2025年北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假?gòu)?fù)習(xí) 專題02 承上啟下篇-勾股定理

專題02承上啟下篇-勾股定理題型聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)專攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破【題型1用勾股定理或其逆定理解三角形】【題型2折疊問(wèn)題】【題型3勾股定理與全等三角形】【題型4網(wǎng)格問(wèn)題】【題型5勾股定理的實(shí)際應(yīng)用】【題型6勾股定理的證明及其在平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用】【題型7勾股定理選擇、填空題綜合】【題型8勾股定理、全等三角形綜合難點(diǎn)分析】知識(shí)點(diǎn)一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）知識(shí)點(diǎn)二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.知識(shí)點(diǎn)三、勾股定理與全等三角形題型歸納【題型1用勾股定理或其逆定理解三角形】1．如圖，在中，(1)，，求AB的長(zhǎng)；(2)，，求的長(zhǎng)．2．如圖，在直角三角形中，，于點(diǎn)，已知，．(1)求斜邊的長(zhǎng)；(2)求的長(zhǎng)．3．如圖，在四邊形中，，且，求AB的長(zhǎng)．4．如圖，已知是邊上的中線，若，，，求的面積．【題型2折疊問(wèn)題】5．如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊，將折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為．(1)求的周長(zhǎng)．(2)求的長(zhǎng)．6．如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處，若，，求的長(zhǎng)．7．在中，，，，D，E分別是斜邊AB和直角邊CB上的點(diǎn)，把沿著直線DE折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．(1)如圖1，如果點(diǎn)和頂點(diǎn)A重合，求CE的長(zhǎng)．(2)如圖2，如果點(diǎn)落在的中點(diǎn)上，求CE的長(zhǎng)．【題型3勾股定理與全等三角形】8．在中，，D是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，．(1)求證：．(2)當(dāng)，求的長(zhǎng)．9．如圖，，，E是上的一點(diǎn)，且，．(1)求證：．(2)若，，求的面積．10．如圖，在中，，點(diǎn)D是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)A作，并且始終保持，連接．(1)求證：；(2)若平分交于．求的值．11．如圖，中，，，，分別以、為直角邊向外作等腰直角和等腰直角．(1)求證：；(2)求的長(zhǎng)．12．如圖，在等腰直角中，，，為邊上一點(diǎn)，連接，且，連接，．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．13．如圖，在和中，，，點(diǎn)A，C，D依次在同一直線上，且．(1)求證：；(2)連接，若，，求的長(zhǎng)．14．如圖，在中，，，點(diǎn)是內(nèi)部的一點(diǎn)，連接，作，，垂足分別為點(diǎn)，．(1)求證：；(2)若，，，求的周長(zhǎng)．15．如圖，在中，，，，為中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在直線，上，，連接．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí)，求證：；(3)若，求線段的長(zhǎng)．【題型4網(wǎng)格問(wèn)題】16．已知在正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1）中，格點(diǎn)（即的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處）的三條邊，，的長(zhǎng)分別為，，．(1)在網(wǎng)格中畫出．(2)求邊上的高．17．在中，、、三邊的長(zhǎng)分別為、、，求這個(gè)三角形的面積．小華同學(xué)在解答這道題時(shí)，先畫一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)（即三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖1所示．這樣不需求的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．這種方法叫做構(gòu)圖法．

