2025年北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第08講 三角形的證明 單元綜合檢測(cè)

第08講三角形的證明單元綜合檢測(cè)（重點(diǎn)）一、單選題1．兩邊長(zhǎng)3和7的等腰三角形的周長(zhǎng)是（

）A．17 B．13 C．17或13 D．122．在中，，，，則的長(zhǎng)是（

）A．6 B．4 C．3 D．23．如圖，，，要根據(jù)“”證明，還應(yīng)添加一個(gè)條件是（

）A． B． C． D．4．在中，所對(duì)的邊分別為，下列選項(xiàng)中能判定是直角三角形的是（

）A． B．C． D．5．如圖，平分，于點(diǎn)，點(diǎn)在上．若，，則的面積為（）A．10 B．6 C．5 D．36．如圖，等邊的周長(zhǎng)為，則它的高為（

）A． B． C． D．7．如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．8．如圖，對(duì)于，小穎作如下操作：①分別以A、C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑在的兩側(cè)畫(huà)弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)；②作直線交于E、F兩點(diǎn)；連接，恰好，已知于D，周長(zhǎng)為16，，則長(zhǎng)為（

）A．5 B．8 C．9 D．109．將一副直角三角板和一把寬度為的直尺按如圖方式擺放：先把和角的頂點(diǎn)及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點(diǎn)落在直尺下沿上，這兩個(gè)三角板的斜邊分別交直尺上沿于A，B兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（）A． B． C．3 D．10．如圖，已知等邊和等邊，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接BM；下列結(jié)論：①；②；③BM平分；（4），其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題11．如圖，在中，，，是的平分線，則．12．到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形的交點(diǎn)；到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三角形的交點(diǎn)．13．如圖，點(diǎn)在的平分線上，于點(diǎn)，且，如果是射線上一點(diǎn)，那么長(zhǎng)度的最小值是．14．若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，則它的底角的度數(shù)為．15．如圖，在中，邊上的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，，的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為．

16．如圖，在中，，點(diǎn)在上，作交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)度為．17．如圖，是等邊三角形，是邊上的高，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，的度數(shù)是．18．如圖，在中，，點(diǎn)D在內(nèi)，平分，連接，把沿折疊，落在處，交于F，恰有．若，，則．三、解答題19．如圖，在中，，且于點(diǎn)，是AB的延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，是CB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），若，求證：．20．如圖，已知．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．21．如圖，是線段的垂直平分線，，是上的兩點(diǎn)，求證：．

