2019屆江蘇專(zhuān)用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第七章不等式7.3二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題講義文蘇教版

§7.3二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的

線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類(lèi)深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的

.我們把直線(xiàn)畫(huà)成虛線(xiàn)以表示區(qū)域

邊界直線(xiàn).當(dāng)我們?cè)谧鴺?biāo)系中畫(huà)不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域時(shí)，此區(qū)域應(yīng)

邊界直線(xiàn)，則把邊界直線(xiàn)畫(huà)成

.(2)由于對(duì)直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)，把它的坐標(biāo)(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符號(hào)都

，所以只需在此直線(xiàn)的同一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)作為測(cè)試點(diǎn)，由Ax0＋By0＋C的

即可判斷Ax＋By＋C>0表示的直線(xiàn)是Ax＋By＋C＝0哪一側(cè)的平面區(qū)域.知識(shí)梳理平面區(qū)域不包括包括實(shí)線(xiàn)相同符號(hào)2.線(xiàn)性規(guī)劃相關(guān)概念名稱(chēng)意義約束條件由變量x，y組成的一次不等式線(xiàn)性約束條件由x，y的

不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求

或

的函數(shù)線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的

解析式一次最大值最小值一次可行解滿(mǎn)足

的解可行域所有

組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得

或

的可行解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題在線(xiàn)性約束條件下求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的

或______問(wèn)題線(xiàn)性約束條件可行解最大值最小值最大值最小值3.重要結(jié)論畫(huà)二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線(xiàn)定界，特殊點(diǎn)定域：(1)直線(xiàn)定界：不等式中無(wú)等號(hào)時(shí)直線(xiàn)畫(huà)成虛線(xiàn)，有等號(hào)時(shí)直線(xiàn)畫(huà)成實(shí)線(xiàn)；(2)特殊點(diǎn)定域：若直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)，特殊點(diǎn)常選原點(diǎn)；若直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，則特殊點(diǎn)常選取(0,1)或(1,0)來(lái)驗(yàn)證.知識(shí)拓展1.利用“同號(hào)上，異號(hào)下”判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域：對(duì)于A(yíng)x＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，則有(1)當(dāng)B(Ax＋By＋C)>0時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€(xiàn)Ax＋By＋C＝0的上方；(2)當(dāng)B(Ax＋By＋C)<0時(shí)，區(qū)域?yàn)橹本€(xiàn)Ax＋By＋C＝0的下方.2.最優(yōu)解和可行解的關(guān)系：最優(yōu)解必定是可行解，但可行解不一定是最優(yōu)解.最優(yōu)解不一定唯一，有時(shí)唯一，有時(shí)有多個(gè).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的交集.(

)(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域一定在直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0的上方.(

)(3)點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)在直線(xiàn)Ax＋By＋C＝0同側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，異側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(

)√×√(4)第二、四象限表示的平面區(qū)域可以用不等式xy<0表示.(

)(5)線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是唯一的.(

)(6)最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解.(

)(7)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線(xiàn)ax＋by－z＝0在y軸上的截距.(

)√×√×考點(diǎn)自測(cè)1.(教材改編)已知點(diǎn)A(1,0)，B(－2，m)，若A，B兩點(diǎn)在直線(xiàn)x＋2y＋3＝0的同側(cè)，則m的取值集合是__________.答案解析因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在直線(xiàn)x＋2y＋3＝0的同側(cè)，所以把點(diǎn)A(1,0)，B(－2，m)代入可得x＋2y＋3的符號(hào)相同，即(1＋2×0＋3)(－2＋2m＋3)>0，解得m>.2.(教材改編)如圖所示，表示陰影部分的二元一次不等式組是__________.答案解析不等式y(tǒng)≤2x＋1表示直線(xiàn)y＝2x＋1下方的平面區(qū)域及直線(xiàn)上的點(diǎn)，不等式x＋2y>4表示直線(xiàn)x＋2y＝4上方的平面區(qū)域，所以這兩個(gè)平面區(qū)域的公共部分就是

所表示的平面區(qū)域.3.(2016·北京改編)若x，y滿(mǎn)足

則2x＋y的最大值為_(kāi)___.答案解析4不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示.令z＝2x＋y，則y＝－2x＋z，作直線(xiàn)2x＋y＝0并平移，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，截距最大，即z取得最大值，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，可得2x＋y的最大值為2×1＋2＝4.幾何畫(huà)板展示4.(教材改編)若