(1)的面積為：．(2)若三邊的長(zhǎng)分別為、、，請(qǐng)?jiān)趫D2的正方形網(wǎng)格中畫出相應(yīng)的18．正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，以下畫圖要求所畫圖形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)．(1)在圖①中畫一個(gè)面積為5的正方形；(2)在圖②中畫一個(gè)直角三角形，使它的兩邊長(zhǎng)是無(wú)理數(shù)，另一邊長(zhǎng)是有理數(shù)；(3)在圖③中畫一個(gè)等腰三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是無(wú)理數(shù)；(4)在圖④中畫一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)分別是，，．19．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．(1)四邊形的面積________；(2)四邊形的周長(zhǎng)________；(3)與有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型5勾股定理的實(shí)際應(yīng)用】20．明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞，翻譯為：如圖秋千細(xì)索懸掛于O點(diǎn)，靜止時(shí)豎直下垂，A點(diǎn)為踏板位置，踏板離地高度為1米（米）．將它往前推進(jìn)一些（于點(diǎn)E，且米），踏板升高到點(diǎn)B位置，此時(shí)踏板離地2米（米），求秋千繩（或）的長(zhǎng)度．21．一架云梯長(zhǎng)，按如圖所示的方式斜靠在一面墻上，云梯底端離墻的距離為．(1)求此架云梯的頂端到地面的距離；(2)如果云梯的頂端A下滑了到達(dá)E處，求它的底部B在水平方向移動(dòng)的距離的長(zhǎng)．22．在“歡樂(lè)周末·非遺市集”活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)，諸多非遺項(xiàng)目集中亮相，讓過(guò)往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明買了一個(gè)年畫風(fēng)箏，并進(jìn)行了試放，為了解決一些問(wèn)題，他設(shè)計(jì)了如下的方案：先測(cè)得放飛點(diǎn)與風(fēng)箏的水平距離為15m；根據(jù)手中余線長(zhǎng)度，計(jì)算出的長(zhǎng)度為17m；牽線放風(fēng)箏的手到地面的距離為1.5m．已知點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)．(1)求風(fēng)箏離地面的垂直高度；(2)在余線僅剩9m的情況下，若想要風(fēng)箏沿射線方向再上升12m，請(qǐng)問(wèn)能否成功？請(qǐng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明．23．某游樂(lè)場(chǎng)部分平面圖如圖所示，點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)在同一直線上，，測(cè)得．(1)求入口到大擺錘的距離；(2)現(xiàn)要在距離大擺錘的處修建游樂(lè)項(xiàng)目旋轉(zhuǎn)木馬（即），點(diǎn)在同一直線上，且使旋轉(zhuǎn)木馬到過(guò)山車的距離最近．求過(guò)山車到旋轉(zhuǎn)木馬的距離．24．現(xiàn)有一艘快艇即將靠岸，當(dāng)快艇到達(dá)點(diǎn)的位置后，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，在離水面高度為的岸上，工作人員用繩子牽引靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子的長(zhǎng)為．（假設(shè)繩子一直處于繃直狀態(tài)，結(jié)果保留根號(hào)）(1)若工作人員以的速度收繩，后快艇移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，問(wèn)此時(shí)快艇距離岸邊還有多少？(2)若快艇關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，保持的速度勻速靠岸，后快艇由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)的位置，工作人員手中的繩子被收上來(lái)多少？25．葛藤是一種“刁鉆”的植物，它自己腰桿不硬，為爭(zhēng)奪雨露陽(yáng)光，常常繞著樹(shù)干盤旋而上，它還有一手絕招，就是它繞樹(shù)盤升的路徑總是沿最短路線螺旋上升.難道植物也懂?dāng)?shù)學(xué)？(1)想一想怎樣找出最短路徑；(2)如圖，若樹(shù)干周長(zhǎng)為，葛藤繞一圈升高，則它爬行一周的路程是多少米？【題型6勾股定理的證明及其在平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用】26．用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長(zhǎng)度的有關(guān)問(wèn)題，這種方法稱為等面積法，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法，請(qǐng)你用等面積法來(lái)探究下列三個(gè)問(wèn)題：(1)如圖1是著名的“趙爽弦圖”，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，請(qǐng)驗(yàn)證勾股定理：；(2)如圖2，在中，，CD是AB邊上的高，，，求CD的長(zhǎng)度．27．在一節(jié)數(shù)學(xué)探究課上老師提供了若干張直角邊分別為、的直角三角形紙板，如圖所示．經(jīng)過(guò)同學(xué)們探究后得出如下結(jié)論：選用若下張這樣的紙片可以互不重疊的拼成一個(gè)大正方形，并且內(nèi)部留下一個(gè)“空隙”是一個(gè)較小的正方形，圖是同學(xué)們的一種拼法．(1)若圖中大正方形的面積是“空隙”小正方形面積的倍，求的值；(2)請(qǐng)你選擇若干張紙片拼出一個(gè)符合探究結(jié)論的圖形（與圖不同），畫出示意圖并直接用含的代數(shù)式表示大正方形、小正方形的面積．28．我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖1所示“趙爽弦圖”（邊長(zhǎng)為c的大正方形中放四個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c）．(1)如圖1，請(qǐng)用兩種不同方法表示圖中陰影部分面積．方法1：______；方法2：______；根據(jù)以上信息，可以得到等式：______；(2)小亮將“弦圖”中的4個(gè)三角形進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)變換，得到圖2，請(qǐng)利用圖2證明勾股定理；(3)如圖3，將圖2的2個(gè)三角形進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)變換，若，，求陰影部分的面積．29．閱讀一段文字，再回答下列問(wèn)題：已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)，，則該兩點(diǎn)間距離公式為，同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)在同一坐標(biāo)軸上或所在直線平行于x軸、平行于y軸時(shí)，兩點(diǎn)間的距離公式可分別化簡(jiǎn)成和．(1)若已知兩點(diǎn)，，試求A，B兩點(diǎn)間的距離；(2)已知點(diǎn)M，N在平行于y軸的同一條直線上，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為7，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為，試求M，N兩點(diǎn)間的距離．【題型7勾股定理選擇、填空題綜合】30．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．1，2，3 B．4，6，8 C．，， D．5，12，1331．已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4．則第三邊長(zhǎng)為．32．木工師傅想利用木條制作一個(gè)直角三角形，那么下列各組數(shù)據(jù)不符合直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（

）A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，15，1733．已知，如圖所示，Rt△ABC的周長(zhǎng)為4+23，斜邊AB的長(zhǎng)為23，則Rt△ABC的面積為．34．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為米，頂端距離地面米若梯子底端位置保持不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面米，則小巷的寬度為(

)A．米 B．米 C．2米 D．米35．如圖，在矩形中，在數(shù)軸上，若以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．36．在中，，，則．37．已知三角形三邊長(zhǎng)為正整數(shù)，則此三角形是三角形．38．如圖，在高為3米，斜坡長(zhǎng)為5米的樓梯臺(tái)階上鋪地毯，則地毯的長(zhǎng)度至少要（）A．4米 B．5米 C．6米 D．7米39．如圖，在中，平分，平分，且交于，若，則的值為A．36 B．9 C．6 D．18【題型8勾股定理、全等三角形綜合難點(diǎn)分析】40．如圖，用一副三角板擺放三種不同圖形．在中，，；中，，．(1)如圖，當(dāng)頂點(diǎn)擺放在線段上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，并說(shuō)明理由；(2)如圖，當(dāng)頂點(diǎn)在線段DE上且頂點(diǎn)在線段上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，猜想線段、、的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖，當(dāng)頂點(diǎn)在線段DE上且頂點(diǎn)在線段上時(shí)，若，，連接CE，則的面積為．41．在中，，，點(diǎn)是直線AB上一點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)如圖1，點(diǎn)在線段AB上，BH交AC于點(diǎn)，若為MB的中點(diǎn)，，則______；(2)如圖2，取AC中點(diǎn)，連接DH．①若點(diǎn)在線段AB上，求證：②若點(diǎn)在直線AB上，，，求AB的長(zhǎng)．42．【問(wèn)題情境】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)到E，使，連接．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