22．如圖，中，，長(zhǎng)為，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，，(1)求證：；(2)求線段的長(zhǎng)．23．如圖，在中．(1)尺規(guī)作圖：作的平分線BD，交于點(diǎn)D；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）(2)尺規(guī)作圖：在（1）問(wèn)所得的角平分線上取一點(diǎn)，使得；(3)求點(diǎn)D到AB的距離．24．上午8時(shí)，一條漁船從港口A出發(fā)，以每小時(shí)15海里的速度向正北方向航行，上午10時(shí)到達(dá)海島B處．從望海島C，測(cè)得（如圖所示）．(1)求海島B到海島C的距離；(2)這條船繼續(xù)向正北航行，問(wèn)什么時(shí)間小船與燈塔C的距離最短？(3)漁船從海島B按原來(lái)的方向繼續(xù)航行30海里（記為點(diǎn)D處）出現(xiàn)了故障，它向海島B和海島C都發(fā)出了求救信號(hào)．接到求救信號(hào)后，海島B派出的救援隊(duì)立即以每小時(shí)20海里的速度前往，海島C派出的救援隊(duì)晚出發(fā)10分鐘，速度為每小時(shí)25海里，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明兩支救援隊(duì)誰(shuí)先到達(dá)漁船處？25．如圖，在等腰直角三角形中，，，以為邊作等邊三角形，點(diǎn)，分別在線段，上，，，與相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)求證：是等邊三角形；(2)試判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．26．如圖，已知等腰和等腰，，點(diǎn)在內(nèi)部，連接，，，其中，，．(1)求證：；(2)求的大?。?3)求的長(zhǎng)．27．如圖①，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與直線交于點(diǎn)．(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)：A（，），B（，）；(2)點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，若的面積為6，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖②，過(guò)x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)作直線軸，點(diǎn)Q在直線l上，若以B，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，請(qǐng)求出m的值．28．【問(wèn)題提出】如圖1，、都是等邊三角形，求證：．【方法提煉】這兩個(gè)共頂點(diǎn)的等邊三角形，其在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形，即．如果把小等邊三角形的一邊看作“小手”，大等邊三角形的一邊看作“大手”，這樣就類(lèi)似“大手拉著小手”，不妨稱(chēng)之為“手拉手”基本圖形，當(dāng)圖形中只有一個(gè)等邊三角形時(shí)，可嘗試在它的一個(gè)頂點(diǎn)作另一個(gè)等邊三角形，構(gòu)造“手拉手”基本圖形，從而解決問(wèn)題．【方法應(yīng)用】(1)等邊三角形中，是邊上一定點(diǎn)，是直線上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作等邊：等邊三角形，連接．①如圖2，若點(diǎn)在邊上，線段、、之間的關(guān)系為_(kāi)_________（直接寫(xiě)出結(jié)論）．②如圖3，若點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，試證明線段、、之間的關(guān)系．(2)如圖4，等腰中，，，，且交于點(diǎn)，以為邊作等邊，直線交直線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，寫(xiě)出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并加以說(shuō)明．(3)如圖5，在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊在的下方作等邊三角形，連接，則是否有最小值，如有，求出它的最小值，沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．第08講三角形的證明單元綜合檢測(cè)（重點(diǎn)）一、單選題1．兩邊長(zhǎng)3和7的等腰三角形的周長(zhǎng)是（

）A．17 B．13 C．17或13 D．12【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒(méi)有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類(lèi)進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵．分類(lèi)討論，運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【解析】解：當(dāng)腰為7時(shí)，周長(zhǎng)；當(dāng)腰長(zhǎng)為3時(shí)，，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知此情況不成立；根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知：等腰三角形的腰長(zhǎng)只能為7，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)是17．故選：A．2．在中，，，，則的長(zhǎng)是（

）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】此題考查了含角直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半即可得到的的長(zhǎng)．【解析】解：在中，，，，∴，故選：A3．如圖，，，要根據(jù)“”證明，還應(yīng)添加一個(gè)條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定定理．根據(jù)垂直定義求出，再根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可．【解析】解：還需要添加的條件是，理由是：∵，，，在和中，，∴，故選：C．4．在中，所對(duì)的邊分別為，下列選項(xiàng)中能判定是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)求出最大角，勾股定理逆定理，等腰三角形依次判斷四個(gè)選項(xiàng)即可．【解析】A、∵，∴最大角∴不是直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意．B、∵，∴∴不是直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意．C、∵，∴∴∴是直角三角形，故選項(xiàng)符合題意．D、∵，∴是等腰三角形，不一定是直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意．故選C．5．如圖，平分，于點(diǎn)，點(diǎn)在上．若，，則的面積為（）A．10 B．6 C．5 D．3【答案】C【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算，得到答案．熟知角平分線的性質(zhì)是關(guān)鍵．【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，平分，，，，，，故選：．6．如圖，等邊的周長(zhǎng)為，則它的高為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得，由三線合一可得，由垂線的性質(zhì)可得，由等邊的周長(zhǎng)為可得，于是可得，在中，根據(jù)勾股定理可得，于是得解．【解析】解：是等邊三角形，，又，，，，，，在中，根據(jù)勾股定理可得：，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，三線合一，垂線的性質(zhì)，線段的和與差，等式的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么．以及勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理、勾股定理的逆定理計(jì)算，判斷即可．【解析】解：A、∵，本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；B、∵，本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；C、∵，本選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤，符合題意；D、∵∴，∴是直角三角形，且，本選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；故選：C．8．如圖，對(duì)于，小穎作如下操作：①分別以A、C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑在的兩側(cè)畫(huà)弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)；②作直線交于E、F兩點(diǎn)；連接，恰好，已知于D，周長(zhǎng)為16，，則長(zhǎng)為（