則z＝x－y的最大值為_(kāi)_____.答案解析1根據(jù)題意作出不等式組所表示的可行域如圖陰影部分所示(含邊界).令z＝0，作直線(xiàn)l：y－x＝0.當(dāng)直線(xiàn)l向下平移時(shí)，所對(duì)應(yīng)的z＝x－y的函數(shù)值隨之增大，當(dāng)直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)M時(shí)，z＝x－y取得最大值.頂點(diǎn)M是直線(xiàn)x＋y＝1與直線(xiàn)y＝0的交點(diǎn)，解方程組得頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,0)，代入z＝x－y，得zmax＝1.幾何畫(huà)板展示5.(教材改編)投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)100噸需要資金200萬(wàn)元，需場(chǎng)地200平方米；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)100噸需要資金300萬(wàn)元，需場(chǎng)地100平方米.現(xiàn)某單位可使用資金1400萬(wàn)元，場(chǎng)地900平方米，則上述要求可用不等式組表示為(用x，y分別表示生產(chǎn)A，B產(chǎn)品的噸數(shù)，x和y的單位是百?lài)?.答案解析用表格列出各數(shù)據(jù)

AB總數(shù)產(chǎn)品噸數(shù)xy

資金200x300y1400場(chǎng)地200x100y900所以不難看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1400,200x＋100y≤900.題型分類(lèi)深度剖析題型一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域命題點(diǎn)1不含參數(shù)的平面區(qū)域問(wèn)題例1

(1)不等式組

所表示的平面區(qū)域的面積等于____.答案解析由題意得不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分，A(0，)，B(1,1)，C(0,4)，則△ABC的面積為(2)(教材改編)畫(huà)出二元一次不等式組

表示的平面區(qū)域.解答先畫(huà)出直線(xiàn)x－y＋5＝0(畫(huà)成虛線(xiàn))，∴原點(diǎn)不在x－y＋5<0表示的平面區(qū)域內(nèi)，即x－y＋5<0表示直線(xiàn)x－y＋5＝0左上方點(diǎn)的集合，同理可得：x＋y≥0表示直線(xiàn)x＋y＝0上及其右上方點(diǎn)的集合，x≤3表示直線(xiàn)x＝3上及其左邊的點(diǎn)的集合.故此二元一次不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分所示.取O(0,0)代入x－y＋5＝5>0，命題點(diǎn)2含參數(shù)的平面區(qū)域問(wèn)題例2

(1)(2015·重慶改編)若不等式組

表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，且其面積等于

，則m的值為_(kāi)___.答案解析1不等式組表示的平面區(qū)域如圖，則圖中A點(diǎn)縱坐標(biāo)yA＝1＋m，B點(diǎn)縱坐標(biāo)yB＝

，C點(diǎn)橫坐標(biāo)xC＝－2m，又∵當(dāng)m＝－3時(shí)，不滿(mǎn)足題意，應(yīng)舍去，∴m＝1.∴m＝1或m＝－3，(2)若不等式組

所表示的平面區(qū)域被直線(xiàn)y＝kx＋

分為面積相等的兩部分，則k的值是_____.答案解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.由于直線(xiàn)y＝kx＋

過(guò)定點(diǎn).因此只有直線(xiàn)過(guò)AB中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)y＝kx＋

能平分平面區(qū)域.因?yàn)锳(1,1)，B(0,4)，所以AB中點(diǎn)D.(1)求平面區(qū)域的面積：①首先畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域，若不能直接畫(huà)出，應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問(wèn)題，從而再作出平面區(qū)域；②對(duì)平面區(qū)域進(jìn)行分析，若為三角形應(yīng)確定底與高，若為規(guī)則的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解，若為不規(guī)則四邊形，可分割成幾個(gè)三角形分別求解再求和即可.(2)利用幾何意義求解的平面區(qū)域問(wèn)題，也應(yīng)作出平面圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法去求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)不等式組