（1）由已知和作圖能得到，依據(jù)是___________．A．SSS

B．ASA

C．AAS

D．SAS（2）由“三角形的三邊關(guān)系”可求得的取值范圍是___________．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【初步運(yùn)用】（3）如圖2，是的中線，交于E，交于F，且．若，，求線段的長(zhǎng)．【靈活運(yùn)用】（4）如圖3，在中，，D為中點(diǎn)，，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，試猜想線段，，三者之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．43．已知：在中，，．

(1)如圖1，若點(diǎn)D在線段上，連接，在的右側(cè)作，．①線段和線段存在何種數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．②請(qǐng)直接寫出線段、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系_________．(2)如圖2，若點(diǎn)D在線段延長(zhǎng)線上，連接，在的右側(cè)作，，則線段、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系是_________．(3)如圖3，若點(diǎn)D在直線上，連接，在的左側(cè)作，當(dāng)，時(shí)，的面積為_(kāi)________．過(guò)關(guān)檢測(cè)一、單選題1．下列三個(gè)數(shù)中，能組成一組勾股數(shù)的是（

）A．，， B．，，C．12，15，9 D．，，2．在中，，，的對(duì)邊分別是a，b，c，且，則（

）A． B． C． D．不確定哪個(gè)角是直角二、填空題3．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，則BC∶AC∶AB=．4．如圖，有一個(gè)圓柱形杯子，底面周長(zhǎng)為12cm，高為8cm，A點(diǎn)在內(nèi)壁距杯口2cm處，在A點(diǎn)正對(duì)面的外壁距杯底2cm的B處有一只小蟲，小蟲要到A處飽餐一頓至少要走cm．（杯子厚度忽略不計(jì)）三、解答題5．在中，，若，．求a，b的長(zhǎng)．6．如圖所示，是一塊地的平面圖，其中米，米，米，米，，求這塊地的面積.

7．如圖，在中，分別為邊的中線，分別交于點(diǎn)D、E．(1)若，求證：；(2)若，，，求的長(zhǎng)．8．如圖①已知和中，，，，按照?qǐng)D①的位置擺放，直角頂點(diǎn)重合．（1）寫出與的關(guān)系；（2）如圖②，點(diǎn)、、在同一直線上時(shí)，若，，求長(zhǎng)為_(kāi)_______．（3）如圖③，若，，，求的長(zhǎng)．

