三 重 積 分教學(xué)課件

三重積分一、三重積分的概念類比引入1.在定積分和二重積分的討論中，我們曾講過有共性的實例，即求非均勻物體的質(zhì)量．如果物體的密度是該物體上點P的連續(xù)函數(shù)f(P)，那么物體的質(zhì)量根據(jù)物體的不同幾何形狀，便有不同的積分概念．（1）物體是一個細的直線棒，則非均勻細棒的質(zhì)量為一、三重積分的概念其中f(x)是線密度函數(shù)（點P即為點x），直線棒占有區(qū)間為［a,b］，于是（2）物體是一塊平面薄片，則非均勻薄片的質(zhì)量為其中f(x,y)是面密度函數(shù)（點P即為點(x,y)），薄片占有區(qū)域為D(D為xOy面上的閉區(qū)域)，于是一、三重積分的概念（3）如果物體是一空間立體，它占有空間為Ω，又該如何計算它的質(zhì)量呢？我們把空間立體Ω任意分成n個小立體Δvi（i=1,2,…,n），且以Δvi表示第i個小立體的體積，在小立體Δvi上任取一點Pi(ξi,ηi,ζi)，顯然小立體的質(zhì)量近似等于于是，立體Ω的總質(zhì)量近似地等于和式一、三重積分的概念令λ為這些小立體的最大直徑（直徑定義如前描述），我們自然會想到，當λ→0時，上面的和式就會趨于這個立體的總質(zhì)量，也就是說，立體Ω的總質(zhì)量為這種和式極限與定積分、二重積分的和式極限結(jié)構(gòu)形式類似．它不僅在質(zhì)量計算中，而且在物理、力學(xué)、工程計算中也經(jīng)常會遇到，由此引出三重積分定義．一、三重積分的概念三重積分定義2.定義1

設(shè)f(x,y,z)是空間有界閉區(qū)域Ω上的有界函數(shù)．將Ω任意分成n個小閉區(qū)域Δv1,Δv2,…,Δvn，其中Δvi表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的體積．在每個Δvi上任取一點(ξi,ηi,ζi)，作乘積f(ξi,ηi,ζi)Δvi(i=1,2,…,n)，并作和如果當各小閉區(qū)域直徑中的最大值λ趨于0時，這個和式極限總存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在閉區(qū)域Ω上的三重積分，記作，即一、三重積分的概念

（9-9）其中dv叫作體積微元．在直角坐標系中，如果用平行于坐標面的平面來劃分Ω，那么，除了包含Ω的邊界點的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，得到的小閉區(qū)域Δvi均為長方體．設(shè)長方體小閉區(qū)域的邊長為Δxj,Δyk,Δzl，則Δvi=ΔxjΔykΔzl．因此，在直角坐標系中，有時也把體積微元dv記作dxdydz，而把三重積分記作，其中dxdydz叫作直角坐標系中的體積微元．一、三重積分的概念(1)當函數(shù)f(x,y,z)在閉區(qū)域Ω上連續(xù)時，（9-9）式右端的和式極限必定存在，也就是函數(shù)f(x,y,z)在閉區(qū)域Ω上的三重積分必定存在．以后無特殊說明，我們總是假定函數(shù)f(x,y,z)在閉區(qū)域Ω上是連續(xù)的．(2)關(guān)于二重積分的一些術(shù)語，如被積函數(shù)、積分區(qū)域等，可相應(yīng)地推廣到三重積分中．二重積分的性質(zhì)，也可類似地推廣到三重積分，這里就不再重述．注意一、三重積分的概念

(3)如果f(x,y,z)表示某空間物體在點(x,y,z)處的密度，Ω是該物體所占有的空間閉區(qū)域，f(x,y,z)在Ω上連續(xù)，則該空間物體的質(zhì)量為特別地，當被積函數(shù)f(x,y,z)=1時，三重積分等于該空間物體的體積，即二、三重積分的計算由計算二重積分的方法推廣知，計算三重積分的基本方法是將三重積分化為三次定積分來計算．下面將在不同坐標系下分別討論三重積分化為三次定積分的計算方法，且只限于敘述計算方法，不作理論證明．二、三重積分的計算在直角坐標系下計算三重積分1.設(shè)三重積分存在，在直角坐標系中，假定平行于z軸且穿過閉區(qū)域Ω內(nèi)部的直線與閉區(qū)域Ω的邊界曲面S相交不多于兩點．把閉區(qū)域Ω投影到xOy面上，得一平面閉區(qū)域Dxy（見圖9-38），以Dxy的邊界為準線作母線平行于z軸的柱面．這柱面與曲面S的交線把S分為上、下兩部分，它們的方程分別為二、三重積分的計算圖9-38二、三重積分的計算其中z1(x,y)與z2(x,y)都是Dxy上的連續(xù)函數(shù)，且z1(x,y)≤z2(x,y)．過Dxy內(nèi)任一點(x,y)作平行于z軸的直線，直線通過曲面S1穿入Ω內(nèi)，然后通過曲面S2穿出Ω外，穿入點與穿出點的豎坐標分別為z1(x,y)與z2(x,y)．在這種情形下，積分區(qū)域Ω可表示為先將x，y看作定值，將f(x,y,z)只看作z的函數(shù)，在區(qū)間［z1(x,y),z2(x,y)］上對z積分．積分的結(jié)果是x，y的函數(shù)，記為F(x,y)，即二、三重積分的計算