表示的平面區(qū)域?yàn)棣福本€(xiàn)y＝kx－1與區(qū)域Ω有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_________.答案解析[3，＋∞)直線(xiàn)y＝kx－1過(guò)定點(diǎn)M(0，－1)，由圖可知，當(dāng)直線(xiàn)y＝kx－1經(jīng)過(guò)直線(xiàn)y＝x＋1與直線(xiàn)x＋y＝3的交點(diǎn)C(1,2)時(shí)，k最小，此時(shí)kCM＝

＝3，因此k≥3，即k∈[3，＋∞).(2)(2016·江蘇徐州四校模擬)若不等式組

表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形及其內(nèi)部，則a的取值范圍是_______.答案解析[5,7)不等式x－y＋5≥0和0≤x≤2表示的平面區(qū)域如圖所示.因?yàn)樵坏仁浇M表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形及其內(nèi)部，所以由圖可知5≤a<7.題型二求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題命題點(diǎn)1求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值例3

(2016·全國(guó)丙卷)若x，y滿(mǎn)足約束條件

則z＝x＋y的最大值為_(kāi)___.答案解析滿(mǎn)足約束條件

的可行域?yàn)橐訟(－2，－1)，B(0,1)，

為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部及邊界，則y＝－x＋z過(guò)點(diǎn)

時(shí)取得最大值.命題點(diǎn)2求非線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最值解答例4

實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足(1)若z＝

，求z的最大值和最小值，并求z的取值范圍；幾何畫(huà)板展示由

作出可行域，如圖中陰影部分所示.z＝

表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，因此

的范圍為直線(xiàn)OB的斜率到直線(xiàn)OA的斜率(直線(xiàn)OA的斜率不存在，即zmax不存在).由

得B(1,2)，∴kOB＝

＝2，即zmin＝2，∴z的取值范圍是[2，＋∞).(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值與最小值，并求z的取值范圍.解答z＝x2＋y2表示可行域內(nèi)的任意一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)之間距離的平方.因此x2＋y2的最小值為OA2，最大值為OB2.由

得A(0,1)，∴z的取值范圍是[1,5].引申探究1.若z＝

，求z的取值范圍.解答z＝

可以看作過(guò)點(diǎn)P(1,1)及(x，y)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率.∴z的取值范圍是(－∞，0].2.若z＝x2＋y2－2x－2y＋3.求z的最大值、最小值.解答z＝x2＋y2－2x－2y＋3＝(x－1)2＋(y－1)2＋1，而(x－1)2＋(y－1)2表示點(diǎn)P(1,1)與Q(x，y)的距離的平方PQ2，

＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，∴zmax＝2＋1＝3，zmin＝

＋1＝.命題點(diǎn)3求參數(shù)值或取值范圍例5

(1)(2015·山東改編)已知x，y滿(mǎn)足約束條件

若z＝ax＋y的最大值為4，則a的值為_(kāi)___.答案解析2不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.易知A(2,0)，由

得B(1,1).由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.當(dāng)a<0時(shí)，z＝ax＋y在O(0,0)處取得最大值，z＝0，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)a>0時(shí)，z＝ax＋y在A(yíng)(2,0)處取得最大值，z＝2a＝4，a＝2，滿(mǎn)足題意.當(dāng)a＝0時(shí)，顯然不滿(mǎn)足題意；(2)已知a>0，x，y滿(mǎn)足約束條件

若z＝2x＋y的最小值為1，則a＝___.答案解析作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分).易知直線(xiàn)z＝2x＋y過(guò)交點(diǎn)A時(shí)，z取最小值，∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝.(1)先準(zhǔn)確作出可行域，再借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求目標(biāo)函數(shù)的最值.(2)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是非線(xiàn)性的函數(shù)時(shí)，常利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義來(lái)解題，常見(jiàn)代數(shù)式的幾何意義：①表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的距離，

表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)的距離；②表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線(xiàn)的斜率，

表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線(xiàn)的斜率.(3)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿(mǎn)足的條件.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2016·江蘇大港中學(xué)質(zhì)檢)設(shè)m>1，在約束條件

下，目標(biāo)函數(shù)z＝x＋5y的最大值為4，則m的值為_(kāi)___.答案解析3作出可行域.把目標(biāo)函數(shù)化為y＝

，顯然只有y＝

在y軸上的截距最大時(shí)z值最大，根據(jù)圖形，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，代入目標(biāo)函數(shù)，解得m＝3.(2)(2016·江蘇天一中學(xué)月考)已知x，y滿(mǎn)足約束條件