）A．5 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．由作圖痕跡知直線是線段的垂直平分線，推出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得，據(jù)此求解即可．【解析】解：由作圖痕跡知直線是線段的垂直平分線，∴，∵，∴，∵，，∴，∵周長(zhǎng)為16，，∴，即，∴，故選：A．9．將一副直角三角板和一把寬度為的直尺按如圖方式擺放：先把和角的頂點(diǎn)及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點(diǎn)落在直尺下沿上，這兩個(gè)三角板的斜邊分別交直尺上沿于A，B兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由含30度角直角三角形的性質(zhì)可得，由勾股定理可得的長(zhǎng)，即可得到結(jié)論．【解析】解：如圖，在中，，

∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴．故選：A．10．如圖，已知等邊和等邊，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接BM；下列結(jié)論：①；②；③BM平分；（4），其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的判定等知識(shí)，證明即可判斷①，進(jìn)而根據(jù)全等三角三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得即可判斷②，作于N，于F，進(jìn)而證明，得出，根據(jù)角平分線的判定即可判斷③，在上截取，連接．證明得出為等邊三角形，則，進(jìn)而判斷④，即可求解．【解析】證明：①∵等邊和等邊，∴，，，在和中，，∴，∴，故①正確；②∵，∴，∵，則，故②正確；③作于N，于F，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴平分，故③正確；④在上截取，連接．由②知，∴，由③知：平分，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴為等邊三角形，則，故，故④正確；正確的有①②③④，共4個(gè)．故答案為：D．二、填空題11．如圖，在中，，，是的平分線，則．【答案】5【分析】本題考查三線合一，根據(jù)等腰三角形三線合一，即可得出結(jié)果．【解析】解：，的平分線交邊于點(diǎn)，，．故答案為：512．到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形的交點(diǎn)；到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三角形的交點(diǎn)．【答案】三邊的中垂線三個(gè)內(nèi)角的角平分線【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)可得答案．【解析】解：∵到線段兩端點(diǎn)距離都相等的點(diǎn)在這條線段的中垂線上，∴到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離都相等的點(diǎn)是三角形三邊的中垂線的交點(diǎn)，∵角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等，∴到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三角形的三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，故答案為：三邊的中垂線，三個(gè)內(nèi)角的角平分線．13．如圖，點(diǎn)在的平分線上，于點(diǎn)，且，如果是射線上一點(diǎn)，那么長(zhǎng)度的最小值是．【答案】1【分析】過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OB于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答即可．【解析】解：過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OB于點(diǎn)E，∵點(diǎn)C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA于點(diǎn)D，且CD＝1，∴CE＝CD＝1，即CE長(zhǎng)度的最小值是1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．14．若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為，則它的底角的度數(shù)為．【答案】或【分析】本題考查等腰三角形的定義、三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是注意分情況討論，避免漏解．分是等腰三角形的底角或頂角兩種情況，利用三角形內(nèi)角和定理求解．【解析】解：①是等腰三角形的底角，②當(dāng)是等腰三角形的頂角時(shí)，它的底角的度數(shù)為：，符合要求；故答案為：或．15．如圖，在中，邊上的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，，的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為．