然后再計算F(x,y)在閉區(qū)域Dxy上的二重積分假如閉區(qū)域把這個二重積分化為二次定積分，于是得到三重積分的計算公式：

（9-10）二、三重積分的計算式(9-10）把三重積分化為先對z、次對y、最后對x的三次定積分．如果平行于x軸或y軸且穿過閉區(qū)域Ω內(nèi)部的直線與Ω的邊界曲面S相交不多于兩點，也可把閉區(qū)域Ω投影到y(tǒng)Oz面上或xOz面上，這樣便可把三重積分化為按其他順序的三次定積分來計算．如果平行于坐標軸且穿過閉區(qū)域Ω內(nèi)部的直線與邊界曲面S的交點多于兩個，可采用計算二重積分時的處理辦法，把Ω分成若干部分，使Ω上的三重積分化為各部分閉區(qū)域上的三重積分的和．二、三重積分的計算計算三重積分，其中Ω為三個坐標面及平面x+2y+z=1所圍成的閉區(qū)域．

解作閉區(qū)域Ω如圖9-39所示．【例1】圖9-39二、三重積分的計算將Ω投影到xOy面上，得投影區(qū)域Dxy為三角形閉區(qū)域OAB．直線OA，OB及AB的方程依次為y=0，x=0及x+2y=1，所以在Dxy上使用穿線法：在Dxy內(nèi)任取一點(x,y)，過此點作平行于z軸的直線，該直線通過平面z=0穿入Ω內(nèi)，然后通過平面z=1－x－2y穿出Ω外，可以定出z的范圍為0≤z≤1－x－2y．于是，由式（9-10）得二、三重積分的計算有時，我們計算一個三重積分也可以化為先計算一個二重積分、再計算一個定積分，即有下述計算公式．設(shè)空間閉區(qū)域二、三重積分的計算其中Dz是豎坐標為z的平面截閉區(qū)域Ω所得到的一個平面閉區(qū)域（見圖9-40），則有

（9-11）這種計算三重積分的方法叫作“先二后一法”．圖9-40二、三重積分的計算計算三重積分，其中Ω是由橢球面所圍成的空間閉區(qū)域．

解如圖9-41所示．用豎坐標為

的平面截橢球面，得橢圓截面Dz可表示為【例2】圖9-41二、三重積分的計算其面積為由(9-11）式得二、三重積分的計算證明,其中Ω是球體【例3】分析由于被積函數(shù)只是z的函數(shù)，而用垂直于z軸的平面截積分區(qū)域

所得到的都是圓域，圓域的面積等于

因此，用先二后一法很簡單．二、三重積分的計算

證選用先二后一法將Ω向z軸投影，得－1≤z≤1，再用垂直于z軸的平面截Ω得于是二、三重積分的計算當被積函數(shù)只是z的函數(shù)，而用垂直于z軸的平面截積分區(qū)域Ω所得到的截面面積容易求時，用先二后一法求解比較簡單．注意二、三重積分的計算在柱面坐標系下計算三重積分2.設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點，并設(shè)點M在xOy面上的投影P的極坐標為(ρ,θ)，則這樣的三個數(shù)ρ,θ,z就叫作點M的柱面坐標（見圖9-42），這里規(guī)定ρ,θ,z的變化范圍為：0≤ρ<+∞,0≤θ≤2π,－∞<z<+∞．三組坐標面分別為ρ＝常數(shù)，即以z軸為軸的圓柱面；θ＝常數(shù)，即過z軸的半平面；z＝常數(shù)，即與xOy面平行的平面．圖9-42二、三重積分的計算顯然，點M的直角坐標與柱面坐標的關(guān)系為