如果(2，)是z＝ax－y取得最大值時(shí)的最優(yōu)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.答案解析畫(huà)出可行域如圖，將目標(biāo)函數(shù)化為直線(xiàn)的斜截式方程y＝ax－z，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的斜率大于等于3y－x＝2的斜率時(shí)，直線(xiàn)y＝ax－z在點(diǎn)(2，)處截距最小，即a≥時(shí)，(2，)是目標(biāo)函數(shù)z＝ax－y取得最大值時(shí)的最優(yōu)解.題型三線(xiàn)性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題例6

某玩具生產(chǎn)公司每天計(jì)劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個(gè)，生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵需5分鐘，生產(chǎn)一個(gè)騎兵需7分鐘，生產(chǎn)一個(gè)傘兵需4分鐘，已知總生產(chǎn)時(shí)間不超過(guò)10小時(shí).若生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵可獲利潤(rùn)5元，生產(chǎn)一個(gè)騎兵可獲利潤(rùn)6元，生產(chǎn)一個(gè)傘兵可獲利潤(rùn)3元.(1)試用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個(gè)數(shù)x與騎兵個(gè)數(shù)y表示每天的利潤(rùn)ω(元)；解答依題意每天生產(chǎn)的傘兵個(gè)數(shù)為100－x－y，所以利潤(rùn)ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.(2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？解答約束條件為整理得作初始直線(xiàn)l0：2x＋3y＝0，平移l0，當(dāng)l0經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，ω有最大值，故每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個(gè)，騎兵50個(gè)，傘兵0個(gè)時(shí)利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為550元.∴最優(yōu)解為A(50,50)，此時(shí)ωmax＝550元.目標(biāo)函數(shù)為ω＝2x＋3y＋300，作出可行域，如圖所示，解線(xiàn)性規(guī)劃應(yīng)用問(wèn)題的一般步驟(1)審題：仔細(xì)閱讀材料，抓住關(guān)鍵，準(zhǔn)確理解題意，明確有哪些限制條件，借助表格或圖形理清變量之間的關(guān)系.(2)設(shè)元：設(shè)問(wèn)題中起關(guān)鍵作用(或關(guān)聯(lián)較多)的量為未知量x，y，并列出相應(yīng)的不等式組和目標(biāo)函數(shù).(3)作圖：準(zhǔn)確作出可行域，平移找點(diǎn)(最優(yōu)解).(4)求解：代入目標(biāo)函數(shù)求解(最大值或最小值).(5)檢驗(yàn)：根據(jù)結(jié)果，檢驗(yàn)反饋.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(2016·全國(guó)乙卷)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，則在不超過(guò)600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為_(kāi)_______元.答案解析216000目標(biāo)函數(shù)z＝2100x＋900y.作出可行域?yàn)閳D中的四邊形及其內(nèi)部，包括邊界，頂點(diǎn)為(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)處取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元).設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，根據(jù)所耗費(fèi)的材料要求、工時(shí)要求等其他限制條件，得線(xiàn)性約束條件為典例

(1)在直角坐標(biāo)系xOy中，若不等式組

表示一個(gè)三角形區(qū)域，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是____________________________.(2)已知x，y滿(mǎn)足約束條件

若z＝ax＋y的最大值為4，則a＝___.含參數(shù)的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)系列7現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)糾錯(cuò)心得錯(cuò)解展示解析

(1)如圖，直線(xiàn)y＝k(x－1)－1過(guò)點(diǎn)(1，－1)，作出直線(xiàn)y＝2x，當(dāng)k<－1或0<k<2或k>2時(shí)，不等式組表示一個(gè)三角形區(qū)域.(2)由不等式組表示的可行域，可知z＝ax＋y在點(diǎn)A(1,1)處取到最大值4，∴a＋1＝4，∴a＝3.答案

(1)(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞)

(2)3返回解析(1)直線(xiàn)y＝k(x－1)－1過(guò)定點(diǎn)(1，－1)，當(dāng)這條直線(xiàn)的斜率為負(fù)值時(shí)，該直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)必須在坐標(biāo)原點(diǎn)上方，即直線(xiàn)的斜率為(－∞，－1)，只有此時(shí)可構(gòu)成三角形區(qū)域.(2)作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示.由