專題02承上啟下篇-勾股定理題型聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)專攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破【題型1用勾股定理或其逆定理解三角形】【題型2折疊問(wèn)題】【題型3勾股定理與全等三角形】【題型4網(wǎng)格問(wèn)題】【題型5勾股定理的實(shí)際應(yīng)用】【題型6勾股定理的證明及其在平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用】【題型7勾股定理選擇、填空題綜合】【題型8勾股定理、全等三角形綜合難點(diǎn)分析】知識(shí)點(diǎn)一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）知識(shí)點(diǎn)二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.知識(shí)點(diǎn)三、勾股定理與全等三角形題型歸納【題型1用勾股定理或其逆定理解三角形】1．如圖，在中，(1)，，求AB的長(zhǎng)；(2)，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)13(2)【分析】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（2）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【解析】（1）解：在中，，，，由勾股定理得：，的長(zhǎng)為13；（2）在中，，，，由勾股定理得：，的長(zhǎng)為2．如圖，在直角三角形中，，于點(diǎn)，已知，．(1)求斜邊的長(zhǎng)；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了勾股定理以及等面積法，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理求解即可．（2）根據(jù)，即可求解．【解析】（1）解：在直角三角形中，，，，；（2），，即，．3．如圖，在四邊形中，，且，求AB的長(zhǎng)．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，連接，求出即可求解；【解析】解：連接，如圖所示：∵，∴∵，，∴∴解得：4．如圖，已知是邊上的中線，若，，，求的面積．【答案】12【分析】本題考查了關(guān)于三角形面積計(jì)算的題，由是邊上的中線可得到，結(jié)合已知，利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為E，在中求出的長(zhǎng)，即得高，即可求出面積．【解析】解：是邊上的中線是直角三角形且過(guò)A作，垂足為E，如圖：，【題型2折疊問(wèn)題】5．如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊，將折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為．(1)求的周長(zhǎng)．(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）由翻折易得，則的周長(zhǎng)；（2）由翻折易得，利用直角三角形，勾股定理即可求得長(zhǎng)．本題考查了折疊性質(zhì)以及勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）解：∵將折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為，∴，則的周長(zhǎng)；（2）解：由題意得；設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理得：，即，解得；即．6．如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿折疊，使點(diǎn)恰好落在邊上點(diǎn)處，若，，求的長(zhǎng)．【答案】．【分析】本題考查了翻折變換，勾股定理．根據(jù)折疊的性質(zhì)及勾股定理求解．【解析】解：由翻折可得，，四邊形為長(zhǎng)方形，，，，在中，由勾股定理得，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，即，解得，即．7．在中，，，，D，E分別是斜邊AB和直角邊CB上的點(diǎn)，把沿著直線DE折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．(1)如圖1，如果點(diǎn)和頂點(diǎn)A重合，求CE的長(zhǎng)．(2)如圖2，如果點(diǎn)落在的中點(diǎn)上，求CE的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查折疊問(wèn)題以及勾股定理，熟練掌握折疊的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵；（1）設(shè)，則，在中，利用勾股定理列出方程解方程即可；（2）根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)，先得到，在中，再利用勾股定理列出方程解方程即可．【解析】（1）解：設(shè)，則．由折疊可得：．在中，由，得：，解得：，即的長(zhǎng)為．（2）∵點(diǎn)落在的中點(diǎn)上，．設(shè)，則．在中，由，得，解得：，即的長(zhǎng)為．【題型3勾股定理與全等三角形】8．在中，，D是邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，．(1)求證：．(2)當(dāng)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)6【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．（1）先證明，推出，再利用可證明；（2）由，推出，再在中，利用勾股定理即可求解.【解析】（1）證明：∵∴，∴∴又∵∴（2）解：∵，∴，∴，在中，9．如圖，，，E是上的一點(diǎn)，且，．(1)求證：．(2)若，，求的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明是本題的關(guān)鍵．（1）由“”可證，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，由余角的性質(zhì)可得，由勾股定理可求的長(zhǎng)根據(jù)三角形的面積公式可求解．【解析】（1）證明：，，，在與中，，，；（2）解：由（1）可知，∴，，，為等腰直角三角形；又，，，，的面積．10．如圖，在中，，點(diǎn)D是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)A作，并且始終保持，連接．(1)求證：；(2)若平分交于．求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)13【分析】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，勾股定理．掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵，解（2）時(shí)正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可證，結(jié)合，，即可證；（2）連接，由全等三角形的性質(zhì)可得出，，即可求出，再根據(jù)勾股定理可求出．又易證，即得出．【解析】（1）證明：∵，∴，∴，即．又∵，，∴；（2）解：如圖，連接．∵，∴，．∵，∴，即，∴．∵平分，∴．∵，，∴，∴，∴．11．如圖，中，，，，分別以、為直角邊向外作等腰直角和等腰直角．(1)求證：；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理應(yīng)用，正確得出是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的判定方法得出，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理解答即可．【解析】（1）證明：，，在和中，，；（2）解：，，是等腰直角三角形，，，是直角三角形，，，，，．12．如圖，在等腰直角中，，，為邊上一點(diǎn)，連接，且，連接，．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)的長(zhǎng)為．【分析】（）由，得，然后通過(guò)“”證明即可；（）連接，由勾股定理得，由（）得，，，則，由勾股定理得，則，故，最后由勾股定理即可求解；本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）證明：∵，，∴，∴，在和中，∴；（2）解：如圖，連接，∵，，，∴由勾股定理得：，∵，，∴，由（）得：，∴，，∴，∴由勾股定理得：，∴，∴，∴由勾股定理得：，∴的長(zhǎng)為．13．如圖，在和中，，，點(diǎn)A，C，D依次在同一直線上，且．(1)求證：；(2)連接，若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)13【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，（1）根據(jù)，可得，進(jìn)而根據(jù)證明即可；（2）根據(jù)全等的性質(zhì)可得，，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．【解析】（1）證明：∵點(diǎn)A，C，D依次在同一直線上，且．∴又∵，，在和中，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，，在中，根據(jù)勾股定理可得．14．如圖，在中，，，點(diǎn)是內(nèi)部的一點(diǎn)，連接，作，，垂足分別為點(diǎn)，．(1)求證：；(2)若，，，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)30【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）由垂直的定義得到，利用三角形內(nèi)角和定理證明，則可利用證明；（2）由全等三角形的性質(zhì)得到，則，再根據(jù)勾股定理求出，然后利用三角形周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【解析】（1）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴在和中，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵∴∴的周長(zhǎng)．15．如圖，在中，，，，為中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在直線，上，，連接．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)重合時(shí)，求證：；(3)若，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)詳解；(3)或．【分析】（1）由垂直平分線性質(zhì)定理得，然后在中，由勾股定理即可求出的長(zhǎng)；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，先證得，，再證明，然后由勾股定理得證；（3）分兩種情況討論：①當(dāng)E在線段上時(shí)，如圖所示；②當(dāng)點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示；然后由（2）中結(jié)論求解即可．【解析】（1）解：如圖1，為中點(diǎn)，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理，得，解得，；故的長(zhǎng)為；（2）解：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，如圖2所示，，為中點(diǎn)，，，在和中，，，，，，，即，在中，，；（3）解：①當(dāng)E在線段上時(shí)，如圖所示，由（2）中結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，，，；②當(dāng)點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示，同①理，可得，；綜上所述，線段的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】此題直角三角形的綜合題，主要考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并添加合適的輔助線構(gòu)造全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．【題型4網(wǎng)格問(wèn)題】16．已知在正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1）中，格點(diǎn)（即的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處）的三條邊，，的長(zhǎng)分別為，，．(1)在網(wǎng)格中畫出．(2)求邊上的高．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查了勾股定理和網(wǎng)格中三角形面積的計(jì)算，熟練掌握割補(bǔ)法求三角形的面積是解題的關(guān)鍵．（1）利用勾股定理得出格點(diǎn)A、B、C，再畫出即可；（2）作出邊上的高，先利用割補(bǔ)法求出，再根據(jù)，得，求解即可．【解析】（1）解：如圖所示，即為所求；∵，，．∴即為所求．（2）解：作邊上的高，如圖，∵，又∵，∴，∴，即邊上的高為．17．在中，、、三邊的長(zhǎng)分別為、、，求這個(gè)三角形的面積．小華同學(xué)在解答這道題時(shí)，先畫一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)（即三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖1所示．這樣不需求的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．這種方法叫做構(gòu)圖法．