（9-12）要把三重積分中的變量變換為柱面坐標，用三組坐標面ρ＝常數(shù)，θ＝常數(shù)，z＝常數(shù)，把Ω分成許多小閉區(qū)域，除了含Ω的邊界點的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，這種小閉區(qū)域都是柱體．現(xiàn)在考慮由ρ,θ,z各取得微小增量所成的柱體體積（見圖9-43）．這個體積等于高與底面積的乘積．其中高為dz，底面積在不計高階無窮小時為ρdρdθ（即極坐標系中的面積微元），于是得二、三重積分的計算圖9-43二、三重積分的計算這就是柱面坐標系中的體積微元．再由關(guān)系式(9-12）得

（9-13）其中F(ρ,θ,z)=f(ρcosθ,ρsinθ,z)，式(9-13）就是把三重積分的變量從直角坐標變換為柱面坐標的公式.變量變換為柱面坐標后的三重積分的計算，則可化為三次定積分來進行．化為三次定積分時，積分限應(yīng)根據(jù)ρ,θ,z在積分區(qū)域Ω中的變化范圍來確定，下面通過實例來說明．二、三重積分的計算利用柱面坐標計算三重積分，其中Ω是由曲面與平面z=4所圍成的閉區(qū)域．

解把閉區(qū)域Ω投影到xOy面上，得半徑為2的圓形閉區(qū)域在Dxy內(nèi)用穿線法可得于是【例4】二、三重積分的計算計算，其中Ω是由曲面及平面z=5所圍成的閉區(qū)域．

解如圖9-44所示，Ω為錐體，宜用柱面坐標計算．將z=5代入錐面方程，得兩者的交線為【例5】圖9-44二、三重積分的計算Ω在xOy面的投影區(qū)域為圓域在Dxy內(nèi)用穿線法可得

于是二、三重積分的計算(1)本題中z的取值

，很容易誤為0≤z≤5，若果真為后者，則Ω變?yōu)橹斡蚨穷}設(shè)的錐形域，請比較一下兩者的區(qū)別，從中吸取經(jīng)驗教訓(xùn)．(2)將空間區(qū)域Ω向xOy面投影得投影區(qū)域為Dxy，如果在投影區(qū)域Dxy上的二重積分適合用極坐標計算，則空間區(qū)域Ω上的三重積分適合于用柱面坐標計算．一般來說，當積分區(qū)域Ω是圓柱形區(qū)域（包括圓柱形區(qū)域的一部分）或空間區(qū)域Ω的投影區(qū)域是圓域，被積函數(shù)僅僅是x2+y2或z的函數(shù)時，考慮采用柱面坐標計算該三重積分．注意二、三重積分的計算在球面坐標系下計算三重積分3.設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點，則點M也可用這樣三個有次序的數(shù)r,φ,θ來確定，其中r為原點O與點M之間的距離，φ為有向線段

與z軸正向所夾的角，θ為從正z軸來看自x軸按逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線段

的角，這里P為點M在xOy面上的投影（見圖9-45）．圖9-45

二、三重積分的計算

這樣的三個數(shù)r,φ,θ叫作點M的球面坐標，這里r,φ,θ的變化范圍是三組坐標面分別為：r＝常數(shù)，即以原點為中心的球面；φ＝常數(shù)，即以原點為頂點，z為旋轉(zhuǎn)軸的圓錐面；θ＝常數(shù)，即過z軸的半平面.設(shè)點M在xOy面上的投影為P，點P在x軸上的投影為A，則OA=x,AP=y，PM=z．又OP=rsinφ,z=rcosφ．因此，點M的直角坐標與球面坐標的關(guān)系為二、三重積分的計算

（9-14）現(xiàn)在要把三重積分中的變量從直角坐標變換為球面坐標．為此，用三組坐標面r＝常數(shù)，φ＝常數(shù)，θ＝常數(shù)，把Ω分成許多個小閉區(qū)域，除了含Ω的邊界點的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，這種小閉區(qū)域都是六面體．現(xiàn)在考慮由r,φ,θ各取得微小增量dr,dφ,dθ所成的六面體體積（見圖9-46）．在不計高階無窮小時，這個六面體的體積可看作長方體的體積，其經(jīng)線方向的長為rdφ，緯線方向的寬為rsinφdθ，向徑方向的高為dr，于是得二、三重積分的計算圖9-46二、三重積分的計算這就是球面坐標系中的體積微元．再由關(guān)系式(9-14）得