得A(1,1).z＝ax＋y等價(jià)于y＝－ax＋z，因?yàn)閦的最大值為4，即直線(xiàn)y＝－ax＋z的縱截距最大為4.若z＝ax＋y在A(yíng)(1,1)處取得最大值，則縱截距必小于2，故只有直線(xiàn)y＝－ax＋z過(guò)點(diǎn)(2,0)且－a<0時(shí)符合題意，∴4＝a×2＋0，即a＝2.答案

(1)(－∞，－1)

(2)2返回(1)含參數(shù)的平面區(qū)域問(wèn)題，要結(jié)合直線(xiàn)的各種情況進(jìn)行分析，不能憑直覺(jué)解答.(2)目標(biāo)函數(shù)含參的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，要根據(jù)z的幾何意義確定最優(yōu)解，切忌搞錯(cuò)符號(hào).返回課時(shí)作業(yè)1.已知點(diǎn)(－3，－1)和點(diǎn)(4，－6)在直線(xiàn)3x－2y－a＝0的兩側(cè)，則a的取值范圍為_(kāi)_______.由[3×(－3)－2×(－1)－a]·[3×4－2×(－6)－a]<0，得(a＋7)(a－24)<0，∴－7<a<24.答案解析(－7,24)123456789101112131415162.(2016·江蘇蘇州暑期檢測(cè))已知變量x，y滿(mǎn)足約束條件

則目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y的最大值是_____.答案解析7作出可行域，如圖：由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)A(5,3)時(shí)，z取最大值，所以zmax＝2×5－3＝7.123456789101112131415163.直線(xiàn)2x＋y－10＝0與不等式組

表示的平面區(qū)域的公共點(diǎn)有___個(gè).答案解析1由不等式組畫(huà)出可行域的平面區(qū)域如圖(陰影部分).直線(xiàn)2x＋y－10＝0恰過(guò)點(diǎn)A(5,0)，且其斜率k＝－2<kAB＝

，即直線(xiàn)2x＋y－10＝0與平面區(qū)域僅有一個(gè)公共點(diǎn)A(5,0).123456789101112131415164.若不等式組

表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是________________.答案解析12345678910111213141516不等式組

表示的平面區(qū)域如圖(陰影部分)，求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

和(1,0)，若原不等式組表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形，則a的取值范圍是0＜a≤1或a≥.123456789101112131415165.(2016·天津改編)設(shè)變量x，y滿(mǎn)足約束條件

則目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋5y的最小值為_(kāi)___.答案解析6由約束條件作出可行域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)可化為y＝

，在圖中畫(huà)出直線(xiàn)y＝

，平移該直線(xiàn)，易知經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)z最小.又知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)，∴zmin＝2×3＋5×0＝6.123456789101112131415166.設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件

則z＝2x－y的最大值為_(kāi)____.答案解析8畫(huà)出可行域如圖所示.由z＝2x－y，得y＝2x－z，欲求z的最大值，可將直線(xiàn)y＝2x向下平移，當(dāng)經(jīng)過(guò)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，且滿(mǎn)足在y軸上的截距－z最小時(shí)，即得z的最大值，如圖，可知當(dāng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)z最大，即A(5,2)，則zmax＝2×5－2＝8.123456789101112131415167.(2016·江蘇)已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足

則x2＋y2的取值范圍是________.答案解析已知不等式組所表示的平面區(qū)域如圖.x2＋y2表示原點(diǎn)到可行域內(nèi)的點(diǎn)的距離的平方.解方程組

得A(2,3).由圖可知(x2＋y2)min＝

，(x2＋y2)max＝OA2＝22＋32＝13.123456789101112131415168.(2017·蘇北三市質(zhì)檢)若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件|3x－4y－10|的最大值為_(kāi)___.答案解析12345678910111213141516作出實(shí)數(shù)x，y在約束條件下的平面區(qū)域(如圖所示)，令z＝3x－4y－10，則平移直線(xiàn)3x－4y＝0經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)時(shí)，zmax＝3－10＝－7；平移直線(xiàn)3x－4y＝0經(jīng)過(guò)點(diǎn)B()時(shí)，zmin＝