(1)的面積為：．(2)若三邊的長(zhǎng)分別為、、，請(qǐng)?jiān)趫D2的正方形網(wǎng)格中畫出相應(yīng)的【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查作圖?應(yīng)用與設(shè)計(jì)、勾股定理；（1）利用構(gòu)圖法求解即可；（2）利用勾股定理和構(gòu)圖法作圖即可．【解析】（1）解：由圖可得，，故答案為：．（2）解：如圖，即為所求；

18．正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，以下畫圖要求所畫圖形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)．(1)在圖①中畫一個(gè)面積為5的正方形；(2)在圖②中畫一個(gè)直角三角形，使它的兩邊長(zhǎng)是無(wú)理數(shù)，另一邊長(zhǎng)是有理數(shù)；(3)在圖③中畫一個(gè)等腰三角形，使它的三邊長(zhǎng)都是無(wú)理數(shù)；(4)在圖④中畫一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)分別是，，．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析(4)見(jiàn)解析【分析】對(duì)于（1），根據(jù)作以為邊長(zhǎng)的正方形；對(duì)于（2），根據(jù)作一個(gè)邊長(zhǎng)為，，2的直角三角形；對(duì)于（3），作一個(gè)邊長(zhǎng)為，，的等腰三角形；對(duì)于（4），根據(jù)畫出一邊，再根據(jù)畫出第二邊，最后根據(jù)畫出第三邊．【解析】（1）如圖所示．（2）如圖所示．（3）如圖所示．（4）如圖所示．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正方形的判定，等腰三角形的判定，直角三角形的判定等，理解圖形的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．19．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1．(1)四邊形的面積________；(2)四邊形的周長(zhǎng)________；(3)與有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)12(2)(3)相等，且垂直【分析】（1）根據(jù)正方形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積計(jì)算即可；（2）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（3）先根據(jù)勾股定理的逆定理確定是直角三角形，可得答案．【解析】（1）四邊形的面積；故答案為：12；（2）四邊形的周長(zhǎng)為；故答案為：；（3）相等，且垂直．理由：如圖所示，連接．根據(jù)勾股定理，得，∴，∴是直角三角形，∴，所以，且．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理在網(wǎng)格中的應(yīng)用，勾股定理逆定理，求不規(guī)則圖形的面積等，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和或差是解題的關(guān)鍵．【題型5勾股定理的實(shí)際應(yīng)用】20．明朝數(shù)學(xué)家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計(jì)算秋千繩索長(zhǎng)度的詞，翻譯為：如圖秋千細(xì)索懸掛于O點(diǎn)，靜止時(shí)豎直下垂，A點(diǎn)為踏板位置，踏板離地高度為1米（米）．將它往前推進(jìn)一些（于點(diǎn)E，且米），踏板升高到點(diǎn)B位置，此時(shí)踏板離地2米（米），求秋千繩（或）的長(zhǎng)度．【答案】【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，設(shè)米，在中利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．【解析】解：設(shè)米，米，米，米，根據(jù)勾股定理可得，，解得．的長(zhǎng)度為米．21．一架云梯長(zhǎng)，按如圖所示的方式斜靠在一面墻上，云梯底端離墻的距離為．(1)求此架云梯的頂端到地面的距離；(2)如果云梯的頂端A下滑了到達(dá)E處，求它的底部B在水平方向移動(dòng)的距離的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）利用勾股定理直接求解即可．（2）如果云梯的頂端A下滑了到達(dá)E處，則，再利用勾股定理求出，再根據(jù)求解即可．【解析】（1）解：，則此架云梯的頂端到地面的距離為.（2）解：如果云梯的頂端A下滑了到達(dá)E處，則，則，∴22．在“歡樂(lè)周末·非遺市集”活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)，諸多非遺項(xiàng)目集中亮相，讓過(guò)往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明買了一個(gè)年畫風(fēng)箏，并進(jìn)行了試放，為了解決一些問(wèn)題，他設(shè)計(jì)了如下的方案：先測(cè)得放飛點(diǎn)與風(fēng)箏的水平距離為15m；根據(jù)手中余線長(zhǎng)度，計(jì)算出的長(zhǎng)度為17m；牽線放風(fēng)箏的手到地面的距離為1.5m．已知點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)．(1)求風(fēng)箏離地面的垂直高度；(2)在余線僅剩9m的情況下，若想要風(fēng)箏沿射線方向再上升12m，請(qǐng)問(wèn)能否成功？請(qǐng)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明．【答案】(1)9.5m(2)不能成功．【分析】本題主要考查勾股定理的運(yùn)用，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，根據(jù)勾股定理即可求解；（2）假設(shè)能上升12m，作圖，根據(jù)勾股定理可得，再根據(jù)題意，即可求解．【解析】（1）解：如圖1所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，，，在中，，．（2）解：不能成功，理由如下：假設(shè)能上升12m，如圖所示，延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接，則，．在中，．，余線僅剩7m，∴，∴不能上升12m，即不能成功．23．某游樂(lè)場(chǎng)部分平面圖如圖所示，點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)在同一直線上，，測(cè)得．(1)求入口到大擺錘的距離；(2)現(xiàn)要在距離大擺錘的處修建游樂(lè)項(xiàng)目旋轉(zhuǎn)木馬（即），點(diǎn)在同一直線上，且使旋轉(zhuǎn)木馬到過(guò)山車的距離最近．求過(guò)山車到旋轉(zhuǎn)木馬的距離．【答案】(1)入口到大擺錘的距離為．(2)過(guò)山車到旋轉(zhuǎn)木馬的距離為．【分析】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，垂線段最短，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）在中，根據(jù)勾股定理，即可求解的值．（2）根據(jù)垂線段最短，可得，再根據(jù)勾股定理，即可求解的值．【解析】（1）解：∵，∴，∵，∴，答：入口到大擺錘的距離為．（2）解：∵使旋轉(zhuǎn)木馬到過(guò)山車的距離最近，∴，∵，，∴，答：過(guò)山車到旋轉(zhuǎn)木馬的距離為．24．現(xiàn)有一艘快艇即將靠岸，當(dāng)快艇到達(dá)點(diǎn)的位置后，關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，在離水面高度為的岸上，工作人員用繩子牽引靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子的長(zhǎng)為．