（9-15）其中F(r,φ,θ)=f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)．式(9-15）就是把三重積分的變量從直角坐標變換為球面坐標的公式，對于變量變換為球面坐標后的三重積分的計算，同樣可化為對r、對φ和對θ的三次定積分來進行．化為三次定積分時，積分限應(yīng)根據(jù)r,φ,θ在積分區(qū)域Ω中的變化范圍來確定．二、三重積分的計算若積分區(qū)域Ω的邊界曲面是一個包圍原點在內(nèi)的閉曲面，其球面坐標方程為r=r(φ,θ)，則當積分區(qū)域Ω為球面r=R所圍成時，則特別地，當F(r,φ,θ)=1時，由上式即得球的體積這就是我們立體幾何中球的體積計算公式．下面通過實例來說明：①在什么情況下利用球面坐標計算三重積分；②如何利用球面坐標來計算三重積分.二、三重積分的計算求半徑為a的球面與半頂角為α的內(nèi)接錐面所圍成的立體（見圖9-47）的體積．【例6】圖9-47二、三重積分的計算

解由于所求體積是球體的一部分，故選用球面坐標計算．如圖9-47所示，球面的方程為r=2acosφ，錐面方程為φ=α．立體所占有的空間閉區(qū)域Ω可用不等式來表示，所以二、三重積分的計算求，其中Ω是由球面所限定的球域．

解考慮到被積函數(shù)含有，且積分域又是球面所圍成的球域，故選用球面坐標計算較簡單．曲面的球面坐標形式為r=cosφ，Ω可表示為【例7】二、三重積分的計算于是二、三重積分的計算計算三重積分，其中Ω是由曲面所圍成．【例8】解法1因Ω是由上半錐面與上半球面所圍區(qū)域，可選用球面坐標計算．如圖9-48所示．圖9-48二、三重積分的計算由，得于是Ω可表示為所以二、三重積分的計算解法2對于，由于被積函數(shù)是關(guān)于x的奇函數(shù)，Ω關(guān)于yOz平面對稱，因而有若設(shè)Ω在第一卦限的部分為Ω1，Ω關(guān)于yOz平面與zOx平面均對稱，被積函數(shù)z對x,y均為偶函數(shù)．于是故二、三重積分的計算解法3采用先二后一法由于錐面與球面交線為

于是二、三重積分的計算將下列三重積分用三種坐標化為累次積分，并選擇一種簡單方法計算該三重積分其中Ω是由曲面所圍成.【例9】二、三重積分的計算

解（1）在直角坐標系下：題設(shè)球面與錐面的交線為，Ω在xOy平面的投影為于是

（9-16）（2）在柱面坐標系下：

（9-17）二、三重積分的計算（3）在球面坐標系下：

（9-18）比較（9-16）、（9-17）與（9-18）式，易見（9-18）式的積分限與被積函數(shù)均較簡單，且有二、三重積分的計算(1)在計算三重積分時，選擇恰當?shù)淖鴺讼祵τ嬎愕姆焙喅潭绕鸬脚e足輕重的作用．對于坐標系的選擇，一方面要顧及積分區(qū)域的形狀，另一方面也要考察被積函數(shù)的形式．(2)一般而言，積分區(qū)域Ω是長方形或Ω的投影是X型或Y型區(qū)域，則累次積分定限比較容易，可直接用直角坐標計算．當積分區(qū)域Ω是柱形域及其一部分，或被積函數(shù)含“x2+y2”時，用柱面坐標計算較方便．當積分區(qū)域Ω是球形域及其一部分，或被積函數(shù)含“x2+y2+z2”時，用球面坐標計算較方便．注意二、三重積分的計算

(3)當化簡積分區(qū)域與被積函數(shù)不能兼顧時，則優(yōu)先考慮積分域的化簡，這可使積分限簡單或易安排，從總體上看就化簡了計算．但事物不是絕對的，應(yīng)具體問題具體分析．同時，還要培養(yǎng)空間想象力．一方面我們學(xué)習(xí)了空間解析幾何，應(yīng)熟知一些空間曲面的方程和形狀．另一方面作一個積分題，并不總需要把圖形畫出來，可以通過空間想象把積分限寫出來．為了熟悉三重積分的計算，我們再舉幾個例子．二、三重積分的計算計算,其中Ω是曲面z=xy與平面y=x,y=1,z=0所圍成的區(qū)域．

解積分域Ω如圖9-49所示，將Ω向xOy面投影的三角形區(qū)域可表示為【例10】圖9-49二、三重積分的計算選擇直角坐標系計算，則積分域可表示成于是二、三重積分的計算計算，其中

旋轉(zhuǎn)拋物面及平面z=1所圍成的區(qū)域．

解積分區(qū)域Ω如圖9-50所示，Ω在xOy面投影區(qū)域為圓域，因此可選擇柱面坐標，積分域可表示成

于是【例11】二、三重積分的計算圖9-50二、三重積分的計算計算,其中