2019屆浙江專版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十四章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入講義

第十四章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入

高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算1.形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中i是虛數(shù)單位,i2=-1.把復(fù)數(shù)a+

bi的形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.記作z=a+bi(a,b∈R).當(dāng)且僅當(dāng)①

b=0

時(shí),z為實(shí)數(shù);當(dāng)且僅當(dāng)②

a=b=0

時(shí),z=0;當(dāng)③

b≠0

時(shí),z叫做虛數(shù);

當(dāng)④

a=0且b≠0

時(shí),z叫做純虛數(shù).a與b分別叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的實(shí)部和

虛部.2.兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等?這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.即如果a,b,c,d∈

R,那么a+bi=c+di?a=c且b=d;a+bi=0?⑤

a=b=0

.知識(shí)清單3.

4.復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算按以下法則進(jìn)行,設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,

d∈R,c+di≠0):加減法:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i;乘法:(a+bi)(c+di)=⑥(ac-bd)+(ad+bc)i

;除法:

=

=⑦

.5.復(fù)數(shù)加法、乘法滿足交換律、結(jié)合律及乘法對(duì)加減法的分配律,實(shí)數(shù)

的正整數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算也能推廣到復(fù)數(shù)集中,即zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=

·

.(m,n∈N*)6.(1)i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i,其中k∈N*.(2)常用的i的性質(zhì):(1±i)2=±2i;

=i;

=-i;in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).7.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模,也就是向量

的模,即有向線段

的長(zhǎng)度,計(jì)算公式:|a+bi|=

.當(dāng)b=0時(shí),復(fù)數(shù)a+bi就是實(shí)數(shù).由上面的公式,有|a|=

.這與以前關(guān)于實(shí)數(shù)的絕對(duì)值及算術(shù)平方根的規(guī)定一致,可見(jiàn),復(fù)數(shù)的模就是實(shí)數(shù)的絕對(duì)

值概念的擴(kuò)充.z=a+bi與

=a-bi(a,b∈R)互為共軛復(fù)數(shù),且z+

=2a,z-

=2bi,z·

=|z|2=|

|2,運(yùn)算性質(zhì)有:

=

±

,

=

·

,

=

(z2≠0).9.設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則|z|=

,且有:(1)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|;(2)|z|=1?z·

=1;(3)|z|2=|

|2=|z2|=|

|=z·

.8.共軛復(fù)數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)復(fù)數(shù)概念的解題策略掌握一個(gè)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的充要條件,兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)

數(shù)的充要條件,兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件.明確復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化是解決

復(fù)數(shù)問(wèn)題的最基本的思想方法.例1

(2017浙江嘉興基礎(chǔ)測(cè)試,2)已知復(fù)數(shù)

(i是虛數(shù)單位)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a=

()A.-2

B.-1

C.0

D.2方法技巧方法1A解題導(dǎo)引

將復(fù)數(shù)

化為m+ni(m,n∈R)的形式→由純虛數(shù)定義得a的值解析∵

=

=

是純虛數(shù),∴a+2=0,2-a≠0,∴a=-2.評(píng)析

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和純虛數(shù)的定義,考查運(yùn)算求解能力.復(fù)數(shù)運(yùn)算的解題策略復(fù)數(shù)的代數(shù)形式運(yùn)算類似多項(xiàng)式的運(yùn)算,加法類似合并同類項(xiàng),乘法類

似多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式,除法類似分母有理化(實(shí)數(shù)化),但復(fù)數(shù)運(yùn)算有它獨(dú)特

的技巧,如(1±i)2=±2i,i3=-i等.例2

(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬卷一,2)已知復(fù)數(shù)z=1+i(其中i是虛數(shù)單

位),則

=

()A.

-

iB.

+

iC.-

-

iD.-

+

i方法2A解題導(dǎo)引

把復(fù)數(shù)

化為

-z2→由復(fù)數(shù)的運(yùn)算得結(jié)論解析本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.

=

-z2=

-(1+i)2=

-2i=

-

i,故選A.復(fù)數(shù)幾何意義的解題策略復(fù)數(shù)的幾何意義有下面三個(gè)結(jié)論.(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)一一對(duì)應(yīng).(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)與平面向量

(O(0,0),Z(a,b))一一對(duì)應(yīng).(3)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=

表示點(diǎn)Z(a,b)到原點(diǎn)O(0,0)的距離.例3

(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,1)已知復(fù)數(shù)z=a-1+(a2-2)i在復(fù)

平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第四象限,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()A.(-

,1)