（假設(shè)繩子一直處于繃直狀態(tài)，結(jié)果保留根號(hào)）(1)若工作人員以的速度收繩，后快艇移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，問(wèn)此時(shí)快艇距離岸邊還有多少？(2)若快艇關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)后，保持的速度勻速靠岸，后快艇由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)的位置，工作人員手中的繩子被收上來(lái)多少？【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵；（1）由題意易得，然后根據(jù)勾股定理可進(jìn)行求解；（2）由題意易得，則有，然后根據(jù)勾股定理可進(jìn)行求解．【解析】（1）解：因?yàn)楣ぷ魅藛T以的速度收繩，后船移動(dòng)到點(diǎn)的位置，所以，在中，，所以快艇距離岸邊還有；（2）解：因?yàn)樵谥校?，所以，所以，，所以繩子被收上來(lái)．25．葛藤是一種“刁鉆”的植物，它自己腰桿不硬，為爭(zhēng)奪雨露陽(yáng)光，常常繞著樹(shù)干盤旋而上，它還有一手絕招，就是它繞樹(shù)盤升的路徑總是沿最短路線螺旋上升.難道植物也懂?dāng)?shù)學(xué)？(1)想一想怎樣找出最短路徑；(2)如圖，若樹(shù)干周長(zhǎng)為，葛藤繞一圈升高，則它爬行一周的路程是多少米？【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（）以AB為切口把樹(shù)干側(cè)面展開(kāi)為矩形，則對(duì)角線的長(zhǎng)為最短路徑；（）由勾股定理即可求解；本題考查了平面展開(kāi)——最短路徑問(wèn)題，勾股定理，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）解：如圖，以AB為切口把樹(shù)干側(cè)面展開(kāi)為矩形，則對(duì)角線的長(zhǎng)為最短路徑；（2）解：根據(jù)題意，得，，∴答：它爬行一周的路程是．【題型6勾股定理的證明及其在平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用】26．用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長(zhǎng)度的有關(guān)問(wèn)題，這種方法稱為等面積法，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法，請(qǐng)你用等面積法來(lái)探究下列三個(gè)問(wèn)題：(1)如圖1是著名的“趙爽弦圖”，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，請(qǐng)驗(yàn)證勾股定理：；(2)如圖2，在中，，CD是AB邊上的高，，，求CD的長(zhǎng)度．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查勾股定理的證明以及應(yīng)用；（1）用不同方法表示出外面大正方形的面積，再根據(jù)面積相等列出等式，整理即可證明出結(jié)論；（2）先根據(jù)勾股定理先求出AB，再根據(jù)等面積法即可求出CD的長(zhǎng)度．【解析】（1）解：∵外面大正方形的面積，外面大正方形的面積里面小正方形的面積個(gè)直角三角形的面積，，整理，得；（2）在中，，，，由勾股定理，得，是AB邊上的高，，．27．在一節(jié)數(shù)學(xué)探究課上老師提供了若干張直角邊分別為、的直角三角形紙板，如圖所示．經(jīng)過(guò)同學(xué)們探究后得出如下結(jié)論：選用若下張這樣的紙片可以互不重疊的拼成一個(gè)大正方形，并且內(nèi)部留下一個(gè)“空隙”是一個(gè)較小的正方形，圖是同學(xué)們的一種拼法．(1)若圖中大正方形的面積是“空隙”小正方形面積的倍，求的值；(2)請(qǐng)你選擇若干張紙片拼出一個(gè)符合探究結(jié)論的圖形（與圖不同），畫出示意圖并直接用含的代數(shù)式表示大正方形、小正方形的面積．【答案】(1)；(2)畫圖見(jiàn)解析；大正方形面積為，“空隙”小正方形面積．【分析】（）根據(jù)題意列出代數(shù)式，再由大正方形的面積是“空隙”小正方形面積的倍，得出，然后求解即可；（）根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)圖形求出面積即可；本題主要考查了完全平方公式，勾股定理的幾何背景等知識(shí)，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）解：由圖可知，大正方形的面積為，“空隙”小正方形面積，∵大正方形的面積是“空隙”小正方形面積的倍，∴，解得：，，∵，∴；（2）解：如圖，∴大正方形面積為，“空隙”小正方形面積．28．我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖1所示“趙爽弦圖”（邊長(zhǎng)為c的大正方形中放四個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c）．(1)如圖1，請(qǐng)用兩種不同方法表示圖中陰影部分面積．方法1：______；方法2：______；根據(jù)以上信息，可以得到等式：______；(2)小亮將“弦圖”中的4個(gè)三角形進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)變換，得到圖2，請(qǐng)利用圖2證明勾股定理；(3)如圖3，將圖2的2個(gè)三角形進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)變換，若，，求陰影部分的面積．【答案】(1)；；(2)見(jiàn)解析(3)27【分析】本題考查了勾股定理的證明與運(yùn)用，靈活掌握等面積法在證明勾股定理中的作用是解題的關(guān)鍵．（1）方法1：求得小正方形的邊長(zhǎng)為，方法2：大正方形的面積減4個(gè)直角三角形的面積，據(jù)此計(jì)算即可；（2），列式計(jì)算即可證明；（3）先用勾股定理計(jì)算出c，再利用計(jì)算面積即可．【解析】（1）解：方法1：；方法2：；∵，即，故；根據(jù)以上信息，可以得到等式：；故答案為：；；；（2）解：∵，即，整理得，故；（3）解：如圖，，∵，，∴，則，∴，故陰影部分的面積為27．29．閱讀一段文字，再回答下列問(wèn)題：已知在平面內(nèi)兩點(diǎn)，，則該兩點(diǎn)間距離公式為，同時(shí)，當(dāng)兩點(diǎn)在同一坐標(biāo)軸上或所在直線平行于x軸、平行于y軸時(shí)，兩點(diǎn)間的距離公式可分別化簡(jiǎn)成和．(1)若已知兩點(diǎn)，，試求A，B兩點(diǎn)間的距離；(2)已知點(diǎn)M，N在平行于y軸的同一條直線上，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為7，點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為，試求M，N兩點(diǎn)間的距離．【答案】(1)(2)9【分析】本題考查兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是巧妙的運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求出任意兩點(diǎn)間的距離．（1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)點(diǎn)，在平行于軸的直線上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為7，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，可以利用垂直于軸的距離公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】（1）解：點(diǎn)，，，即，兩點(diǎn)間的距離是；（2）解：點(diǎn)，在平行于軸的直線上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為7，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，即，兩點(diǎn)間的距離是9．【題型7勾股定理選擇、填空題綜合】30．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（