【答案】/9厘米【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等”可得，再利用的周長(zhǎng)為，即可求出的長(zhǎng)．【解析】解：∵是的垂直平分線，∴，∴的周長(zhǎng)，∵，的周長(zhǎng)為，∴，解得，故答案為：．16．如圖，在中，，點(diǎn)在上，作交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)度為．【答案】6【分析】本題考查勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，連接，得出，得出，求出，設(shè)，則，，在中，，解得：，即可得出答案．【解析】解：連接，∵，，，，∴，∴，∵，∴，在中，，，∴，設(shè)，則，，在中，，解得：，∴，故答案為：6．17．如圖，是等邊三角形，是邊上的高，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，的度數(shù)是．【答案】【分析】根據(jù)等邊三角形的對(duì)稱(chēng)性，等邊三角形的性質(zhì)，線段和最小原理計(jì)算即可．本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和對(duì)稱(chēng)性，垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的對(duì)稱(chēng)性是解題的關(guān)鍵．【解析】解：∵是等邊三角形，是邊上的高，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，∴，，∴直線為的一條對(duì)稱(chēng)軸，∴點(diǎn)B，點(diǎn)C關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，連接，交于點(diǎn)，則點(diǎn)為取最小值時(shí)的位置點(diǎn)，此時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，∵是等邊三角形，是邊上的高，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，∴，∴直線是線段的垂直平分線，∴，∴，∴，∴，故答案為：．18．如圖，在中，，點(diǎn)D在內(nèi)，平分，連接，把沿折疊，落在處，交于F，恰有．若，，則．【答案】【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)可得出，，，證明是等腰直角三角形，可求出，則根據(jù)三角形面積求出的值，即可得解．【解析】解：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，，平分，，，，，，，，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，是等腰直角三角形，，，在中，，，，，,．故答案為：．三、解答題19．如圖，在中，，且于點(diǎn)，是AB的延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，是CB上的一動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），若，求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，通過(guò)“”證明，即可作答．【解析】證明：∵，在和中，∴20．如圖，已知．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定：（1）根據(jù)，，即可求得答案；（2）根據(jù)，可得，進(jìn)而可求得．【解析】（1）∵，∴．∴．∴．（2）∵，∴，．∴．∴．21．如圖，是線段的垂直平分線，，是上的兩點(diǎn)，求證：．