－3－10＝

，即

≤z＝3x－4y－10≤－7，從而7≤|3x－4y－10|≤，所求的|3x－4y－10|的最大值為.123456789101112131415169.x，y滿(mǎn)足約束條件

若z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______.答案解析2或－1如圖，由y＝ax＋z知z的幾何意義是直線(xiàn)在y軸上的截距，故當(dāng)a>0時(shí)，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝2；當(dāng)a<0時(shí)，要使z＝y(tǒng)－ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a＝－1.1234567891011121314151610.(2016·浙江改編)在平面上，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)所得的垂足稱(chēng)為點(diǎn)P在直線(xiàn)l上的投影.由區(qū)域

中的點(diǎn)在直線(xiàn)x＋y－2＝0上的投影構(gòu)成的線(xiàn)段記為AB，則AB＝_____.答案解析12345678910111213141516已知不等式組表示的平面區(qū)域如圖中△PMQ所示.因?yàn)閘與直線(xiàn)x＋y＝0平行.所以區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)在直線(xiàn)x＋y－2上的投影構(gòu)成線(xiàn)段AB，則AB＝PQ.由

解得P(－1,1)，由

解得Q(2，－2).所以AB＝PQ＝1234567891011121314151611.不等式組

的解集記為D.有下面四個(gè)命題：p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2，p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中的真命題是________.答案解析p1，p212345678910111213141516不等式組

表示的平面區(qū)域D如圖中陰影區(qū)域所示(含邊界).設(shè)z＝x＋2y，作出直線(xiàn)l0：x＋2y＝0，經(jīng)平移可知直線(xiàn)l：z＝x＋2y經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，－1)時(shí)z取得最小值0，無(wú)最大值.對(duì)于命題p1：由于z的最小值為0，所以?(x，y)∈D，x＋2y≥0恒成立，故x＋2y≥－2恒成立，因此命題p1為真命題；由于?(x，y)∈D，x＋2y≥0，故?(x，y)∈D，x＋2y≥2，因此命題p2為真命題；由于z＝x＋2y的最小值為0，無(wú)最大值，故命題p3與p4錯(cuò)誤.1234567891011121314151612.若實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足x2＋y2≤1，則|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是____.答案解析3∵x2＋y2≤1，∴6－x－3y>0，當(dāng)2x＋y－2≥0時(shí)，t＝x－2y＋4.點(diǎn)(x，y)可取區(qū)域Ⅰ內(nèi)的點(diǎn)(含邊界).通過(guò)作圖可知，當(dāng)直線(xiàn)t＝x－2y＋4過(guò)點(diǎn)A()時(shí)，t取最小值，令t＝|2x＋y－2|＋|6－x－3y|，∴tmin＝

＋4＝3.當(dāng)2x＋y－2<0時(shí)，t＝8－3x－4y，點(diǎn)(x，y)可取區(qū)域Ⅱ內(nèi)的點(diǎn)(不含線(xiàn)段AB).通過(guò)作圖可知，此時(shí)t>8－3×－4×＝3.綜上，tmin＝3，即|2x＋y－2|＋|6－x－3y|的最小值是3.12345678910111213141516*13.給定區(qū)域D：

令點(diǎn)集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的點(diǎn)}，則T中的點(diǎn)共確定_____條不同的直線(xiàn).答案解析6作出圖形可知，△ABF所圍成的區(qū)域即為區(qū)域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的點(diǎn)，B，C，D，E，F(xiàn)是z在D上取得最大值的點(diǎn)，則T中的點(diǎn)共確定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6條不同的直線(xiàn).1234567891011121314151614.已知D是以點(diǎn)A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3，2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包括邊界與內(nèi)部).如圖所示.(1)寫(xiě)出表示區(qū)域D的不等式組；解答直線(xiàn)AB，AC，BC的方程分別為7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原點(diǎn)(0,0)在區(qū)域D內(nèi)，故表示區(qū)域D的不等式組為12345678910111213141516(2)設(shè)點(diǎn)B(－1，－6)，C(－3,2)在直線(xiàn)4x－3y－a＝0的異側(cè)，求a的取值范圍.解答根據(jù)題意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0，即(14－a)(－18－a)<0，解得－18<a<14.故a的取值范圍是(－18,14