）A．1，2，3 B．4，6，8 C．，， D．5，12，13【答案】D【分析】本題考查了勾股數(shù)的定義，熟練掌握勾股數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股數(shù)是滿足較小的兩個(gè)數(shù)的平方之和等于最大的數(shù)的平方的一組正整數(shù)，據(jù)此逐項(xiàng)分析即可作答．【解析】解：A、，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；B、，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；C、，，不是正整數(shù)，故該選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；D、，故該選項(xiàng)是正確的；故選：D．31．已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3、4．則第三邊長(zhǎng)為．【答案】5或【分析】已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)，但沒(méi)有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論．【解析】解：①長(zhǎng)為3的邊是直角邊，長(zhǎng)為4的邊是斜邊時(shí)，第三邊的長(zhǎng)為：；②長(zhǎng)為3、4的邊都是直角邊時(shí)，第三邊的長(zhǎng)為：；∴第三邊的長(zhǎng)為：或5，故答案為：或5．32．木工師傅想利用木條制作一個(gè)直角三角形，那么下列各組數(shù)據(jù)不符合直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（

）A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，15，17【答案】D【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【解析】解：A、∵32+42=52，∴能夠成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵62+82=102，∴能夠成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵52+122=132，∴能夠成直角三角形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵72+152≠172，∴不能夠成直角三角形，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用．理解判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．33．已知，如圖所示，Rt△ABC的周長(zhǎng)為4+23，斜邊AB的長(zhǎng)為23，則Rt△ABC的面積為．【答案】1.【分析】設(shè)AC=a，BC=b，根據(jù)題意列出關(guān)于a、b的方程組，然后解方程得到ab的值，再利用三角形的面積公式求解即可.【解析】設(shè)AC=a，BC=b，由題意得，∴，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=12+2ab=16，∴ab=2，則Rt△ABC的面積為ab=1.故答案為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，解此題的關(guān)鍵在于利用勾股定理列出方程組，然后求得ab的值.34．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻壁，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為米，頂端距離地面米若梯子底端位置保持不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面米，則小巷的寬度為(

