4）【分析】本題主要考查了平行線的性質探究角的關系，角平分線的計算，以及三角形外角的定義以及性質等知識，掌握平行線的性質是解題的關鍵．（1）過P作，由平行線的性質可得出，，最后根據(jù)即可得出答案．（2）延長交于點Q，則可得到，由（1）可得出，連接并延長到點R，由三角形外角的定義可得，，相加可得出，等量代換可得出，代入即可求出．（3）由（2）可得：．（4）過P作于Q，于N，由平行線的性質可得出，，，，由角平分線的定義可得出，，最后根據(jù)，等量代換可得出【詳解】解：（1）如圖1，過P作，∴，∵，∴，∴，∵，，∴；（2）如圖2，延長交于點Q，則可得到，則，連接并延長到點R，則可得，，∴，∴，∴；（3）由（2）可得：，故答案為：；（4）如圖，過P作于Q，于N，則，∴，，，，∵平分，平分，∴，，∴，即，故答案為：．15．（23-24七年級下·河北邯鄲·期中）已知，直線，點為平面上一點，連接與．(1)如圖1，點在直線之間，當，時，求的度數(shù)．(2)如圖2，點在直線之間，與的角平分線相交于點，寫出與之間的數(shù)量關系，并說明理由．(3)如圖3，點落在下方，與的角平分線相交于點，請直接寫出與的數(shù)量關系．【答案】(1)(2)，見解析(3)【分析】（1）先過作，根據(jù)平行線的性質即可得到，，再根據(jù)進行計算即可；（2）過作，根據(jù)，可得，，進而得到，同理可得，，再根據(jù)角平分線的定義，得出，進而得到；（3）過作，根據(jù)，可得，，進而得到，同理可得，，再根據(jù)角平分線的定義，得出，進而得到．【詳解】（1）解：如圖1，過作，，，，，；（2）解：，理由如下：如圖2，過作，，，，，，過作，，，，，，，與的角平分線相交于點，，；（3）．理由如下：如圖3，過作，∵，∴，∴，，∴，過作，，，，，，，∵與的角平分線相交于點K，∴，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質以及角平分線的定義的運用，解決問題的關鍵是作平行線構造內(nèi)錯角，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等進行計算．16．（23-24七年級下·湖北武漢·期中），點E、F分別在、上；點O在直線、之間，且(1)如圖1，①若，求的度數(shù)；②若，請你直接寫出________；(2)如圖2，直線分別交、的角平分線于點M、N，求的值(3)如圖3，在內(nèi)，；在內(nèi)，，直線分別交、分別于點M、N，且，直接寫出m的值【答案】(1)①②(2)(3)【分析】本題考查了平行線的性質，角平分線的性質及三角形的外角性質，熟練掌握平行線的性質、角平分線的性質及三角形的外角性質并正確作出輔助線是解題關鍵．（1）如圖1，過點作，利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等的性質