【答案】證明見(jiàn)解析【分析】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，，再由等邊對(duì)等角得到，，根據(jù)角的和差即可證明．【解析】證明：是線段的垂直平分線，，．，，∴，即．22．如圖，中，，長(zhǎng)為，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，，(1)求證：；(2)求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題主要考查勾股定理、勾股定理的逆定理.（1）根據(jù)，可求得；（2）設(shè)，則，根據(jù)，可得關(guān)于的一元二次方程．【解析】（1）∵，，，∴．∴．∴．（2）設(shè)，則．∵，∴．∵，∴，解得：．∴．23．如圖，在中．(1)尺規(guī)作圖：作的平分線BD，交于點(diǎn)D；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）(2)尺規(guī)作圖：在（1）問(wèn)所得的角平分線上取一點(diǎn)，使得；(3)求點(diǎn)D到AB的距離．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖及性質(zhì)、線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．（1）以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與相交；再以兩交點(diǎn)為圓心，同一半徑畫(huà)弧即可完成作圖；（2）作出線段的垂直平分線即可；（3）作，證，得，；根據(jù)，即可求解；【解析】（1）解：如圖所示：BD即為所求（2）解：如圖所示：點(diǎn)即為所求（3）解：作，如圖所示：∵BD平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，解得：，∴點(diǎn)D到AB的距離為．24．上午8時(shí)，一條漁船從港口A出發(fā)，以每小時(shí)15海里的速度向正北方向航行，上午10時(shí)到達(dá)海島B處．從望海島C，測(cè)得（如圖所示）．(1)求海島B到海島C的距離；(2)這條船繼續(xù)向正北航行，問(wèn)什么時(shí)間小船與燈塔C的距離最短？(3)漁船從海島B按原來(lái)的方向繼續(xù)航行30海里（記為點(diǎn)D處）出現(xiàn)了故障，它向海島B和海島C都發(fā)出了求救信號(hào)．接到求救信號(hào)后，海島B派出的救援隊(duì)立即以每小時(shí)20海里的速度前往，海島C派出的救援隊(duì)晚出發(fā)10分鐘，速度為每小時(shí)25海里，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明兩支救援隊(duì)誰(shuí)先到達(dá)漁船處？【答案】(1)海島B到海島C的距離為30海里(2)上午11時(shí)，小船與燈塔C的距離最短(3)救援隊(duì)先到【分析】本題考查三角形的外角，等腰三角形和等邊三角形的判定：（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出，進(jìn)而得到即可；（2）過(guò)C作于H，先求出，根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)求出，進(jìn)而即可解答；（3）證明為等邊三角形，進(jìn)而得到的長(zhǎng)，根據(jù)時(shí)間等于路程除以速度，進(jìn)行求解即可得出結(jié)論．【解析】（1）解：由題意，得：海里；∵，∴，∴∴海里；答：海島B到海島C的距離為30海里；（2）解：過(guò)C作于點(diǎn)H，又，∴，∴（海里），∴從B處到H處需要小時(shí)，∴答：小船與燈塔C的距離最短時(shí)，此時(shí)為上午時(shí)；（3）解∶由題意：海里，由（1）知：海里，∴，∵，∴為等邊三角形，∴海里，∴救援隊(duì)所用時(shí)間為（小時(shí)），救援隊(duì)所用時(shí)間為（小時(shí)），∵，∴救援隊(duì)先到．25．如圖，在等腰直角三角形中，，，以為邊作等邊三角形，點(diǎn)，分別在線段，上，，，與相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)求證：是等邊三角形；(2)試判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）證明，得到，進(jìn)而得到，推出，即可證明；（2）連接，由（1）知，得到，證明，得到，，推出，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【解析】（1）證明：是等邊三角形，，，在和中，，，，，，，，，，，是等邊三角形；（2）解：如圖，連接，由（1）知，，是等邊三角形，，在與中，，，，，，在中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)．26．如圖，已知等腰和等腰，，點(diǎn)在內(nèi)部，連接，，，其中，，．(1)求證：；(2)求的大??；(3)求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)(3)【分析】（1）運(yùn)用證明解題即可；（2）利用勾股定理求出長(zhǎng)，然后利用勾股定理的逆定理得到，解題即可；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先利用勾股定理求出，然后在中利用勾股定理解題即可．【解析】（1）證明：∵和是等腰直角三角形，，，，．（2）解：在中，，，在中，，，，．（3）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，由勾股定理可得，即，解得：或（舍去），，，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．27．如圖①，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，與直線交于點(diǎn)．(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)：A（，），B（，）；(2)點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，若的面積為6，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖②，過(guò)x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)作直線軸，點(diǎn)Q在直線l上，若以B，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，請(qǐng)求出m的值．【答案】(1)，；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；(3)存在，或4或3【分析】本題主要考查了求一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，（1）把代入求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，把x=0代入求得點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（2）過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，由的面積為6，求的長(zhǎng)度，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）由條件分，，，再通過(guò)全等三角形的判定和性質(zhì)求出邊的長(zhǎng)度，從而得到的值；熟練掌握其性質(zhì)，合理添加輔助線是解決此題的關(guān)鍵．【解析】（1）解：把代入，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，把代入，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：，；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為E，的面積為6，，即，解得，點(diǎn)，,點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）解：存在以為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，理由如下，①當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)C作軸，垂足為M，交直線l于點(diǎn)N，軸，直線軸，直線，，，，，，，，，，，，，②當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)C作軸，垂足為M，過(guò)點(diǎn)Q作軸，垂足為N，同理可證，，，，，當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作直線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作直線，垂足為，同理可證，，，設(shè)，，，，，，解得，，綜上所述，若以B，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，或4或3．28．【問(wèn)題提出】如圖1，、都是等邊三角形，求證：．【方法提煉】這兩個(gè)共頂點(diǎn)的等邊三角形，其在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等