)A．米 B．米 C．2米 D．米【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理求出梯子的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得出小巷的寬度.【解析】由題意可得：，在中，，米，，，，，，小巷的寬度為（米）.故選.【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.35．如圖，在矩形中，在數(shù)軸上，若以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M表示的數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用矩形的性質(zhì)得AD=BC=1，再由勾股定理求出AC的長(zhǎng)，最后根據(jù)AM=AC，可得答案．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=1，∠ABC=90°在Rt△ABC中，AC=，∴AM=AC=，∴點(diǎn)M表示的數(shù)是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸等知識(shí)，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．36．在中，，，則．【答案】50【分析】直接利用勾股定理即可求解．【解析】解：如圖；，，，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的使用．37．已知三角形三邊長(zhǎng)為正整數(shù)，則此三角形是三角形．【答案】直角【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形判定則可．如果沒(méi)有這種關(guān)系，這個(gè)三角形就不是直角三角形．【解析】解：∵==，====，∴，∴此三角形是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理．掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．38．如圖，在高為3米，斜坡長(zhǎng)為5米的樓梯臺(tái)階上鋪地毯，則地毯的長(zhǎng)度至少要（）A．4米 B．5米 C．6米 D．7米【答案】D【分析】先求出AC的長(zhǎng)，再利用平移的知識(shí)即可得出地毯的長(zhǎng)度．【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，∴AC＝＝4米，∴可得地毯長(zhǎng)度＝AC+BC＝7米，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用及平移的知識(shí)，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度是解答本題的關(guān)鍵．39．如圖，在中，平分，平分，且交于，若，則的值為A．36 B．9 C．6 D．18【答案】A【分析】先根據(jù)角平分線的定義、角的和差可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)、等量代換可得，然后根據(jù)等腰三角形的定義可得，從而可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【解析】平分，平分，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的定義、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等腰三角形的定義是解題關(guān)鍵．【題型8勾股定理、全等三角形綜合難點(diǎn)分析】40．如圖，用一副三角板擺放三種不同圖形．在中，，；中，，．(1)如圖，當(dāng)頂點(diǎn)擺放在線段上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，并說(shuō)明理由；(2)如圖，當(dāng)頂點(diǎn)在線段DE上且頂點(diǎn)在線段上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，猜想線段、、的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖，當(dāng)頂點(diǎn)在線段DE上且頂點(diǎn)在線段上時(shí)，若，，連接CE，則的面積為．【答案】(1)，見(jiàn)解析(2)，見(jiàn)解析(3)10【分析】（1）利用、互余，、互余可推得，再根據(jù)“角角邊”即可證明；（2）由、互余，、互余推得，再根據(jù)“角角邊”即可證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可推得、、的數(shù)量關(guān)系；（3）作延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，同理證明后，求得垂線的長(zhǎng)度，根據(jù)即可得解．【解析】（1）解：，，，，又，，，在和中，，．（2）解：猜想，證明如下：，，，，，，，即，在和中，，，，，，．（3）解：作延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，，，，，，，在和中，，，，，中，，，，，．故答案為10．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握一線三等角模型的全等判定方法．41．在中，，，點(diǎn)是直線AB上一點(diǎn)，作于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)如圖1，點(diǎn)在線段AB上，BH交AC于點(diǎn)，若為MB的中點(diǎn)，，則______；(2)如圖2，取AC中點(diǎn)，連接DH．①若點(diǎn)在線段AB上，求證：②若點(diǎn)在直線AB上，，，求AB的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)①見(jiàn)解析②【分析】（1）在上截取，連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出，根據(jù)等腰三角形的判定推出，根據(jù)線段的和差即可得解；（2）①連接，根據(jù)垂直的定義及直角三角形的性質(zhì)求出，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)推出，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推出，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出，，進(jìn)而推出是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得解；②證明得設(shè)可得，由列方程求出x的值即可求解．【解析】（1）如圖1，在上截取，連接，

∵，∴，∵F為的中點(diǎn)，∴，∵于點(diǎn)F，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：；（2）①證明：如圖2，連接，

∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴；②由①知，,,又又，，設(shè)可得，由勾股定理得，，解得，．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練運(yùn)用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．42．【問(wèn)題情境】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)到E，使，連接．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

（1）由已知和作圖能得到，依據(jù)是___________．A．SSS

B．ASA

C．AAS

D．SAS（2）由“三角形的三邊關(guān)系”可求得的取值范圍是___________．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【初步運(yùn)用】（3）如圖2，是的中線，交于E，交于F，且．若，，求線段的長(zhǎng)．【靈活運(yùn)用】（4）如圖3，在中，，D為中點(diǎn)，，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，試猜想線段，，三者之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）D；（2）；（3）；（4）線段、，之間的等量關(guān)系為：【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系以及勾股定理的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的判定方法證明即可解答；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的三邊關(guān)系計(jì)算即可；（3）延長(zhǎng)到M，使，連接BM，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（4）延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連結(jié)，證明，得到，根據(jù)勾股定理解答．【解析】解：（1）在和中，，∴，故選D；（2）∵，∴，在中，，∴∴；（3）延長(zhǎng)到M，使，連接，

∵，，∴，∵AD是中線，∴，∵在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，即；（4）線段之間的等量關(guān)系為：．證明：如圖，延長(zhǎng)到點(diǎn)G，使，連結(jié)，

∵，∴，∵D是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴中，，∴．43．已知：在中，，．

(1)如圖1，若點(diǎn)D在線段上，連接，在的右側(cè)作，．①線段和線段存在何種數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．②請(qǐng)直接寫出線段、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系_________．(2)如圖2，若點(diǎn)D在線段延長(zhǎng)線上，連接，在的右側(cè)作，，則線段、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系是_________．(3)如圖3，若點(diǎn)D在直線上，連接，在的左側(cè)作，當(dāng)，時(shí)，的面積為_(kāi)________．【答案】(1)①；②(2)(3)或【分析】（1）①連接，證明即可得到；②由全等可得，，從而得出，再由勾股定理即可得到答案；（2）連接，，證明即可得到，，從而得出，再由勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出答案；（3）分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，連接；當(dāng)點(diǎn)在之間時(shí)，連接，類比（2）證明，分別利用三角形全等的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【解析】（1）解：①，理由如下：如圖，連接，

∵，，∴，∴，即，在和中，，∴，∴；②∵在中，，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）如圖，連接，

∵，，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，，∵在中，，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，

∴，故答案為：；（3）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，連接，

∵，，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∵在中，，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；如圖，當(dāng)點(diǎn)在之間時(shí)，連接，

同理可證得：，∴，∵在中，，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；綜上所述，的面積為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，采用分類討論的思想解題，是解此題的關(guān)鍵．過(guò)關(guān)檢測(cè)一、單選題1．下列三個(gè)數(shù)中，能組成一組勾股數(shù)的是（

）A．，， B．，，C．12，15，9 D．，，【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理的定義：滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)